Допустим, что характеристичные числа системы
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]
1) См. примечание в конце книги (стр. 525).
2) Былов Б. Ф., О характеристичных числах решений систем линейных дифференциальных уравнений. ПММ, т. XIV, вып. 4, 1950.
${ }^{3}$ ) Персидский К. П., О характеристичных числах дифференциальных уравнений. Изв. АН Казахской ССР, серия матем. и мех., вып. 1, 1947. Метод, которым мы доказывали теоремы 1 и 2 , имеет много общего с методом доказательства К. П. Персидского.
4) Po incaré A., Sur les équations linéaires aux differentielles ordinaires et aux differences finies Oeuvres, $\mathrm{T}$. 1, Gauthier Villars, 1928.
5) Perron O., Über Stabilität und asymptotisches Verhalten. Atti del Congresso Intern. dei Mat., 1928.

все положительны. Тогда, если выполняются условия теоремы 1 предыдущего параграфа, характеристичные числа системы
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=\left(p_{s 1}+\varphi_{s 1}\right) x_{1}+\ldots+\left(p_{s n}+\varphi_{s n}\right) x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

будут также положительны, по крайней мере, тогда, когда все величины $\left|\varphi_{s j}(t)\right|$ не превышают некоторого достаточно малого положительного числа. Знание этого наибольшего предела для функций $\left|\varphi_{s j}(t)\right|$ является, очевидно, для практики наиболее существенным. Одну из оценок этого предела дает нижеследующая теорема ${ }^{1}$ ), в которой условия теоремы 1 § 81 несколько обобщены, а именно, вместо условий (81.4) и (81.5) мы будем предполагать, что для решений $\underline{\underline{x}}_{s j}\left(t, t_{0}\right.$ ) уравнений (82.1), определяемых начальными условиями $\bar{x}_{s j}\left(t_{0}, t_{0}\right)=\delta_{s j}$, выполняются неравенства
\[
\left|\bar{x}_{s j}\left(t, t_{0}\right)\right|<M e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)} \quad(s, j=1,2, \ldots, n),
\]

где $M \geqslant 1$ и $\alpha$-некоторые не зависящие от $t_{0}$ положительные постоянные.

Теорема. Если для уравнений (82.1) выполняются условия (82.3), то характеристичные числа системы (82.2) будут положительны при любом выборе функиий $\varphi_{s j}(t)$, удовлетворяющих при $t \geqslant 0$ неравенствам
\[
\left|\varphi_{s j}(t)\right|<\frac{\alpha}{m M} \quad(s, j=1,2, \ldots, n),
\]

где $m \leqslant n^{2}$ — наибольшее число членов в каждом из выражений
\[
\sum_{\alpha=1}^{n} \bar{x}_{s a}(t, \tau)\left(\varphi_{\alpha 1} x_{1}+\ldots+\varphi_{\alpha n} x_{n}\right) .
\]

Доказательство. Пусть $x_{s}(t)$-произвольное решение уравнений (82.2) с начальными значениями $x_{s}(0)=C_{s}$, удовлетворяющими неравенствам
\[
\left|C_{s}\right| \leqslant 1 \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Рассматривая $x_{s}(t)$ как неизвестные, но вполне определенные функции времени, мы из (82.2) находим, что эти функции необходимо удовлетворяют интегральным уравнениям
\[
\begin{aligned}
x_{s}(t)= & \sum_{\alpha=1}^{n} C_{\alpha} \bar{x}_{s a}(t, 0)+ \\
& +\sum_{\alpha=1}^{n} \int_{0}^{t} \bar{x}_{s a}(t, \tau)\left[\varphi_{\alpha 1} x_{1}(\tau)+\ldots+\varphi_{\alpha n} x_{n}(\tau)\right] d \tau,
\end{aligned}
\]
1) Малкин И.Г., О характеристических числах систем линейных дифференциальных уравнений. ПММ, т. XVI, вып. 1, 1952.

