Рассмотрим теперь особенный случай. Допустим, следовательно, что при замене в функции $X\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ величин $x_{s}$ функциями $u_{s}(x)$, удовлетворяющими уравнениям (31.3), получится тождественно нуль. В этом случае при преобразовании уравнений (28.6) при помощи подстановки (31.4) мы будем иметь в полученных таким образом уравнениях (31.5) соотношения
\[
\bar{X}^{(0)}(x, 0, \ldots, 0)=\bar{X}_{s}(x, 0, \ldots, 0)=0 \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти соотношения непосредственно вытекают из (31.6).
Но при выполнении соотношений (33.1) уравнения (31.5) имеют решение
\[
x=c, \quad \xi_{1}=\ldots=\xi_{n}=0,
\]

где $c$-произвольная постоянная. Следовательно, уравнения (28.6) имеют решение
\[
x=c, \quad x_{s}=u_{s}(c) .
\]

Тривиальное решение $x=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ содержится в семейств (33.2) и соответствует нулевому значению постоянной $c^{1}$ ).

Тривиальному решению соответствует исследуемое невозмущенное установившееся движение рассматриваемой динамической системы. Точно так же решению (33.2) соогветствуют другие установившиеся движения рассматриваемой системы. Таким образом, в особенном случае исследуемое невозмущенное движение принадлежит к семенству установившихся движении.

Справедливо и обратное. Пусть предложенная динамическая система описывается уравнениями
\[
\frac{d y_{l}}{d t}=Y_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{n+1}\right) \quad(l=1,2, \ldots, n+1),
\]

где правые части не зависят явно от $t$, поскольку мы рассматриваем установившиеся движения. Допустим, что динамическая система имеет установившееся движение, т. е. что уравнения (33.3) имеют частное решение $y_{i}=a_{i}$, где $a_{i}$ — постоянные. Эти постоянные определяются системой уравнений
\[
Y_{i}\left(a_{1}, \ldots, a_{n+1}\right)=0 \quad(i=1,2, \ldots, n+1) .
\]

Может случиться, что уравнения (33.4) имеют не изолированное решение, а целое семейство решений, зависящее от одного произвольного параметра $\lambda$, так что эти уравнения удовлетворяются при $y_{i}=a_{i}(\lambda)$, где $a_{i}(\lambda)$ — некоторые функции от $\lambda$. Следовательно, рассматриваемая динамическая система имеет однопараметрическое семейство установившихся движений. Примем одно из движений этого семейства, соответствующее, например, значению $\lambda_{0}$ параметра, за невозмущенное и составим дифференшиальные уравнения возмущенного движения. Покажем, что при этом один корень характеристического уравнения будет обязательно равен нулю, и если остальные корни будут иметь отрицательные вещественные части, то рассматриваемый случай будет обязательно особенным.

Мы предполагаем при этом, как во всен этой главе, что уравнения (33.3) аналитичны в некоторой области и что исследуемое невозмущенное движение лежит в этой области.
1) См. примечание в конце книги (стр. 521).

Искомые уравнения возмущенного движения получим, преобразуя (33.3) при помощи подстановки
\[
x_{l}=y_{i}-a_{i}\left(\lambda_{0}\right) .
\]

Таким путем получаем:
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=q_{i 1} x_{1}+\ldots+q_{i, n+1} x_{n+1}+X_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n+1) \text {, }
\]

где $X_{t}$ — аналитические функции переменных $x_{1}, \ldots, x_{n+1}$, разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка.
Рассмотрим уравнения
\[
\begin{array}{c}
F_{i}=q_{i 1} x_{1}+\ldots+q_{i, n+1} x_{n+1}+X_{i}=0 \\
(l=1,2, \ldots, n+1) .
\end{array}
\]

Эти уравнения удовлетворяются при $x_{1}=\ldots=x_{n+1}=0$. Если бы в этой точке функциональный определитель системы (33.6)

был отличен от нуля, то никакого другого решения в окрестности начала координат уравнения (33.5). не имели бы. Однако в рассматриваемом случае это неверно. Действительно, поскольку дифференциальные уравнения (33.3) имеют решение $y_{l}=a_{i}\left(\lambda_{i}\right)$, то дифференциальные уравнения (33.5) должны иметь решение $x_{i}=a_{i}(\lambda)-a_{i}\left(\lambda_{0}\right)$. Поэтому уравнения (33.6) должны удовлетворяться при $x_{i}=$ $=a_{i}(\lambda)-a_{i}\left(\lambda_{0}\right)$. Это решение, зависящее от произвольного параметра, лежит при $\lambda$, достаточно близком к $\lambda_{0}$, в окрестности начала координат и переходит в тривиальное при $\lambda=\lambda_{0}$. Итак, решение $x_{1}=\ldots=x_{n+1}=0$ уравнений (33.6) не является изолированным, и поэтому определитель (33.7) необходимо равен нулю. Следовательно, характеристическое уравнение системы (33.5) имеет, по крайней мере, один нулевой корень.

