Мы переходим теперь к вопросу об обратимости теоремы II для уравнений вида
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1}(t) x_{1}+\ldots+p_{s n}(t) x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

где $p_{s j}$ – произвольные непрерывные и ограниченные при $t \geqslant 0$ функции времени. Задача заключается в определении условий, необходимых и достаточных, при которых существует допускающая бесконечно малый высший предел определенно-положительная функция
1) Огределение границы области устойчивости дано в § 44.

$V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, производная которой, составленная в силу уравнений (75.1), есть функция определенно-отрицательная. Эти условия даются двумя нижеследующими теоремами, из которых первая установлена К. П. Персидским ${ }^{1}$ ), а вторая – автором ${ }^{2}$ ).

Обозначим через $x_{1 j}\left(t, t_{0}\right), \ldots, x_{n j}\left(t, t_{0}\right)(j=1,2, \ldots, n)$ фундаментальную систему решений уравнений (75.1), определяемую начальными условиями:
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{s j}\left(t_{0}, t_{0}\right)=0(s
eq j), \\
x_{s s}\left(t_{0}, t_{0}\right)=1,
\end{array}\right\}
\]

где $t_{0} \geqslant 0$-произвольная постоянная. Эти решения мы рассматриваем как функции $t$ и $t_{0}$. Пусть $a$ и $b$ – произвольные положительные величины. Тогда $n^{2}$ функции $x_{s j}(t, a)$ и $n^{2}$ функций $x_{s j}(t, b)$ образуют две фундаментальные системы решений уравнений (75.1). Следовательно, между ними существуют линейные соотношения
\[
x_{s k}(t, a)=\sum_{a=1}^{n} c_{\alpha k} x_{s \alpha}(t, b) \quad(s, k=1,2, \ldots, n),
\]

где $c_{a k}$-некоторые постоянные. Полагая в этих соотношениях $t=b$ и принимая во внимание (75.2), находим:
\[
x_{s k}(b, a)=c_{s k}
\]

и, следовательно, имеют место следующие тождества:
\[
x_{s k}(t, a)=\sum_{\alpha=1}^{n} x_{s \alpha}(t, b) x_{\alpha k}(b, a) .
\]

Докажем теперь следующие теоремы.
Теорема 1. Еслидля уравнений (75.1) существует определенно-положительная функияя $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-от рицательная, то при всех $t \geqslant t_{0}$ и $t_{0} \geqslant 0$ выполняются неравенства
\[
\left|x_{s j}\left(t, t_{0}\right)\right|<B e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)},
\]

где $B и \alpha$-некоторые не зависящие от $t_{0}$ положительные постоянные.

Доказательство. Согласно условиям теоремы существует такое достаточно малое положительное число $h$, что в области
\[
t \geqslant 0, \quad\left|x_{s}\right| \leqslant h
\]
1) См. сноску ${ }^{6}$ ) на стр. 306.
2) Малкин И. Г., Об устойчивости по первому приближению. Сб. научных трудов Казанского авиац. ин-та, № 3, 1935 .

выполняются неравенства
\[
\begin{array}{c}
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant W_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d V}{d t}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right)+\frac{\partial V}{\partial t} \leqslant-W_{2}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\end{array}
\]

где $W_{1}$ и $W_{2}$-не зависящие от $t$ определенно-положительные функции.
Так как согласно теореме II невозмущенное движение во всяком случае устойчиво, то при $\rho$, достаточно малом, для любого решения $x_{s}\left(t, t_{1}\right)$ уравнений (75.1), начальные значения $x_{s}^{0}=x_{s}\left(t_{1}, t_{1}\right)$ которого связаны соотношением
\[
\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{02}=\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}\left(t_{1}, t_{1}\right)=\rho^{2},
\]

будут при всех $t>t_{1}$ выполняться неравенства $\left|x_{s}\right|<h$. Здесь $t_{1}-$ произвольное положительное число. Следовательно, для этого решения все время будет выполняться условие (75.7), из которого вытекает, что функция $V\left[t, x_{1}\left(t, t_{1}\right), \ldots, x_{n}\left(t, t_{1}\right)\right]$ будет убывающей, и можем поэтому для всех $t>t_{1}$ написать неравенство
\[
\begin{array}{l}
W_{1}\left[x_{1}\left(t, t_{1}\right), \ldots, x_{n}\left(t, t_{1}\right)\right] \leqslant V\left[t, x_{1}\left(t, t_{1}\right), \ldots, x_{n}\left(t, t_{1}\right)\right]< \\
<V\left(t_{1}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right) \leqslant l(\rho) .
\end{array}
\]

