Мы предполагали в предыдущем параграфе, что разложения правых частей первой группы уравнений (92.1) не содержат линейных членов. Однако многие критические случаи приводятся к исследованию систем вида
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d y_{i}}{d t}=q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}+Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k}+ \\
+X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(i=1,2, \ldots, k ; s=1,2, \ldots, n)
\end{array}\right\}
\]

отличающихся от (92.1) наличием в первой группе уравнений линей ных относительно $y_{i}$ членов. Наличие этих членов не препятствует применению теоремы § 91 , так как эти члены содержатся в уравнениях (91.1), к которым эта теорема относится. Однако эти члены мешают привести систему (92.1) к виду (91.1), т. е. уничтожить во второй группе уравнений этой системы все не зависящие от $x_{1}, \ldots, x_{n}$ члены до достаточного высокого порядка.

Действительно, поступая так же, как в предыдущем параграфе, т. е. делая замену переменных
\[
\begin{aligned}
x_{s} & =\xi_{s}+u_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)= \\
& =\xi_{s}+u_{s}^{(1)}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)+u_{s}^{(2)}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)+\ldots
\end{aligned}
\]

и стараясь подобрать функции $u_{s}$ так, чтобы уничтожить вышеуказанные мешающие члены, мы придем вместо уравнений с частными производными (92.6) к уравнениям
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial u_{s}}{\partial t}+\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial u_{s}}{\partial y_{i}}\left[q_{i 1} y_{1}+\ldots\right. & \left.+q_{i k} y_{k}+Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right]= \\
=p_{s 1} u_{1}+\ldots & +p_{s n} u_{n}+r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k}+ \\
& +X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right) .
\end{aligned}
\]

Тогда уравнения, определяющие формы $u_{s}^{(m)}$, примут вместо (92.9) более сложный вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u_{s}^{(m)}}{\partial t}+\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial u_{s}^{(m)}}{\partial y_{i}}\left(q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}\right)= \\
=p_{s 1} u_{1}^{(m)}+\cdots+p_{s n} u_{n}^{(m)}+U_{s}^{(m)}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Вопрос о возможности удовлетворения уравнениям (93.4) формами с ограниченными коэффициентами представляет в общем случае большие трудности. Но если такие фориы существуют и уравнениям (93.3) можно, следовательно, удовлетворить формальными рядами
\[
\begin{array}{c}
u_{s}=u_{s}^{(1)}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)+u_{s}^{(2)}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)+\ldots \\
(s=1,2, \ldots, n)
\end{array}
\]

с ограниченными коэффициентами, то все результаты предыдущего параграфа сохраняют силу. В этом случае задача устоћчивости будет решаться первой группой уравнений (93.1), в которых величины $x_{s}$ должны быть заменены функциями $u_{s}$, т. е. формальными рядами (93.5).

Таким образом, вопрос о применимости к уравнениям (93.1) основной теоремы предыдущего параграфа сводится к выяснению возможности удовлетворения уравнениям (93.3) формальными рядами с ограниченными коэффициентами, или, что то же самое, к вопросу о существовании форм с ограниченными коэффициентами, удовлетворяюцих уравнениям вида (93.4). Этот вопрос легко разрешается в случае, когда все коэффициенты $q_{i j}$ и $r_{s j}$ являются постоянными. К этому важному случаю, охватывающему все критические случаи установившихся и периодических движений, мы сейас и переходим.
Полагая $m=n+k$, рассмотрим систему $m$-го порядка
\[
\begin{array}{c}
\frac{d z_{j}}{d t}=a_{j 1} z_{1}+\ldots+a_{j m} z_{m}+Z_{j}\left(t, z_{1}, \ldots, z_{m}\right) \\
(j=1,2, \ldots, m),
\end{array}
\]

где $a_{j s}$ – постоянные, а коэффициенты разложений $Z_{j}$, начинающихся членами не ниже второго порядка, являются непрерывными и ограниченными функциями времени. Допустим, что характеристическое уравнение
\[
\left|a_{j s}-\delta_{j s} \lambda\right|=0
\]

имеет $n$ корней с отрицательными вещественными частями и $k$ корней с вещественными частями, равными нулю. Если, в частности, функции $Z_{j}$ не зависят явно от $t$, то мы будем иметь самый общий критический случай установившихся движений, а если $Z_{j}$ являются периодическими функциями $t$, то мы получим самый общий случай периодических движений.

