Мы переходим теперь к рассмотрению нелинейных уравнений
\[
\begin{aligned}
\frac{d x_{s}}{d t}= & p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+q_{s 1} u_{1}+\ldots+q_{s r} u_{r}+ \\
& +R_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right) \quad(s=1, \ldots, n),
\end{aligned}
\]

описывающих возмущенные движения $x_{s}(t)$ управляемой системы в окрестности заданного движения $x_{s}=0$. Будем предполагать, как обычно, что функции $R_{s}$ определены в области
\[
t \geqslant 0, \quad\left|x_{s}\right|<H \quad(s=1, \ldots, n) .
\]

где они непрерывны и удовлетворяют неравенствам
\[
\begin{array}{l}
\left|R_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right)\right| \leqslant \\
\leqslant A\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|+\left|u_{1}\right|+\ldots+\left|u_{r}\right|\right\},
\end{array}
\]

причем $A$ – некоторая постоянная.
Наряду с уравнениями (114.1) рассмотрим систему первого приближения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+q_{s 1} u_{1}+\ldots+q_{s r} u_{r} \\
(s=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

При каких условиях возможность стабилизации системы (114.1) вытекает из решения проблемы в первом приближении? Исследование этого вопроса составляет предмет теории стабилизации системы (114.1) по линейному приближению. Мы ограничимся здесь лишь достаточными условиями, при которых ответ на заданный вопрос является положительным. Эти результаты являются следствием достаточных условий разрешимости задач II для системы (114.4) при условии мини-
1) Стандартные программы для решения задач изложенными способами имеются, например, в вычислительном центре Уральского государственного университета.
${ }^{2}$ ) Лурье А. И., Минимальный квадратичный критерий качества регулируемой системы. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, №4, 1933.

мума интеграла
\[
I=\int_{t_{0}}^{\infty}\left(\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i} x_{j}+\sum_{i, j=1}^{r} \beta_{i j} u_{i} u_{j}\right) d t .
\]

данных в теоремах 1 и $2 \S 112$ и следствием общих теорем об асимптотической устойчивости по первому приближению, приведенных в $\$ \S 22,85$.

Рассмотрим сначала случай установившегося невозмущенного движения $x_{s}=0$, когда величины $p_{s}$, и $q_{s j}$ в уравнениях (114.1) являются постоянными и функции $R_{s}$ не зависят явно от времени. Тогда справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Если ранг матрицы
\[
W=\left\{Q, P Q, \ldots, P^{n-1} Q\right\}
\]

равен п, то задача I о стабилизации системы (114.1) решается исходя из линейного приближения (114.4) при любом выборе бункций $R_{s}$, удовлетворяющих неравенствам (114.3), если только постоянная $A$ достаточно мала. Управляющие воздействия $u_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ можно выбрать в форме линейных оункиий
\[
u_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=v_{1 j} x_{1}+\ldots+v_{n j} x_{n},
\]
$\imath$ де $v_{i j}$ – постоянные.
Доказательство. Выберем как-нибудь определенно положительные квадратичные формы
\[
\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i} x_{j} \text { и } \sum_{i, j=1}^{r} \beta_{i j} u_{i} u_{j}
\]

с постоянными $\alpha_{i j}$ и $\beta_{l j}$. Согласно теореме $1 \S 112$, если ранг $W$ равен $n$, то для системы (114.4) можно решить задачу II об оптимальной стабилизации при условии минимума интеграла (114.5). При этом получатся оптимальные стабилизирующие возденствия $u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, описываемые линейными функциями
\[
u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=v_{1 j} x_{1}+\ldots+v_{n j} x_{n} .
\]

При $u_{j}=u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ линенная система, описываемая уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+ \\
+q_{s 1} u_{1}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\ldots+q_{s r} u_{r}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\end{array}
\]

будет асимптотически устойчивой.

Выберем для нелинейной системы (114.1) в качестве управляющих воздействий $u_{j}$ величины $u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ (114.8). Подставив $u_{j}=u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ в уравнения (114.1), получим нелинейные уравнения возмущенного движения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+ \\
+q_{s 1} u_{1}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\ldots+q_{s r} u_{r}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\varphi_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(s=1, \ldots, n),
\end{array}
\]

где функции
\[
\varphi_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=R_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, u_{r}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right.
\]

вследствие (114.3) удовлетворяют неравенству
\[
\begin{array}{c}
\left|\varphi_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right| \leqslant A_{1}\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\} \\
(s=1, \ldots n),
\end{array}
\]

где
\[
A_{1}=A(1+v), v=\max \left(\sum_{i=1}^{n}\left|v_{i j}\right|, \quad j=1, \ldots, r\right) .
\]

Уравнения (114.9) составляют для системы уравнении (114.10) систему первого приближения.
Характеристическое уравнение
\[
\left|\begin{array}{ccc}
p_{11}+\sum_{j=1}^{r} q_{1 j} v_{1 j}-\lambda & \ldots & p_{1 n}+\sum_{j=1}^{r} q_{1 j} v_{n j} \\
\cdot & \ldots & \cdot \\
\cdot & \ldots & \cdot \\
p_{n 1}+\sum_{j=1}^{r} q_{n j} v_{1 j} & \ldots & p_{n n}+\sum_{j=1}^{r} q_{n j} v_{n j}-\lambda
\end{array}\right|=0
\]

асимптотически устойчивой системы (114.9) имеет все корни $\lambda_{i}$ с отрицательными действительными частями. Отсюда по теореме 1 $\S 22$ заключаем, что невозмущенное движение $x_{s}=0$ системы (114.10) при условии (114.12) асимптотически устойиво, если только постоянная $A$ достаточно мала. Тем самым теорема 1 полностью доказана.