Здесь $l$ есть верхний предел $V\left(t_{1}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$ при условии (75.8). Это число не зависит от $t_{1}$, так как функция $V$, допуская бесконечно малый высший предел, будет во всяком случае ограниченной. Так как $W_{1}$ есть функция определенно-положительная, то из (75.9) вытекает, что при всех $t>t_{1}$ выполняются неравенства
\[
\left|x_{s}\left(t, t_{1}\right)\right|<C^{*}(\rho),
\]

где $C^{*}$ – некоторая не зависящая от $t_{1}$ постоянная.
Пусть теперь $L$ – произвольная сколь угодно малая постоянная. Рассмотрим множество значений $x_{s}$, лежащих в области (75.5) и удовлетворяющих неравенству $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant L$. Так как $V$ допускает бесконечно малый высший предел, то при этом необходимо будет $x=\max \left\{\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|\right\}>\lambda(L)$, где $\lambda(L)$ – некоторая достаточно малая постоянная. Но тогда при этом условии мы будем также иметь $W_{2}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)>l_{1}(L)$, где $l_{1}(L)$ – также некоторая постоянная. Таким образом, мы можем писать:
\[
\frac{d V}{d t} \leqslant-W_{2}<-l_{1}(L) \text { при } V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant L .
\]

Покажем теперь, что если $T=\frac{l}{l_{1}}$, то к моменту времени $t_{1}+T$ мы будем иметь:
\[
V\left[t, x_{1}\left(t, t_{1}\right), \ldots, x_{n}\left(t, t_{1}\right)\right]<L .
\]

Допустим противное, что это неверно. Тогда на всем отрезке $\left[t_{1}, t_{1}+T\right]$ будет выполняться неравенство $V \geqslant L$, ибо если бы неравенство (75.12) выполнялось при каком-нибудь $t_{1}<t<t_{1}+T$, то оно выполнялось бы и при $t=t_{1}+T$, так как $V\left[t, x_{1}\left(t, t_{1}\right), \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}\left(t, t_{1}\right)\right]$ есть функция убывающая. Но если при всех $t_{1} \leqslant t \leqslant$ $\leqslant t_{1}+T$ выполняется $V \geqslant L$, то на основании (75.11)
$L \leqslant V\left[t_{1}+T, x_{1}\left(t_{1}+T, t_{1}\right), \ldots, x_{n}\left(t_{1}+T, t_{1}\right)\right]=$
\[
=V\left(t_{1}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)+\int_{t_{1}}^{t_{1}+T} \frac{d V}{d t} d t<l-l_{1} T=0,
\]

что невозможно, так как $L$ – число положительное.
Таким образом, при $t=t_{1}+T$ выполняется условие (75.12). Выберем теперь $L$ настолько малым, чтобы из (75.12) вытекало
\[
\left|x_{s}\left(t, t_{1}\right)\right|<\frac{M \rho}{n},
\]

где $M$-положительное число, меньшее единицы. Это возможно, так как $V$ допускает бесконечно малый высший предел. При этом число $L$ не будет зависеть от $t_{1}$. Но тогда и $T=\frac{l}{l_{1}(L)}$ не будет зависеть от $t_{1}$. Мы приходим, таким образом, к следующему выводу: для любого решения $x_{s}\left(t, t_{1}\right)$ уравнений (75.1), для начальных значений которого выполняется условие (75.8), будут при всех $t>t_{1}$ выполняться неравенства (75.10) и при $t=t_{1}+T$, где $T$ – некоторое не зависящее от $t_{1}$ число, – неравенства ( 75.13 ).

