Мы переходим теперь к рассмотрению устойивости периодических движений, когда в дифференциальных уравнениях возмущенного движения учитываются также и нелинейные члены. Допустим, что эти уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1}(t) x_{1}+\ldots+p_{s n}(t) x_{n}+X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $p_{s j}$ – непрерывные периодические функции периода $\omega$, а $X_{s}$ нелинейные добавки. Первая основная задача, которая здесь возникает, заключается в установлении необходимых и достаточных условий устойчивости по первому приближению, т. е. условий, при которых задача устоичивости для уравнений (64.1) решается уравнениями первого приближения
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Решению этой задачи и посвящен настоящий параграф. При этом мы будем предполагать, что нелинейные добавки $X_{s}$ в уравнениях (64.1) удовлетворяют следующим сбщим условиям:
1) Существует область
\[
t \geqslant t_{0}, \quad\left|x_{s}\right| \leqslant H,
\]

в которой выполняются неравенства
\[
\left|X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right| \leqslant A\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\},
\]

где $A$ – некоторая постоянная.
2) В области (64.3) функции $X_{s}$ непрерывны и удовлетворяют некоторым общим условиям, при которых уравнения (64.1) имеют единственное решение для всякой системы начальных условий, взятых в указанной области.

Из (64.4) вытекает, что функции $X_{s}$ удовлетворяют также обычному условию $X_{s}(t, 0, \ldots, 0)=0$.

Хотя мы сенчас рассматриваем устоћчивость периодических движений, мы не будем в этом параграфе предполагать, что функции $X_{s}$ по отношению к $t$ являются периодическими, так как все выкладки этого параграфа остаются справедливыми без этого ограничения.

Докажем теперь следующие теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Т еорема 1. Если все корни характе ристического уравнения системы первого приближения (64.2) имеют модули, меньшие единиц, то невозмущенное движение для уравнений (64.1) асимптотически устойчиво при любом выборе бункций $X_{s}$, удовлетворяющих указанным для них условиям, если только постоянная в в неравенствах (64.4) бостаточно мала ${ }^{1}$ ).

Доказательство. Как было показано в § 54, существует линейная подстановка
\[
y_{j}=f_{j 1}(t) x_{1}+\ldots+f_{j n}(t) x_{n} \quad(j=1,2, \ldots, n)
\]

с периодическими (периода $\omega$ или $2 \omega$ ) коэффициентами, преобразующая систему линейных уравнений (64.2) с периодическими коэффициентами в систему линейных уравнений
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=q_{s 1} y_{1}+\ldots+q_{s n} y_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

с постоянными коэффициентами. При этом детерминант преобразования (64.5) не обращается в нуль ни при каких значениях $t$, вследствие чего задача устойчивости по отношению к переменным $x_{s}$ эквивалентна задаче устойчивости по отношению к переменным $y_{s}$. Если преобразование (64.5) применить к уравнениям (64.1), то они примут вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d y_{s}}{d t}=q_{s 1} y_{1}+\ldots+q_{s n} y_{n}+Y_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $Y_{s}$ – функции такого же вида, как и $X_{s}$. В частности, имеем, что в области, в которую преобразуется область (64.3), выполняются неравенства
\[
\left|Y_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right|<B\left\{\left|y_{1}\right|+\ldots+\left|y_{n}\right|\right\},
\]

где $B$-также постоянная, которая будет сколь угодно мала, если $A$ достаточно мало. $\qquad$
1) А. М. Ляпунов предполагал, что функции $X_{s}$ являются аналитическими по отношению к $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и их разложения по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка. Однако рассуждения Ляпунова остаются справедливыми и при вышеуказанных общих условиях.

Согласно $\S 55$ корни определяющего уравнения системы (64.6) являются характеристическими показателями системы (64.2). Так как, по условию, все корни характеристического уравнения системы (64.2) имеют модули, меньшие единицы, то характеристические показатели этой системы будут иметь отрицательные вещественные части.

Таким образом, все корни уравнения (64.9) имеют отрицательные вещественные части. Но тогда существует одна и только одна квадратичная форма $V\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, удовлетворяющая уравнению
\[
\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial y_{s}}\left(q_{s 1} y_{1}+\ldots+q_{s n} y_{n}\right)=-\sum_{s=1}^{n} y_{s}^{2},
\]

и эта форма будет обязательно определенно-положительной Составим теперь производную по $t$ от формы $V$ в силу уравнений (64.7). Будем иметь:
\[
\frac{d V}{d t}=-\sum_{s=1}^{n} y_{s}^{2}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial y_{s}} Y_{s} .
\]

Эта производная будет определенно-отрицательной при любом выборе функций $Y_{s}$, если только величина $B$ в неравенствах (64.8) будет достаточно малой, т. е. если достаточно малой будет величина $A$ в неравенствах (64.4). Но при этом условии функция $V$ удовлетворяет всем условиям теоремы II Ляпунова (§ 46), что и доказывает теорему.

Теорема 2. Если характеристическое уравнение системы первого приближения (64.2) имеет хотя бы один корень с модулем, большим единиц, то невозмущенное движение для системы (64.1) будет неустойчиво при любом выборе функций $X_{s}$, удовлетворяющих указанным для них условиям, если только величина $A$ в неравенствах (64.4) достаточно мала.

Доказательство. Так же как и при доказательстве предыдущей теоремы, будем рассматривать вместо системы (64.1) эквивалентную ей систему (64.7). В рассматриваемом случае определяющее уравнение (64.9) имеет, по краћнней мере, один корень с положительной вещественной частью. Вследствие этого (теорема 3 § 21 ) можно найти квадратичную форму $V\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, удовлетворяющую уравнению
\[
\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial y_{s}}\left(q_{s 1} y_{1}+\ldots+q_{s n} y_{n}\right)=\alpha V+\sum_{s=1}^{n} y_{s}^{2},
\]

где $\alpha$ – некоторое положительное число, причем форма $V$ может принимать положительные значения, т. е. существует область, где $V>0$. Производная $\frac{d V}{d t}$, состав.енная в силу уравнений (67.7), имеет вид
\[
\frac{d V}{d t}=\alpha V+W\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}\right),
\]

где
\[
W=\sum_{s=1}^{n} y_{s}^{2}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial y_{s}} Y_{s}
\]

есть функция определенно-положительная, каковы бы ни были функции $Y_{s}$, если только величина $A$ в неравенствах (64.4) достаточно мала. Форма $V$ удовлетворяет всем условиям теоремы Н. Г. Четаева о неустойчивости (§ 48). В самои деле, из (64.10) вытекает, что в области $V>0$ выполняется также неравенство $\frac{d V}{d t}>0$. Кроме того, как легко видеть, выполняются все остальные условия теоремы Н. Г. Четаева. Отсюда вытекает справедливость теоремы.