При помощи неособенного линейного преобразования с постоянными коэффициентами мы можем вместо переменных $z_{1}, \ldots, z_{m}$ ввести переменные $y_{1}, \ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}$ таким образом, чтобы линеиная часть уравнений (93.6) приняла вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d y_{i}}{d t}= & q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}, \\
\frac{d x_{s}}{d t}= & p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k} \\
& (i=1,2, \ldots, k ; s=1,2, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]

Здесь коэффициенты $q_{i j}$ и $p_{s j}$ таковы, что вещественные части всех корней уравнения $n$-го порядка

отрицательны, а вещественные части всех корней уравнения $k$-rо порядка

равны нулю. Совокупность $n+k$ корней уравнения (93.7) и определяет все корни уравнений (93.9), (93.10). При этом в случае необходимости указанное преобразование может быть выбрано таким образом, чтобы уравнения (93.8) имели канонический вид
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d y_{1}}{d t}=\lambda_{1} y_{1}, \quad \frac{d y_{i}}{d t}=\lambda_{i} y_{i}+\alpha_{i} y_{i-1} & (l=2,3, \ldots, k), \\
\frac{d x_{1}}{d t}=\rho_{1} x_{1}, \quad \frac{d x_{s}}{d t}=\rho_{s} x_{s}+\beta_{s} x_{s-1} \quad(s=2,3, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Здесь $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}$ – корни уравнения (93.10), а $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}$ – корни уравнения (93.9). При этом корни $\lambda_{i}$ и $\rho_{s}$ могут быть как простыми, так и кратными. Каждому кратному корню может отвечать как одна, так и несколько групп решений (в смысле § 19) уравнений (93.8). Все величины $\alpha_{i}$ и $\beta_{s}$ являются постоянными, среди которых некоторые могут быть равны нулю, а именно: если общее число групп решений, соответствующих всем корням $\lambda_{i}$ и $\rho_{s}$, равно $p$, то $p-2$ постоянных $\alpha_{i}$ и $\beta_{i}$ равны нулю, так как каждая такая группа име̨ет одно уравнение, содержащее только ту переменную, которая фигурирует в левой части уравнения. Каждая отличная от нуля постоянная $\alpha_{i}$ может быть сделана какой угодно, в частности, сколь угодно малой. Деиствительно, сделав дополнительное преобразование
\[
y_{1}^{\prime}=y_{1}, \quad y_{2}^{\prime}=A_{1} y_{2}, \quad y_{3}^{\prime}=A_{1} A_{2} y_{3}, \ldots, y_{k}^{\prime}=A_{1} \ldots A_{k-1} y_{k},
\]

где $A_{i}$ – произвольные постоянные, мы приведем уравнения (93.11) к виду
\[
\frac{d y_{1}^{\prime}}{d t}=\lambda_{1} y_{1}^{\prime}, \quad \frac{d y_{i}^{\prime}}{d t}=\lambda_{i} y_{i}^{\prime}+\alpha_{i}^{\prime} y_{i-1}^{\prime},
\]

в котором постоянные $\alpha_{i}^{\prime}$ имеют эначения $\alpha_{i}^{\prime}=A_{i-1} \alpha_{i}$, и если какаянибудь $\alpha_{j}
eq 0$, то $\alpha_{j}^{\prime}$ подбором коэффициента $A_{j-1}$ может быть сделана равной наперед заданной отличной от нуля величине. То же самое можно, конечно, сделать и с постоянными $\beta_{s}$.

Если указанному линейному преобразованию подвергнуть нелинейные уравнения (93.6), то они примут вид (93.1), в котором все коэффициенты $q_{i j}, p_{s j}$ и $r_{s j}$ являются постоянными. Так как при этом все корни уравнения (93.9) имеют отрицательные вещественные части, то для коэффициентов $p_{s j}$ выполняются условия теоремы предыдущего параграфа. Эта теорема может быть, следовательно, применена к рассматриваемой сенчас системе, если только существуют формы $u_{s}^{(m)}$ c ограниченными коэффициентами, удовлетворяющие уравнениям вида (93.4).

