Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Итак, все случаи, которые могут представиться при решении задачи устойчивости, когда уравнения возмущенного движения имеют вид (19.1), можно подразделить на некритические, когда задача решается первым приближением, и критические, когда рассмотрение лишь первого приближения недостаточно. Случаи будут критическими тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение системы первого приближения, не имея корней с положительными вещественными частями, имеет корни с вещественными частями, равными нулю.
С точки зрения математической критические случаи можно рассматривать как исключительные. Однако с точки зрения механической эти случаи имеют очень важное значение. Так, во всех примерах, рассмотренных нами в $\S \$ 23$ и 24 , устоичивость могла иметь место только в критических случаях. С другой стороны, для многих механических систем характеристическое уравнение системы первого приближения имеет критические корни в силу самого устройства этих систем. Такой, например, будет система регулирования, рассмотренная нами в § 12. Действительно, уравнения возмущенного движенця (12.7) этон системы имеют один характеристический корень, равный нулю.
Таким образом, очень важно иметь методы, позволяющие решать задачу устойчивости в критических случаях. К сожалению, эта задача очень сложна и до сих пор нет общих методов ее решения. При этом задача делается тем сложнее, чем больше число критических корней. Ляпунов разрешил эту задачу для следующих трех случаев:
1) Характеристическое уравнение имеет один нулевой корень и $n$ корней с отрицательными вещественными частями.
2) Характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней и $n$ корней с отрицательными вещественными частями.
3) Характеристическое уравнение имеет два нулевых корня, и система имеет только второй порядок. При этом двоиному нулевому корню соответствует только одна группа решений.
В следующей главе мы рассмотрим первые два случая. Случай двойного нулевого корня при несколько иных предположениях будет рассмотрен в главе VI, после того как будут установлены некоторые общие теоремы теории критических случаев. В этой же главе будут рассмотрены и критические случаи, когда характеристическое уравнение имеет две пары чисто мнимых корней и когда оно имеет один нулевой и пару чисто мнимых корней.