Допустим, что остальные $n$ корней характеристического уравнения отличны от нуля. Преобразуем систему (33.5) к виду (28.6):
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t}=X\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+p_{s} x+X_{s}\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]

где уравнение

не имеет нулевого корня. При этом система (33.8) должна иметь решение $x_{s}=f_{s}(\lambda)(s=1,2, \ldots, n), x=f(\lambda)$, в которое переходит решение $x_{i}=a_{i}(\lambda)-a_{i}\left(\lambda_{0}\right) \quad(i=1,2, \ldots, n+1)$ системы (33.5). Здесь все функции $f, f_{s}$ обращаются в нуль при $\lambda=\lambda_{0}$ и $f_{s}(\lambda)=a_{s}(\lambda)-a_{s}\left(\lambda_{0}\right) \quad(s=1,2, \ldots, n)$.
Следовательно, уравнения
\[
\left.\begin{array}{r}
X\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0 \\
p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+p_{s} x+X_{s}\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0 \\
(s=1,2, \ldots, n)
\end{array}\right\}
\]

должны удовлетворяться решением $x=f(\lambda), x_{s}=f_{s}(\lambda)$, содержащим тривиальное решение $x=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$.

Но так как $D(0)
eq 0$, то последние $n$ уравнений (33.10) могут быть разрешены относительно $x_{s}$ и дадут $x_{s}=u_{s}(x)$, где $u_{s}$ — функции, рассмотренные в § 31. Подставляя эти функции в первое уравнение (33.10), мы получим одно уравнение для определения $x$. Это уравнение должно удовлетворяться при $x=f(\lambda)$, т. е. иметь бесчисленное множество решений, соответствующих различным значениям $\lambda$, что, очевидно, возможно лишь только тогда, когда $X\left(x, u_{1}(x), \ldots, u_{n}(x)\right) \equiv 0$. Если при этом все корни уравнения (33.9) имеют отрицательные вещественные части, то мы будем иметь особенный случай.

Примером динамической системы, имеющей семейство установившихся движений, зависящее от произвольного параметра, может служить твердое тело, вращающезся по инерции вокруг закрепленной точки. Уравнения движения такого тела
\[
\begin{array}{l}
A \frac{d p}{d t}+(C-B) q r=0, \\
B \frac{d q}{d t}+(A-C) r p=0, \\
C \frac{d r}{d t}+(B-A) p q=0,
\end{array}
\]

где $p, q, r$ — проекции вектора мгновенной угловой скорости на оси координат, направленные по главным осям инерции в закрепленной точке, а $A, B, C$ — моменты инерции относительно этих осей, имеют три семейства решений:
\[
p=\omega, \quad q=r=0 ; \quad q=\omega, \quad r=p=0 ; \quad r=\omega, \quad p=q=0 .
\]

зависящих каждое от произвольной постоянной $\omega$. Дифференциальные уравнения возмущенного движения, когда за невозмущенное движение принято одно из движений первого семейства, имеют вид (23.1)
\[
\left.\begin{array}{r}
A \frac{d x}{d t}+(C-B) y z=0 \\
B \frac{d y}{d z}+(A-C)(x+\omega) z=0 \\
C \frac{d z}{d t}+(B-A)(x+\omega) y=0 .
\end{array}\right\}
\]

Характеристическое уравнение первого приближения действительно имеет один нулевой корень (см. § 22), и так как в переменных $x$, $y, z$ рассматриваемому семенству движений отвечают нулевые значения переменных $y$ и $z$, то уравнения (33.11) уже имеют форму (31.5). Действительно, правые части всех трех уравнений обращаются в нуль при $y=z=0$.

Необходимо, однако, указать, что вещественные части остальных двух корней характеристического уравнения не могут быть одновременно отрицательными, и потому уравнения (33.11) не принадлежат к типу сейчас рассматриваемых. Напомним, что полное решение задачи устойчивости для системы (33.11) дано в § 23 .