Покажем, что такие формы действительно существуют. С этой целью будем предполагать, что линейная часть уравнений (93.1) приведена к виду (93.11), (93.12). Тогда уравнения (93.4) будут иметь следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\dot{\partial}_{1}^{(m)}}{\partial t}+\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial u_{i}^{(m)}}{\partial y_{i}}\left(\lambda_{i} y_{i}+\alpha_{i} y_{i-1}\right)=\rho_{1} u_{1}+U_{1}^{(m)}, \\
\frac{\partial u_{s}^{(m)}}{\partial t}+\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial u_{s}^{(m)}}{\partial y_{i}}\left(\lambda_{i} y_{i}+\alpha_{i} y_{i-1}\right)=\rho_{s} u_{s}^{(m)}+\beta_{s} u_{s-1}^{(m)}+U_{s}^{(m)} \\
\left(s=2, \ldots, n ; \alpha_{1}=0\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, если формы $u_{s}^{(m)}$ вычислять последовательно в порядке возрастания индекса $s$, то для каждой такой формы получится уравнение вида
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u_{s}^{(m)}}{\partial t}+\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial u_{s}^{(m)}}{\partial y_{i}}\left(\lambda_{i} y_{i}+\alpha_{i} y_{i-1}\right)=\rho_{s} u_{s}^{(m)}+\bar{U}_{s}^{(m)}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \\
\left(s=1,2, \ldots, m ; \alpha_{1}=0\right)
\end{array}
\]

где форма $\bar{U}_{s}^{(m)}$ будет известной, если формы $u_{1}^{(m)}, \ldots, u_{s-1}^{(m)}$ и все формы $u_{j}^{(l)}$, для которых $l<m$, уже вычислены. Допустим, что все указанные формы деиствительно вычислены и вышли с ограниченными коэффициентами. Тогда коэффициенты формы $\vec{U}_{s}^{(m)}$ будут также ограниченными. Положим:
\[
u_{s}^{(m)}=\sum A_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}(t) y_{1}^{m_{1}} \ldots y_{k}^{m_{k}} \quad\left(m_{1}+\ldots+m_{k}=m\right) .
\]

Тогда, если коэффициенты $\left.A_{s}^{\left(m_{1}\right.}, \ldots, m_{k}\right)$ вычислять в определенном порядке, то для каждого такого коэффициента получится уравнение вида
\[
\begin{array}{l}
\frac{d A_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}}{d t}= \\
=\left(\rho_{s}-m_{1} \lambda_{1}-\ldots-m_{k} \lambda_{k}\right) A_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)^{y}}+B_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}(t),
\end{array}
\]
циентов с ограниченными коэффициентами. При этом нужно придерживаться следующего порядка вычисления коэффициентов. Сначала нужно вычислить коэффициент $A_{s}^{(0, \ldots, m)}$. После этого нужно вычислить все коэффициенты, для которых $m_{k-1}+m_{k}=m$. в порядке возрастания $m_{k-1}$, затем те, для которых $m_{k-2}=1, m_{k-1}+m_{k}=$ $=m-1$, также в порядке возрастания $m_{k-1}$ и т. д.

Допустим, что все уже вычисленные коэффициенты получились ограниченными. Тогда функция $B_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}(t)$ в уравнении (93.14) будет ограниченной и из этого уравнения находим частное решение $A_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}=$
\[
=e^{\left(\rho_{s}-m_{1} \lambda_{1}-\ldots-m_{k} \lambda_{k}\right) t} \int_{0}^{t} e^{-\left(\rho_{s}-m_{1} \lambda_{1}-\ldots-m_{k} \lambda_{k}\right){ }_{t}^{t}} B_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)} d t \text {, }
\]

которое также получится ограниченным. Действительно, пусть $a_{s}<0$ – вещественная часть корня $\rho_{s}$. Тогда, учитывая, что вещественные части всех величин $\lambda_{i}$ равны нулю, и обозначая через $C_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ верхний предел функции $\left[B_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}(t)\right]$, будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\left.\mid A_{s}^{\left(m_{1}\right.}, \ldots, m_{k}\right) \mid<\left.C_{s}^{\left(m_{1}\right.}, \ldots, m_{k}\right) e^{a_{s}} \int_{0}^{t} e^{-a_{s} t} d t= \\
=-\frac{1}{a_{s}} C_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}\left(1-e^{a_{s} t}\right)<-\frac{1}{a_{s}} C_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)},
\end{array}
\]

что и доказывает предложение.

