В предыдущем параграфе мы видели, что для решения задачи устоичивости в интересующем нас критическом случае необходимо прежде всего разрешить систему уравнений (31.1) относительно переменных $x_{s}$. Для действительного вычисления этого решения будем искать его в виде рядов
\[
x_{s}(x)=B_{s}^{(1)} x+B_{s}^{(2)} x^{2}+\ldots \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

с неопределенными коэффициентами $B_{s}^{(i)}$. Для определения этих коэффициентов подставим ряды (32.1) в уравнения (31.1) и приравняем нулю коэффициенты при различных степенях $x$. Приравнивая нулю коэффициенты при первой степени $x$, мы получим систему уравнений $p_{s 1} B_{1}^{(1)}+p_{s 2} B_{2}^{(1)}+\ldots+p_{s n} B_{n}^{(1)}+p_{s}=0 \quad(s=1,2, \ldots, n)(32.2)$ для определения $B_{s}^{(1)}$. Эти уравнения линеины, обладают отличным от нуля определителем и дают одно и только одно решение для $B_{s}^{(1)}$. Точно так же, приравнивая нулю коэффициенты при $x^{l}$, мы получим для определения $B_{s}^{(l)}$ систему уравнений вида
\[
p_{s 1} B_{1}^{(i)}+p_{s 2} B_{2}^{(i)}+\ldots+p_{s n} B_{n}^{(i)}+P_{s}^{(i)}=0 \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

где $P_{s}^{(i)}$ – некоторые полиномы относительно $B_{j}^{(1)}, B_{j}^{(2)}, \ldots, B_{j}^{(i-1)}$.
Уравнения (32.3) дают возможность последовательно определять коэффициенты $B_{s}^{(i)}$ по мере возрастания их порядка.

После того как коэффициенты $B_{s}^{(i)}$ уже вычислены, необходимо подставить ряды (32.1) в функцию $X$ вместо $x_{s}$. Младший член полученного таким образом ряда относительно $x$ и решает, как мы видели, задачу устончивости. Но так как нас интересует лишь младший член указанного ряда, то при действительном проведении вычислений достаточно в общем случае подсчитать в рядах (32.1) только первые члены $B_{s}^{(1)} x$, которые и определят младший член в функции $X$. Если, однако, окажется, что в результате подстановки (32.1) в функцию $X$ коэффициент при младшем члене благодаря некоторым зависимостям между коэффициентами функций $X$ и $X_{s}$ обратится в нуль, то придется в рядах (32.1) учесть и члены $B_{s}^{(2)} x^{2}$, а в некоторых случаях и члены более высоких порядков.

Заметим, что если все величины $p_{s}$ равны нулю, то уравнения (32.2) дают $B_{1}^{(1)}=B_{2}^{(1)}=\ldots=B_{n}^{(1)}=0$ и, следовательно, разложение функций $x_{s}(x)$ начинаются членами не ниже второго порядка. Вообще, если во всех функциях $p_{s} x+X_{s}(x, 0, \ldots, 0)$ нет членов до $k$-го порядка включительно, но хотя бы в одной из этих функций имеются члены ( $k+1$ )-го порядка, то разложения (32.1) начнутся членами $(k+1)$-го порядка.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Исследуем устоћчивость регулируемой системы, описываемой дифференциальными уравнениями
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x_{s}}{d t}=-\rho_{s} x_{s}+f(\sigma) \quad(s=1,2, \ldots, n), \\
\frac{d \sigma}{d t}=\beta_{1} x_{1}+\ldots+\beta_{n} x_{n}-f(\sigma),
\end{array}\right\}
\]

где $\rho_{s}$ и $\beta_{s}$ – постоянные, причем $\rho_{s}$ положительны, а $f(\sigma)$ – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая условию
\[
\sigma f(\sigma)>0 .
\]

В § 12 были установлены достаточные условия устоичивости положения равновесия $\sigma=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ рассматриваемой системы при любых начальных возмущениях и при любом выборе функции $f(\sigma)$, удовлетворяющей условию (32.5). При этом было показано, что для выполнимости этих условий необходимо, чтобы удовлетворялос: неравенство (12.9):
\[
\frac{\beta_{1}}{\rho_{1}}+\frac{\beta_{2}}{\rho_{2}}+\ldots+\frac{\beta_{n}}{\rho_{n}}-1<0 .
\]

Покажем сейас ${ }^{1}$ ), что если $f(\sigma)$ является аналитической функцией, разложение которой начинается членами не ниже второго порядка, то условие (32.6) является необходимым для устойчивости. Более того, если требуется, чтобы равновесие было устойчиво при достаточно малых начальных возмущениях, то это условие является также и достаточным.
1) Лурье А. И., Об устойчивости одного класса регулируемых систем. ПММ, т. ХV, вып, 5, 1951.