Перейдем теперь к случаю неустановившегося невозмущенного движения $x_{s}=0$, когда величины $p_{s i}$ и $q_{s j}$ в уравнениях (114.4) предполагаются переменными функциями времени. Теорема о стабилизации по первому приближению в этом случае может быть сформулирована следующим образом.

Теорема 2. Составим мат рицу
\[
W(t)=\left\{L_{1}(t), \ldots, L_{n}(t)\right\},
\]
$2 \partial e$
\[
\begin{array}{c}
L_{1}(t)=Q(t), \ldots, L_{k+1}=\frac{d L_{k}(t)}{d t}-P(t) L_{k}(t) \\
(k=1, \ldots, n-1) .
\end{array}
\]

Пусть бункции $p_{s i}(t)$ и $q_{s j}(t)$ имеют при $t \geqslant t_{0}$ равномерно непрерывные и ограниченные производные до ( $n-1$ )-го порядка включительно. Если при каждом $t \geqslant t_{0}$ в матрице $W(t)$ можно выделить $n$ линейно независимых векторов-столбцов ${ }^{\left(l_{k}\right)}(t)$ $(k=1, \ldots, n)$ таках, что квадратичная форма $\left.{ }^{1}\right)$
\[
\Phi\left(t, l_{1}, \ldots, l_{n}\right)=\sum_{k, j=1}^{n}\left(\sum_{s=1}^{n} w_{s i_{k}}(t) w_{s i_{j}}(t)\right) l_{k} l_{j}
\]

является определенно положительной, то задача I о стабилизащии системы (114.1) решается исходя из линейного приближения (114.4) при любом выборе функиий $R_{s}$, удовлетворяющих неравенствам (114.3), если только постоянная $A$ достаточно мала. Управляющие воздействия $u_{j}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ можно выбрать в форме линейных фуункий
\[
u_{j}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=v_{1 j}(t) x_{1}+\ldots+v_{n j}(t) x_{n},
\]

где $v_{i j}(t)$-непрерывные и ограниченные функции времени $t$.
Доказательство. Выберем как-нибудь определенно-положительные функции
\[
\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j}(t) x_{i} x_{j} \quad \text { и } \quad \sum_{i, j=1}^{n} \beta_{i j}(t) u_{i} u_{j} .
\]

При условиях доказываемой теоремы выполняются предположения теоремы $2 \S 112$. Поэтому для системы (114.4) можно решить задачу II об оптимальной стабилизации при условии минимума интеграла (114.5). При этом получатся оптимальные стабилизирующие воздействия $u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ вида
\[
u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=v_{1 j}(t) x_{1}+\ldots+v_{n j}(t) x_{n},
\]

где $v_{i j}(t)$ – ограниченные и непрерывные функции вре мени.
1) Условие определенной положительности формы $\Phi\left(t, l_{1}, \ldots, l_{n}\right)$ означает, что линейная независимость выбанных векторов $\left.w^{(i k}\right)_{\text {в }}$ известном смысле равномерна по $t \geqslant t_{0}$ и углы между этими векторами не могут становиться произвольно малыми.

Подставляя $u_{j}=u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right.$ ) в уравнения (114.17), получим линейную систему с переменными коэффициентами
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1}(t) x_{1}+\ldots+p_{s n}(t) x_{n}+ \\
+q_{s 1}(t) u_{1}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\ldots+q_{s r}(t) u_{r}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(s=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

По построению управляющих воздействий $u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ невозмущенное движение $x_{s}=0$ системы (114.18) асимптотически устойчиво. Более того, для системы (114.18) можно указать допускающую бесконечно малый высший предел определенно-положительную функцию Ляпунова $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, имеющую определенно отрицательную производную $\frac{d V}{d t}$ в силу уравнений (114.18). В качестве такой функции $V$ можно выбрать оптимальную функцию Ляпунова $V^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, существование которой обеспечивается теоремой 2 из $\S 112$.