Если теперь учесть, что вещественная часть величины $\rho_{s}-m_{1} \lambda_{1}-\ldots-m_{k} \lambda_{k}$ отрицательна, то мы придем к заключению, что не только решение (93.15), но и все решения уравнения (93.14) получатся ограниченными.

Таким образом, если все формы $u_{s}^{(1)}, \ldots, u_{s}^{(m-1)}$ получились с ограниченными коэффициентами, то существует бесчисленное множество форм $u_{s}^{(m)}$, удовлетворяющих уравнению (93.4) и обладающих ограниченными коэффициентами. Но так как формы $U_{s}^{(1)}$, для которых, очевидно, имеем:
\[
U_{s}^{(1)}=r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k},
\]

известны и обладают ограниченными (постоянными) коэффициентами, то из вышесказанного следует, что существует бесчисленное множество разложений, формально удовлетворяющих уравнениям (93.3). Следовательно, в рассматриваемом случае теорема предыдущего параграфа имеет силу, и мы приходим к следующей теореме.

Теорема 1. Допустим, что в уравнениях (93.1) коэбыициенты $q_{i j}, p_{s j}$ и $r_{s j}$ постоянны, причем уравнение (93.9) имеет корни только с отрицательныи вещественными частями, а вещественные части всех корней уравнения (93.10) равны нулю. Тогда существует бесчисленное множество разложений (93.5) с ог раниченными коэффиџиент ами, фо рмально удовлетворяющих системе уравнений с частными произвоными (93.3). Выбрав какое-нибудь одно из этих разложений, подставим его вместо величин $x_{s}$ в первую группу уравнений (93.1) а рассмот рим полученную таким образом «уко роченную» систему
\[
\begin{array}{c}
\frac{d y_{i}}{d t}=q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}+Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, a_{1}, \ldots, u_{n}\right) \\
(i=1,2, \ldots, k) .
\end{array}
\]

Если невозмущенное движение $y_{1}=\ldots=y_{k}=0$ «укороченной» системы устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво, и это определяется конечным числом членов в этих уравнениях, то и невозмущенное двшжение $x_{1}=\ldots=x_{n}=y_{1}=$ $=\ldots=y_{k}=0$ для системы (93.1) соответственно устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво.

Допустим, что мы имеем дело со случаем периодических движений, т. е. что функции $Y_{i}$ и $X_{s}$ в уравнениях (93.1) по отношению к $t$ периодичны с некоторым периодом $\omega$. Применяя доказанную теорему, приведем задачу к исследованию системы $k$-го порядка. Однако такое приведение будет, вообще говоря, иметь смысл лишь в том случае, если система (93.16) также будет обладать периодическими коэффициентами, ибо система из $n+k$ уравнений с периодическими коэффициентами может оказаться для исследования более простой, чем система из $k$ уравнений с непериодическими коэффициентами.

Система (93.16) будет, очевидно, обладать периодическими коэффициентами, если такими коэффициентами обладают формальные разложения (93.5). Покажем, что действительно существует система разложений вида (93.5) с периодическими коэффициентами, формально удовлетворяющих уравнениям (93.3), и что такая система будет единственной

Для этого, очевидно, достаточно показать, что если коэффициент $B_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ в уравнении (93.14) является периодической функцией времени периода $\omega$, то это уравнение допускает одно и только одно периодическое решение для $A_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ с тем, же периодом. Но уравнение (93.14) имеет частное решение
\[
A_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}=e^{a t}\left\{\frac{e^{a \omega}}{1-e^{a \omega}} \int_{0}^{\omega} e^{-a t} f(t) d t+\int_{0}^{t} e^{-a t} f(t) d t\right\},
\]

где для краткости положено
\[
a=\rho_{s}-m_{1} \lambda_{1}-\ldots-m_{\hat{k}} \lambda_{k}, \quad f(t)=B_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}(t) .
\]

