Из теорем предыдущего параграфа вытекает, что задача устой чивости для систем вида (64.1) решается уравнениями первого приближения (64.2) во всех случаях, когда характеристическое уравнёние первого приближения имеет все корни с модулями, меньшими единицы, либо хотя бы один корень с модулем, большим единицы. Сомнительными, следовательно, будут те случаи, когда указанное характеристическое уравнение, не имея корней с модулями, большими единицы, имеет корни с модулями, равными единице. В этом случае определяющее уравнение (64.9) системы (64.6), в которую преобразуются уравнения (64.2), будет иметь часть корней с отрицательными вещественными частями и часть корней с вещественными частями, равными дулю, а именно: корням, равным единице, характеристического уравнения системы (64.2) ссответствуют корни, равные нулю, определяющего уравнения (64:9). Корням же характеристического уравнения, равным -1, а также комплексным корням с модулями, равными 1, соответствуют чисто мнимые корни определяющего уравнения (64.9). Таким образом, если в указанных сомнительных случаях пользоваться вместо уравнении (64.1) эквивалентными им
уравнениями (64.7), то задача устойчивости в этих случаях будет отличаться от задачи устойчивости в критических случаях для установившихся движений только тем, что нелинейные члены $Y_{s}$ будут содержать явно $t$. И поскольку в критических случаях для установившихся движений нелинейными членами можно распорядиться таким образом, чтобы получить по желанию как устойчивость, так и неустойчивость, то тем более это будет справедливо и в рассматриваемых сейчас случаях, так как эти нелинейные члены мы можем, в частности, выбрать не зависящими от $t$. Другими словами, если характеристическое уравнение системы первого приближения (64.2) не имеет корней с модулями, большими единицы, но имеет корни с модулями, равными единице, то для решения задачи устоичивости нельзя ограничиться первым приближением и необходимо рассмотреть члены более высоких порядков в уравнениях возмущенного движения. Все такого рода случаи будут, следовательно, принадлежать к числу критических.
Мы рассмотрим в этой главе два критических случая:
1) когда характеристическое уравнение первого приближения имеет только один критический корень и этот корень равен единице;
2) когда характеристическое уравнение имеет два критических корня и эти корни оба комплексны и обладают модулями, равными единице.
Мы будем пользоваться уравтениями возмущенного движения, приведенными к виду (64.7). При этом мы вынуждены будем отказаться от решения задачи при тех весьма общих предположениях относительно функций $X_{s}$, которые были высказаны в предыдущем параграфе, и подчинить эти функции более ограничительным условиям, а именно: мы будем предполагать, что функции $X_{s}$ периодичны относительно $t$ с периодом $\omega$ и что эти функции разлагаются в ряды по степеням переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$, начинающиеся членами не ниже второго порядка и сходящиеся в области $\left|x_{s}\right| \leqslant H$, где $H$ – некоторое положительное число.
В первом из указанных критических случаев определяющее уравнение (64.9) будет иметь один нулевой корень при остальных корнях с отрицательными вещественными частями. Предполагая, что рассматриваемая система имеет $(n+1)$ – н порядок, мы можем уравнения возмущенного движения привести в этом случае к виду
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t}=X\left(t, x, y_{1}, \ldots, y_{n}\right), \\
\frac{d y_{s}}{d t}=q_{s 1} y_{1}+\ldots+q_{s n} y_{n}+q_{s} x+Y_{s}\left(t, x, y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]
Во втором критическом случае определяющее уравнение (64.9) имеет пару чисто мнимых корнећ вида $\pm \lambda i$, а остальные корни этого уравнения имеют отрицательные вещественные части. Считая, что порядок системы равен $n+2$, мы можем уравнения возмущенного движения привести к виду
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X\left(t, x, y, y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right), \\
\frac{d y}{d t}=\lambda x+Y\left(t, x, y, y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right) \\
\frac{d y_{s}}{d t}=q_{s 1} y_{1}+\ldots+q_{s n} y_{n}+p_{s} x+q_{s} y+Y_{s}\left(t, x, y, y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]
В уравнениях (65.1) и (65.2) функции $X, Y$ и $Y_{s}$ будут такого же вида, как и функции $X_{s}$, а величины $q_{s j}, p_{s}$ и $q_{s}$ являются постоянными, причем $q_{s j}$ таковы, что уравнение (64.9) имеет корни только с отрицательными вещественными частями.
Для того чтобы привести уравнения (64.1) к виду (64.7), а следовательно, также к виду (65.1) или (65.2), необходимо, конечно, знать общее рещение уравнений (64.2). Мы будем предполагать, что это решение нам действительно известно и что уравнения задачи уже приведены к виду (65.1) или (65.2).
В этой главе мы не будем рассматривать уравнений (65.1) и (65.2) в их общем виде, а ограничимся случаем $n=0$. Другими словами, мы будем предполагать, что в первом критическом случае система имеет первый порядок и, следовательно, имеется только одно уравнение возмущенного движения вида
\[
\frac{d x}{d t}=X(t, x),
\]
а во втором критическом случае система имеет второй порядок и состоит, следовательно, из двух уравнений вида
\[
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X(t, x, y), \quad \frac{d y}{d t}=\lambda x+Y(t, x, y) .
\]
Общий случай $n>0$ будет рассмотрен в следующей главе, где будут установлены некоторые общие теоремы о критических случаях. Как мы увидим, исследование случая $n>0$ приводится к случаю $n=0$. В следующей главе будут рассмотрены также некоторые другие критические случаи.
