В $\S 71-73,75$ настоящей книги рассматривалась проблема обращения теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Ниже приводится с небольшими изменениями содержание статьи И. Г. Малкина «К вопросу об обратимости теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости», опубликованной после выхода в свет первого издания настоящей монографии. В этой статье установлены необходимые и достаточные условия существования функции Ляпунова в общем случае неустановившихся движений.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad\left(X_{s}(t, 0, \ldots, 0)=0 ; s=1, \ldots, n\right),
\]

определенную в области
\[
t \geqslant 0, x \leqslant H^{2}, x=\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2},
\]

где $H$ – положительная постоянная. Согласно теореме II Ляпунова (стр. 189) невозмущенное движение $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ будет асимптотически устоичиво, если существует определенно-положительная функция $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, полная производная которой по времени, составленная в силу уравнений (101.1), есть функция определенноотрицательная и если при этом функция $V$ допускает бесконечно малый высшић предел. Возникает вопрос об обратимости этой теоремы, т. е. вопрос о существовании функции $V$, удовлетворяющей всем указанным условиям, всякий раз, когда невозмущенное движение асимптотически устойчиво ${ }^{1}$ ). В общем случае теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости не обратима. Этот вопрос исследо-
1) См. стр. 310

ван в § 75 для случая, когда функции $X_{s}$ линейны относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и по отношению к $t$ непрерывны и ограничены, причем для такого рода систем установлены необходимые и достаточные условия существования функций $V$, удовлетворяющих всем условиям теоремы Ляпунова.

Здесь мы будем рассматривать нелинейные уравнения (101.1), правые части которых в области (101.2) непрерывны и допускают непрерывные и ограниченные частные производные по $x_{1}, \ldots, x_{n}$.