Это решение, как было показано в § 67 , является периодическим с периодом $\omega$. Остальные решения ‘уравнения (93.14) не будут периодическими, так как общее решение однородной части этого уравнения не периодично.
Из вышесказанного вытекает справедливость следующей теоремы.
Теорема 2. Если при выполнении условий теоремы 1 коэффициенты разложений функций $Y_{l}$ и $X_{s}$ являются периодическими функциями в ремени с периодом $\omega$, то существует одна и только одна система разложений (93.5), формально удовлетворяющих уравнениям (93.3) иобладающих пе риодическими коэффициентами с тем же периодом. Подставляя эти разложения вместо величин $x_{s}$ в перзуо г руппу уравнений (93.1), мы получим «уко роченн ую» систему (93.16) также с пе риодическими коэффиџиентами. Задача устойчивости для системы (93.1) эквивалентна той же задаче для «укороченной» системы, если последняя задача решается конечным числом членов.

Долустим, наконец, что правые части уравнений (93.1) не зависят совсем от времени. Тогда, как легко видеть, существует одна и только одна система разложений (93.5) с постоянными коэффициентами, удовлетворяющих формально уравнениям (93.3), которые вследствие этого принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial u_{s}}{\partial y_{i}}\left[q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}\right.\left.+Y_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{k}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right]= \\
=p_{s 1} u_{1}+\ldots+p_{s n} u_{n}+r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k}+ \\
+X_{s}\left(y_{1}, \ldots, y_{k}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right) .
\end{array}
\]

Дейстительно, если величина $B_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ в уравнении (93.14) является постоянной, то это уравнение имеет единственное постоянное решение
\[
A_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}=\frac{B_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}}{\rho_{s}-m_{1} \lambda_{1}-\ldots-m_{k} \lambda_{k}} .
\]

Мы приходим, таким образом, к следующей теореме.
Т еорема 3. Если при выполнении условий теоремы 1 правые части уравнений (93.1) не зависят явно от времени, то существует одна и только одна система разложений
\[
u_{s}=u_{s}^{(1)}\left(y_{1}, \ldots, y_{k}\right)+u_{s}^{(2)}\left(y_{1}, \ldots, y_{k}\right)+\ldots,
\]

бормально удовлетворяющих уравнениям (93.17). Если этими разложениями заменить величины $x_{s}$ в первой группе уравнений (93.1), то получится «укорочекная» система уравнений (93.16), также не зависящих от времени. Задача устойчивости для системы (93.1) эквивалентна задаче устойчивости для «укороченной» системы, если последняя задача решается конечным числом членов.

При доказательстве основной теоремы § 91 мы сделали относительно коэффициентов $q_{i j}$ ограничение, что модули коэффициентов квадратичной формы
\[
\sum_{i=1}^{k} y_{i}\left(q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}\right)
\]

достаточно малы. Покажем, что при подходящем выборе переменных $y_{i}$ во всех рассмотренных в настоящем параграфе случаях указанное ограничение дећствительно выполняется, так что теоремы 1 , 2 и 3 можно будет считать полностью доказанными.

Мы будем для этого предполагать, что линейная часть первой группы уравнений (93.1) имеет вид (93.11), который придется, однако, привести к вещественной форме, так как коэффициенты $q_{i j}$ в уравнениях (91.1) предполагались вещественными.

Коэффициенты $\alpha_{i}$ в уравнениях (93.11) можно предполагать вещественными, так как, по доказанному, каждый такой коэффициент, отличный от нуля, может быть сделаң совершенно произвольным,

Что же касается коэффициентов $\lambda_{i}$, являющихся корнями уравнения (93.10), то они могут либо равняться нулю, либо быть чисто мнимыми. Допустим для определенности, что уравнение (93.10) имеет нулевой корень $p$-и кратности. Пусть $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\ldots=\lambda_{p}=0$. Тогда перьые $p$ уравнений (93.11) не нуждаются в дальнейших преобразованиях и имеют вид
\[
\frac{d y_{1}}{d t}=0, \quad \frac{d y_{j}}{d t}=\alpha_{j} y_{j-1} \quad(j=2,3, \ldots, p) .
\]