Установив это, положим $x_{s}\left(t, t_{1}\right)=\rho x_{s j}\left(t, t_{1}\right)$. Условие (75.8) при этом, очевидно, выполняется. Тогда из (75.10) и (75.13) находим, что при любом $t_{1}$ и $t>t_{1}$
\[
\left|x_{s j}\left(t, t_{1}\right)\right|<\frac{C^{*}(\rho)}{\rho}=c \quad(s, j=1,2, \ldots, n),
\]

где $c$ не зависит от $t_{1}$, и
\[
\left|x_{s j}\left(t_{1}+T_{1}, t_{1}\right)\right|<\frac{M}{n} .
\]

Покажем теперь, что если $m$ – любое целое число, то
\[
\left|x_{s j}\left(t_{1}+m T, t_{1}\right)\right|<M^{m} .
\]

Так как эти неравенства во всяком случае выполняются при $m=1$, то нам достаточно показать их справедливость, предположив, что

$\left|x_{s j}\left[t_{1}+(m-1) T, t_{1}\right]\right|<M^{m-1}$. Но, сделав такое предположение и положив в тождествах (75.3) $t=m T+t_{1}, a=t_{1}, b=(m-1) T+t_{1}$, будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\left|x_{s j}\left(m T+t_{1}, t_{1}\right)\right|= \\
=\left|\sum_{\alpha=1}^{n} x_{s a}\left[m T+t_{1},(m-1) T+t_{1}\right] x_{\alpha j}\left[(m-1) T+t_{1}, t_{1}\right]\right| \leqslant \\
\left.\leqslant \frac{M}{n} \sum_{\alpha=1}^{n} \right\rvert\, x_{\alpha j}\left[t_{1}+(m-1) T, t_{1}\right]<M \cdot M^{m-1}=M^{m},
\end{array}
\]

что и доказывает наше предложение.
Рассмотрим теперь произвольные числа $t_{0}>0$ и $t>t_{0}$. Пусть $m T \leqslant t-t_{0}=m T+\tau<(m+1) T$, где $m-$ целое число. Полагая в $(75.3) a=t_{0}, b=t_{0}+m T$, получим:
\[
x_{s j}\left(t, t_{0}\right)=\sum_{\alpha=1}^{n} x_{s \alpha}\left(t, t_{0}+m T\right) x_{\alpha j}\left(t_{0}+m T, t_{0}\right),
\]

и так как $t \geqslant t_{0}+m T$, то, применяя (75.14) и (75.16), найдем:
\[
\left|x_{s j}\left(t, t_{0}\right)\right|<n c M^{m}=n c M^{\frac{t-t_{0}-\tau}{T}} \leqslant \frac{n c}{M} M^{\frac{t-t_{0}}{T}} .
\]

Отсюда, полагая $B=\frac{n c}{M}, M^{\frac{1}{T}}=e^{-\alpha}$, где $\alpha>0$, в силу того что $M<1$, окончательно найдем, что при всех $t_{0}$ и $t>t_{0}$ выполняются неравенства (75.4), что и доказывает теорему.

Теорема 2. Если выполняются неравенства (75.4), то существует оп ределенно-положительная функция $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой, составленная в силу уравнений (75.1), есть функция оп ределенно-от рицательная. При этом $\left.{ }^{1}\right)$, если $W\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ есть прошзвольная определенно-положительная борма какогонибудь порядка $m$, коэффициенты которой являются ограниченными и непрерывными функцями времени, то функция $V$ может быть выбрана в виде бормы того же порядка, для кото рой
\[
\frac{d V}{d t}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right)+\frac{\partial V}{\partial t}=-W\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .
\]
1) Эта часть теоремы является уточнением формулировки, данной в работе, цитированной на стр. 318.

Доказательство. Обозначим через $x_{s}(t)=F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots\right.$, $\ldots, x_{n}^{0}, t_{0}$ ) решение уравнений (75.1) с начальными условиями $x_{s}\left(t_{0}\right)=x_{s}^{0}$. Очевидно, имеем:
\[
x_{s}(t)=F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{i a}^{0}, t_{0}\right)=\sum_{a=1}^{n} x_{s a}\left(t, t_{0}\right) x_{a}^{0} .
\]

Пусть $W\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – произвольная форма $m$-го порядка переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$, коэффициенты которой являются непрерывными и ограниченными функциями времени. Рассмотрим форму $m$-го порядка, определяемую равенством
\[
\begin{array}{l}
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)= \\
=\int_{t}^{\infty} W\left[\tau, F_{1}\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right), \ldots, F_{n}\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right] d \tau,
\end{array}
\]

