Мы рассмотрим сначала случаћ, когда $n=0$ и, следовательно, уравнение возмущенного движения имеет вид
\[
\frac{d x}{d t}=X(x)=g x^{m}+g_{m+1} x^{m+1}+\ldots,
\]

где $m \geqslant 2$, а $g, g_{m+1}, \ldots$ – некогорые постоянные.
В рассматриваемом частном случае задача устойчивости решается сразу, а именно: если $m$ является числом четным, то невозмущенное движение неустойчиво; если же $m$ является числом нечетным, то при $g<0$ невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а при $g>0$ оно неустойчиво.

Действительно, если $m$ – число четное, то правая часть уравнения (29.1) в некоторой окрестности начала координат принимает значения одного знака, совпадающего со знаком $g$. Поэтому если рассматривать точку, движущуюся по оси $x$ согласно уравнению (29.1), то скорость этой точки имеет определенное направление, независимо от того, будет ли точка находиться справа или слева от начала координат. Следовательно, если при $g>0$ движущаяся точка в начальный момент находится справа от начала координат, а при $g<0$ слева от начала координат, то она будет удаляться от этой точки пока не выйдет из области знакоопределенности функции $X$. Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво вне зависимости от знака $g$.

Если $m$ – число нечетное, то скорость движущенся точки меняет свое направление при переходе чгрез начало координат. При этом при $g>0$ точка всегда удаляется от начала координат, а при $g<0$ она, напротив, к нему приближается. Следовательно, в первом случае невозмущенное движение неустойчиво, а во втором случае оно устойчиво и притом асимптотически.

Легко построить функции Ляпунова для рассматриваемой задачи, а именно, если $m$ – число нечетное, то полагаем:
\[
V=\frac{1}{2} g x^{2} .
\]

Для $\frac{d V}{d t}$ имеем:
\[
\frac{d V}{d t}=g^{2} x^{m+1}+g g_{m+1} x^{m+2}+\ldots
\]

Обе функции как $V$, так и $\frac{d V}{d t}$ знакоопределенны. При этом, если $g>0$, то обе эти функции будут одинакового знака, и $V$ удовлетворяет всем условиям теоремы Е, откуда мы снова заключаем о неустойчивости движения. При $g<0 V$ и $\frac{d V}{d t}$ имеют противоположные знаки и, следовательно, функция $V$ удовлетворяет всем условиям теоремы Б, откуда вытекает асимптотическая устойчивость.
При $m$ четном полагаем просто
\[
V=x .
\]

Тогда $\frac{d V}{d t}$ будет функцией знакоопределенной, а сама функция $V$, каков бы ни был знак $g$, может прннимать значения того же знака, что и $\frac{d V}{d t}$. Следовательно, как при $g>0$, так и при $g<0 V$ удовлетворяет всем условиям теоремы $B$, и незозмущенное движение неустойчиво.