Остальные $k-p$ уравнений (93.11), соответствующие чисто мнимым корням, требуют дальнейших преобразований. Пусть $\pm \lambda i$-какаянибудь пара чисто мнимых корней уравнения (93.10) $q$-й кратности. Пусть $y^{(1)}, \ldots, y^{(q)}$ и $\bar{y}^{(1)}, \ldots, \bar{y}^{(q)}$ — соответствующие этим корням переменные $y_{i}$, так что соответствуюцие этим корням уравнения (93.11) имеют вид
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d y^{(1)}}{d t}=\lambda i y^{(1)}, \quad \frac{d y^{(\sigma)}}{d t}=\lambda i y^{(\sigma)}+\gamma_{\sigma} y^{(\sigma-1)}, \\
\frac{d \bar{y}^{(1)}}{d t}=-\lambda \overline{i y^{(1)}, \quad} \quad \frac{d \bar{y}^{(\sigma)}}{d t}=-\lambda \overline{y^{(\sigma)}}+\gamma_{\sigma} \bar{y}^{(\sigma-1)} \\
(\sigma=2,3, \ldots, q),
\end{array}\right\}
\]

где $\gamma_{\sigma}$ – соответствующие рассматриваемым уравнениям постоянные $\alpha_{i}$, причем мы считаем, что эти постоянные в уравнениях для $y^{(\sigma)}$ и для $\bar{y}^{(\sigma)}$ имеют одинаковые значения, что не нарушает общности. Вводя вместо переменных $y^{(\sigma)}$ и $\bar{y}^{(\sigma)}$ леременные $u_{1}, \ldots, u_{q}, v_{1}, \ldots, v_{q}$ при помощи подстановки
\[
y^{(\sigma)}=u_{\sigma}+i v_{\sigma}, \quad \overline{y^{(\sigma)}}=u_{\sigma}-i v_{\sigma} \quad(\sigma=1,2, \ldots, q),
\]

мы заменим $2 q$ уравнений (93.20) с мнимыми коэффициентами $2 q$ уравнениями
\[
\left.\begin{array}{cc}
\frac{d u_{1}}{d t}=-\lambda v_{1}, & \frac{d u_{\sigma}}{d t}=-\lambda v_{\sigma}+\gamma_{\sigma} u_{\sigma-1}, \\
\frac{d v_{1}}{d t}=\lambda u_{1}, \quad & \frac{d v_{\sigma}}{d t}=\lambda u_{\sigma}+\gamma_{\sigma} v_{\sigma-1} \\
(\sigma=2,3, \ldots, q)
\end{array}\right\}
\]

с вещественными коэффициентами.
Аналогичным образом мы поступаем со всеми остальными чисто мнимыми корнями. Таким образом, линейная часть первой группы системы (93.1) состоит из уравнений (93.19) и одной или нескольких групп уравнений вида (93.21). Соответственно с этим квадратичная
форма (93.18) будет складываться из квадратичной формы
\[
\sum_{j=2}^{p} \alpha_{j} y_{j-1} y_{j}
\]

и из одной или нескольких квадратичных форм вида
\[
\sum_{\sigma=2}^{q} \gamma_{\sigma}\left(u_{\sigma} u_{\sigma-1}+v_{\sigma} v_{\sigma-1}\right) .
\]

Но коэффициенты всех этих форм можно считать численно сколь угодно малыми, так как такими, по доказанному выше, можно считать величины $\alpha_{j}$ и $\gamma_{\sigma}$.

Таким образом, вышеуказанное ограничение для коэффициентов $q_{i j}$ в рассматриваемых сейчас случаях деиствительно выполняется, и мы можем поэтому теоремы 1,2 и 3 считать полностью доказанными.

На этом мы заканчиваем изложение общей теории критических случаев. В оставшейся части этои главы мы, используя полученные результаты, исследуем ряд критических случаев для установившихся и периодических движений Мы рассматриваем установившиеся движения, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет пару нулевых корней, когда оно имеет две пары чисто мнимых корней и когда оно имеет один нулевой и пару чисто мнимых корней Аналогичные случаи рассматриваются и для периодических движений.