и покажем, что эта форма удовлетворяет всем условиям теоремы.
В самом деле, коэффициенты формы $V$ представляют собой суммы членов вида
\[
P(t)=\int_{t}^{\infty} f(\tau) x_{s_{1} j_{1}}^{m_{1}}(\tau, t) \ldots x_{s_{n} j_{n}}^{m_{n}}(\tau, t) d \tau,
\]

где $f(t)$ – некоторые непрерывные и ограниченные функции $t$, представляющие собой линейные комбинации с целочисленными коэффициентами коэффициентов формы $W\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, а $m_{1}, \ldots, m_{n}-$ целые неотрицательные числа, для которых $m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}=m$.

Из условий (75.4) сразу вытекает, что все интегралы (75.20) сходятся и, следовательно, форма $V$ действительно существует. Более того, из этих неравенств сразу вытекает, что все функции (75.20) ограничены при $t \geqslant 0$. Действительно, имеем:
\[
|P(t)|<B^{m} \int_{t}^{\infty}|f(\tau)| e^{-m \alpha(\tau-t)} d t<B^{m} M \int_{t}^{\infty} e^{-m \alpha(\tau-t)} d \tau=\frac{B^{m} M}{m \alpha},
\]

где $M$-верхний предел функции $f(\tau)$. Таким образом, форма $V$ обладает ограниченными коэффициентами, и, следовательно, допускает бесконечно малый высший предел.

Форма $V$, как это непосредственно следует из (75.19), будет во всяком случае положительной. Покажем, что она является определенно-положительной.

Обозначим с этой целью через $\Delta(\tau, t)$ определитель $\left|x_{s j}(\tau, t)\right|$, через $\Delta_{s j}(\tau, t)$ – его минор, соответствующий элементу $x_{s j}$, и рассмотрим форму $m$-го порядка переменных $y_{s}$ :
\[
W\left(\tau, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)-\lambda^{2} \sum_{\alpha=1}^{n}\left\{\sum_{\beta=1}^{n} \Delta_{\beta \alpha}(\tau, t) y_{\beta}\right\}^{m},
\]

где $\lambda$ – вещественное число. Из (75.4) следует, что для величин $\Delta_{\beta \alpha}$ при $\tau \geqslant t$ могут быть назначены некоторые, независящие ни от $\tau$, ни от $t$, постоянные верхние пределы. И так как $W$ есть форма определенно-положительная, то отсюда следует, что постоянную $\lambda$ можно выбрать настолько малой, чтобы форма (75.21) была также определенно-положительной. Мы будем предполагать, что $\lambda$ действительно выбрано согласно этому условию. Следовательно, если в выражение (75.21) подставим вместо $y_{s}$ любые величины, то оно будет принимать положительные значения. В тастности, если положим:
\[
y_{s}=\sum_{\alpha=1}^{n} x_{s a}(\tau, t) x_{\alpha}=F_{s}\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right),
\]

то будем иметь:
$W\left[\tau, F_{1}\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right), \ldots, F_{n}\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right]-$
\[
-\lambda^{2} \sum_{\alpha=1}^{n}\left\{\sum_{\beta=1}^{n} \Delta_{\mathcal{F C}}(\tau, t) F_{\beta}\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right\}^{m}>0 .
\]

Ho
\[
\sum_{\beta=1}^{n} \Delta_{\beta \alpha}(\tau, t) F_{\beta}=\sum_{\beta, \gamma=1}^{n} \Delta_{\beta \alpha}(\tau, t) x_{\beta \gamma}(\tau, t) x_{\gamma}=\Delta(\tau, t) x_{\alpha},
\]

так как
\[
\sum_{\beta=1}^{n} \Delta_{\beta \alpha} x_{\beta \gamma}=\delta_{\alpha \gamma} \Delta,
\]

где $\delta_{\alpha \gamma}$ – символ Кронекера: $\delta_{\alpha \gamma}=0$ при $\alpha
eq \gamma$ и $\delta_{\alpha \gamma}=1$ при $\alpha=\gamma$. Следовательно,
$W\left[\tau, F_{1}\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right), \ldots, F_{n}\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right]-$
\[
-\lambda^{2} \Delta^{m}(\tau, t) \sum_{a=1}^{n} x_{a}^{m}>0
\]