В самом деле, пусть
\[
f(\sigma)=a_{m} \dot{\sigma}^{m}+a_{m+1} \sigma^{m+1}+\ldots .
\]

где $m \geqslant 2$.
Из (32.5) вытекает, что число $m$ является обязательно нечетным и $a_{m}>0$.

Характеристическое уравнение системы первого приближения имеет $n$ отрицательных корней $-\rho_{s}$ и один корень, равный нулю. Эта система первого приближения имеет первый интеграл
\[
x=\sigma+\frac{\beta_{1}}{\rho_{t}} x_{1}+\ldots+\frac{\beta_{n}}{\rho_{n}} x_{n}=\text { const. }
\]

Приняв его за новую переменную вместо $\sigma$, мы приведем уравнения (32.4) к виду (28.6):
\[
\begin{aligned}
\frac{d x}{d t} & =\left(\frac{\beta_{1}}{\rho_{1}}+\frac{\beta_{2}}{\rho_{2}}+\ldots+\frac{\beta_{n}}{\rho_{n}}-1\right) f\left(x-\frac{\beta_{1}}{\rho_{1}} x_{1}-\ldots-\frac{\beta_{n}}{\rho_{n}} x_{n}\right), \\
\frac{d x_{s}}{d t} & =-\rho_{s} x_{s}+f\left(x-\frac{\beta_{1}}{\rho_{1}} x_{1}-\ldots-\frac{\beta_{n}}{\rho_{n}} x_{n}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь
\[
X^{(0)}(x)=\left(\frac{\beta_{1}}{\rho_{1}}+\cdots+\frac{\beta_{n}}{\rho_{n}}-1\right) f(x), \quad X_{s}^{(0)}(x)=f(x), \quad p_{s}=0 ;
\]

следовательно, разложения функции $X_{s}^{(0)}(x)$ начинаются членами того же порядка, что и разложение функции $X^{(0)}(x)$. Поэтому мы имеем дело с частным случаем, рассмотренным в § 30 , и в дальнейших преобразованиях уравнений нет необходимости.

Для того чтобы движение было устойчиво, необходимо, чтобы младший член в разложении $X^{(0)}(x)$ был нечетного порядка и имел отрицательный коэффициент. Первое из этих условий выполняется, а второе приводит к неравенству (32.6).

IIример $2^{1}$ ). Пусть предложена система дифференциальных уравнений возмущенного движения вида
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=(3 m-1) x^{2}-(m-1) y^{2}-(n-1) z^{2}+ \\
\quad+(3 n-1) y z-2 m z x-2 n x y=X(x, y, z), \\
\frac{d y}{d t}=-y+x+(x-y+2 z)(y+z-x)=-y+x+Y(x, y, z), \\
\frac{d z}{d t}=-z+x-(x+2 y-z)(y+z-x)=-z+x+Z(x, y, z) .
\end{array}
\]

Характеристическое уравнение системы первого приближения имеет корни – $1,-1$ и 0 . Система уже приведена к виду (28.6). Усло-
1) Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения., Гостехиздат, 1950 .

вия $\S 30$ здесь не выполнены, и мы должны поэтому воспользоваться общим приемом предыдущего параграфа.
Полагая
\[
-y+x+Y=-z+x+Z=0,
\]

попытаемся удовлетворить этим уравнениям относительно $y$ и $z$ рядами, расположенными по степеням $x$. Коэффициенты при первой степени $x$ будут, очевидно, равны единице, и мы можем написать:
\[
\left.\begin{array}{l}
y(x)=x+A_{2} x^{2}+A_{3} x^{3}+\cdots \\
z(x)=x+B_{2} x^{2}+B_{3} x^{3}+\cdots
\end{array}\right\}
\]