Выберем теперь в нелинейной системе (114.1) в качестве управляющих возденствий $u_{j}$ величины $u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ (114.17). Подставив $u_{j}=u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ в уравнения (114.1), получим нелинейные уравнения возмущенного движения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1}(t) x_{1}+\ldots+p_{s n}(t) x_{n}+q_{s 1}(t) u_{1}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+ \\
+\ldots+q_{s r}(t) u_{r}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(s=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Здесь функции
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)= \\
\quad=R_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, u_{r}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)
\end{array}
\]

удовлетворяют неравенству

где
\[
\left|\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right| \leqslant A_{1}\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\},
\]
\[
\begin{array}{c}
A_{1}=A(1+v) \\
v=\max \left(\sum_{i=1}^{n}\left|v_{i j}\right|, \quad j=1, \ldots, r ; t \geqslant 0\right) .
\end{array}
\]

Невозмущенное движение $x_{s}=0$ системы (114.19) асимтотически устойчиво вследствие теоремы I из § 88, если только постоянная $A$ достаточно мала. В самом деле, для системы первого приближения. (114.18) существует функция Ляпунова $V^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетворяющая теореме II об асимптотической устойчивости, и имеет место оценка (114.20). Отсюда следует справедливость теоремы 2.

Итак, мы указали достаточные условия разрешимости задачи I о стабилизации нелинейной системы (114.1) по первому приближению (114.2).

Вопрос о решении задачи II об оптимальной стабилизации системы (114.1) по первому приближению решается аналогичным образом. Мы приведем здесь лишь формулировку результатов. Доказательство этих результатов можно найти в работах Э. Г. Альбрехта и В. И. Зубова ${ }^{1}$ ).

Рассмотрим снова систему уравнений (114.1), где будем предполагать, что функции $R_{s}$ разлагаются в области (114.2) в ряды по степеням $x_{s}$ и $u_{j}$ с коэффициентами, являющимися непрерывными и ограниченными функциями времени $t$. Прелполагаем, как всегда, что эти разложения начинаются с членов, порядок которых не ниже второго.

Для системы (114.1) рассмотрии задачу II об оптимальной стабилизации при условии минимума интеграла
\[
I=\int_{t_{0}}^{\infty} \omega\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t), u_{1}(t), \ldots, u_{r}(t)\right) d t
\]

где функция а также предполагается аналитической функцией величин $x_{s}$ и $u_{j}$, т. е. разлагается в ряд по степеням этих величин с непрерывными и ограниченными коэффициентами.

По смыслу задачи об оптимальной стабилизации функцию $\omega$ целесообразно выбирать в виде определенно-положительной функции от $x_{s}$ и $u_{j}$. Поэтому можно предполагать, что разложение функции $\omega$ в ряд начинается с четных степеней $x_{s}$ и $u_{j}$. В соответствии с этим обсудим случаи, когда функция $\omega$ имеет разложение
$\omega\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right)=$
\[
=\sum_{k=2}^{\infty} \omega^{(k)}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right) \text {, }
\]

где $\omega^{(k)}$ – формы переменных $x_{s}$ и $u_{j}$. При этом полагаем, что первый член $\omega^{(2)}$ разложения (114.22) является определенно-положительной функцией вида
\[
\omega^{(2)}=\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i} x_{j}+\sum_{i, j=1}^{r} \beta_{i j} u_{i} u_{j},
\]
1) См. сноски на стр. 492.

т. е. формы
\[
\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i} x_{j} \text { и } \sum_{i, j=1}^{r} \beta_{i j} u_{i} u_{j}
\]

предполагаются определенно-положительными.
Допустим, что система уравнений первого приближения удовлетворяет условиям теоремы 1 (стр. 497) в случае установившегося невозмущенного движения $x_{s}=0$, или условиям теоремы 2 в случае неустановившегося движения $x_{s}=0$ (стр. 499). Тогда согласно теоремам 1 и 2 § 112 задача II об огтимальной стабилизации линейных систем (114.4) при условиях минимума интеграла (114.5) от квадратичных форм (114.22) имеет решение вида
\[
u_{j}^{0}=v_{1 j} x_{1}+\ldots+v_{n j} x_{n} .
\]

Оказывается, что в таких случаях задача II об оптимальной стабилизации нелинейной системы (114.1) при условии минимума интеграла (114.21) с функцией $\omega$ общего вида (114.22) также имеет решение. При этом оптимальное управление $u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ такой задачи представляется в виде рядов
\[
\begin{array}{c}
u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} u_{j}^{(k)}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(j=1, \ldots, r),
\end{array}
\]

которые сходятся при всех достаточно малых значениях $x_{s}$.
Здесь $u_{j}^{(1)}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ представляют собой линейные формы
\[
u_{j}^{(1)}=v_{1 j} x_{1}+\ldots+v_{n j} x_{n},
\]

совпадающие с оптимальным управлением (114.24), решающим задачу (114.1), (114.21) в первом приближении. Коэффициенты форм $u_{j}^{(k)}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ при $k \geqslant 2$ определяются из некоторых систем линейных уравнений. В случае погтоянных $p_{s j}, q_{s j}, \alpha_{i j}, \beta_{i j}$ эти уравнения оказываются алгебраическими. В общем случае переменных $p_{s j}(t), \quad q_{s j}(t), \quad \alpha_{i j}(t), \beta_{i j}(t)$ эти уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Область сходимости рядов (114.25) определяется коэффициентами и свойствами линейной системы (114.18).