откуда на основании (75.19) находим:
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \gtrdot \lambda^{2} Q(t) \sum_{\alpha=1}^{n} x_{a}^{m},
\]

где
\[
Q(t)=\int_{i}^{\infty} \Delta^{m}(\tau, t) d \tau=\int_{t}^{\infty} \exp \left(m \sum_{s=1}^{n} \int_{t}^{\mathrm{r}} p_{s s}(t) d t\right) d \tau .
\]

Далее имеем тождественно
\[
\int_{i}^{\infty} \sum_{s=1}^{n} p_{s s}(\tau) \exp \left(m \int_{i}^{\pi} \sum_{s=1}^{n} p_{s s}(t) d t\right) d \tau=-\frac{1}{m} .
\]

Применяя теорему о среднем значении, найдем:
\[
\left(\sum_{s=1}^{n} p_{s s}\right)^{*} Q(t)=-\frac{1}{m},
\]

где $\left(\sum p_{s s}\right)^{*}$ – среднее значение функции $\sum p_{s s}$ в интервале $(t, \infty)$. Но так как функции $p_{s s}$ ограничены, а функция $Q(t)$ положительна, то из (75.23) следует, что функция $Q(t)$ превосходит при любом $t \geqslant 0$ некоторую положительную постоянную $a^{2}$. Следовательно, из ( 75.22 ) находим:
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)>\lambda^{2} a^{2} \sum_{a=1}^{n} x_{\alpha}^{m},
\]

что показывает, что форма $V$ определенно-положительна.
Остается показать, что выполняется уравнение (75.17). C этой целью, поступая так же, как и в $\S 73$, обозначим через $\bar{V}(t)$ функцию, в которую обратится $V$ для произвольного решения уравнений (75.1), т. е. .результат подстановки в $V$ вместо $x_{s}$ функций (75.18). Тогда будем иметь $\frac{d V}{d t}=\frac{d \bar{V}}{d t}$. Но имеем тождественно (см. $\S 72$, формулы (72.2))
\[
\begin{array}{r}
F_{s}\left[\tau, F_{1}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right), \ldots, F_{n}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right), t\right]= \\
=F_{s}\left(\tau, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right),
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\bar{V}(t)=\int_{t}^{\infty} W\left[\tau, F_{1}\left(\tau, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right), \ldots, F_{n}\left(\tau, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)\right] d \tau \text {, } \\
\frac{d V}{d t}=-W\left[t, F_{1}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right), \ldots, F_{n}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)\right]= \\
=-W\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

что и доказывает наше предложение.
Справедливость (75.17) может быть, конечно, непосредственно проверена прямым дифференцированием. Для этого понадобится воспользоваться легко доказываемыми тождествами
\[
\frac{d x_{s j}(\tau, t)}{d t}+\sum_{a=1}^{n} p_{a j}(t) x_{s a}(\tau, t) \equiv 0 .
\]

Таким образом, теорема полностью доказана.
Теорема 1 и 2 показывают, что необходимым и достаточным условием существования для уравнений (75.1) функции Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы II об асимптотической устойчивости, является выполнение неравенств (75.4). Это более жесткое требование, чем асимптотическая устончивость, так как при выполнении неравенств (75.4) функции $x_{s}$ будут с неограниченным возрастанием $t$ стремиться к нулю как показательные функции, а между тем для уравнений с переменными коэффициентами функции $x_{s}$ могут при $t \rightarrow \infty$ стремиться к нулю, не удовлетворяя этому условию. Это легко видеть хотя бы из уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=-\frac{1}{1+t} x
\]

для которого общее решение
\[
x=\frac{x_{0}}{1+t}
\]

стремится к нулю как степенная функция. Отсюда следует, что теорема II A. М. Ляпунова необратима.

Из доказанных теорем вытекаег справедливость также и следующей теоремы.

Теорема 3. Если для уравнений (75.1) существует какаянибудв функщия Ляпунова, удовлетворяющая всем условиям теоремы ІІ об асимптотической устойчивости, то для них существует функция Ляпунова, обладающая такими же свойствами и представляющая ссбой форму заданного порядка.