Подставляя эти ряды в функцию $X$, получим, что член второго порядка в ней выпадает, и функция эта примет вид
\[
X(x, y(x), z(x))=(n-2 m+1)\left(A_{2}+B_{2}\right) x^{3}+C x^{4}+D x^{5}+\ldots
\]

Следовательно, в рассматриваемом случае необходимо подсчитать коэффициенты $A_{2}$ и $B_{2}$. Для их вычисления приравняем нулю коэффициенты при $x^{2}$ в уравнениях (32.7) после подстановки в них рядов (32.8). Тогда легко получим, что $A_{2}=2, B_{2}=-2$. Но тогда в выражении (32.9) обратится в нуль коэффициент при $x^{3}$ и необходимо поэтому вычислить $C$, а для этого придется вычислить коэффициенты $A_{3}$ и $B_{3}$. Приравнивая нулю в (32.7) коэффициенты при $x^{3}$, найдем: $A_{3}=B_{3}=-6$, после чего получим $C=4(5 m-7 n)$. Если этот коэффициент отличен от нуля, то невозмущенное движение неустоичиво, так как разложение функции (32.9) начинается четным порядком. Допустим, что $5 m=7 n$. Тогда, вычисляя $A_{4}$ и $B_{4}$, найдем $A_{4}=-30, B_{4}=30$, после чего получим $D=24(m-n)$. Этот коэффициент будет отрицательным при $m$ и $n$ отрицательных и положительным при $m$ и $n$ положительных. В первом случае невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а во втором случае оно неустойчиво.

Если $m=n=0$, то требуется рассмотреть дальнейшие приближения. Однако в этом случае справедливо тождество
\[
2 X=(z-2 y-x)(-y+x+Y)+(y-2 z-2 x)(-z+x+Z) \text {, }
\]

следовательно, на основании (32.7) $X(x, y(x), z(x))=0$, и имеет место особенный случай.

Пример $3^{1}$ ). Пусть система уравнений возмущенного движения имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=a x^{2}+b x y+c y^{2}=X(x, y), \\
\frac{d y}{d t}=-y+k x+l x^{2}+m x y+n y^{2}=-y+k x+Y(x, y),
\end{array}
\]

где $a, b, c, k, l, m, n$ – постоянные.
1) Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Гостехиздат, 1950 .

Составляя уравнение

будем иметь:
\[
-y+k x+l x^{2}+m x y+n y^{2}=0,
\]
\[
y(x)=k x+B_{2} x^{2}+B_{3} x^{3}+\ldots
\]

и, подставляя этот ряд в $X(x, y)$, получим:
\[
X(x, y(x))=A_{2} x^{2}+A_{3} x^{3}+A_{4} x^{4}+\ldots,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
A_{2}=a+b k+c k^{2}, \quad A_{3}=(b+2 c k) B_{2}, \\
A_{4}=(b+2 c k) B_{3}+c B_{2}^{2} .
\end{array}
\]

Для того чтобы движение было устойчивым, необходимо, чтобы выполнялось условие
\[
A_{2}=a+b k+c k^{2}=0 .
\]

Допустим, что это условие выполнено. Тогда необходимо рассмотреть коэффициент $A_{3}$, для определения которого нужно вычислить $B_{2}$. Вычисляя эту величину, найдем:
\[
B_{2}=l+m k+n k^{2} .
\]

Здесь необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от того, будет ли величина $B_{2}$ равна нулю или нет. Допустим сначала, что $B_{2}$ не нуль. Тогда если $b+2 c k
eq 0$, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при $B_{2}(b+2 c k)<0$ и неустойчиво при $B_{2}(b+2 c k)>0$. Если же $b+2 c k=0$, то необходимо рассмотреть коэффициент $A_{4}$. Если $c
eq 0$, то невозмущенное движение неустойчиво. Если же $c=0$, то вследствие допущенных равенств будет $a=0$ и $b=0$. Следовательно, функция $X(x, y)$ обратится тождественно в нуль, и мы будем иметь дело с особенным случаем.

Допустим теперь, что $B_{2}=0$. Тогда на основании (32.12) уравнение (32.10) будет иметь решение $y=k x$, которое на основании (32.11) обратит функцию $X(x, y(x))$ тождественно в нуль. Следовательно, опять получится особенный случай.