которые, следовательно, имеют решение 1 ). Для того чтобы доказать справедливость теоремы, достаточно, очевидно, показать, что найдется такое достаточно большое положительное число $A$ и такое достаточно малое положительное число $\varepsilon$, что при всех $t>0$ будут выполняться условия
\[
\left|x_{s}(t)\right| \leqslant A e^{-\varepsilon t} .
\]

Но, считая $A>1$, мы будем на основании (82.6) иметь, что условия (82.8) выполняются при $t=0$ со знаками неравенства. Следовательно, эти условия будут выполняться, по крайней мере, при $t>0$, достаточно малом. Допустим, что эти условия при некоторых значениях $t$ нарушаются. Тогда должен существовать такой момент времени $t=T$, при котором впервые хотя бы одно из условий (82.8) выполняется со знаком равенства. Так как при $0 \leqslant t \leqslant T$ условия (82.8) во всяком случае выполняются, то, полагая $\varepsilon<\alpha$, из (82.7) на основании (82.6) и (82.3) получим:
\[
\begin{array}{l}
\left|x_{s}(T)\right|<n M e^{-\alpha T}+m M A Q \int_{0}^{T} e^{-a(T-\tau)} e^{-\varepsilon \tau} d \tau= \\
\quad=n M e^{-\alpha T}+\frac{m M A Q}{a-\varepsilon} e^{-\varepsilon T}\left(1-e^{-(\alpha-\varepsilon) T}<A\left(\frac{n M}{A}+\frac{m M Q}{\alpha-\varepsilon}\right) e^{-\varepsilon T},\right.
\end{array}
\]

где $Q$ — наибольшее значение, принимаемое функциями $\left|\varphi_{s j}(t)\right|$ на отрезке $[0, T]$, а $m$ — число членов в выражениях (82.5). Но на основании (82.4) $Q<\frac{\alpha}{M m}$, и поэтому число $\varepsilon$ может быть взято настолько малым, а число $A$ настолько большим, что будет выполняться неравенство
\[
\frac{n M}{A}+\frac{m M Q}{a-\varepsilon}<1 .
\]

Но тогда мы будем иметь:
\[
\left|x_{s}(T)\right|<A e^{-\varepsilon T},
\]

что противоречит предположению, что при $t=T$ хотя бы одно из условий (82.8) будет выполняться со знаком равенства. Таким образом, условия (82.8) будут выполняться при всех $t>0$, что и доказывает теорему.

Относительно фигурирующей в условиях теоремы величины $m$ заметим следующее. Эта величина, равная наибольшему числу членов, входящих в каждое из выражений (82.5), не превосходит $n^{2}$. Но она может быть и меньше, чем $n^{2}$. Так, например, если в правую часть
1) В отличие от уравнений (81.10) в уравнениях (82.7) все нижние пределы интегрирования приняты равными нулю. Вследствие этого отпадает необходимость в доказательстве существования решения этих уравнений.

каждого из уравнений (82.2) входит только по одному поправочному члену, т. е. если при каждом значении $s$ только одна из функций $\varphi_{s 1}, \varphi_{s 2}, \ldots, \varphi_{s n}$ отлична от нуля, то $m \leqslant n$. То же самое будет и в том случае, если при каждом $s$ только одна из функций $\vec{x}_{s 1}\left(t, t_{0}\right), \ldots, \bar{x}_{s n}\left(t, t_{0}\right)$ отлична от нуля. Вообще, если при каждом $s$ число отличных от нуля функций $\varphi_{s 1}, \ldots, \varphi_{s n}$ не превосходит $p \leqslant n$, а число отличных от нуля функции $\bar{x}_{s 1}, \ldots, \bar{x}_{s n}$ не превосходит $q \leqslant n$, то $m \leqslant p q$.

Рассмотрим частный случай. Допустим, что коэффициенты $p_{s j}$ являются постоянными. Пусть $\lambda$ — наименьшая из величин $\operatorname{Re}\left(-\lambda_{1}\right)$, $\operatorname{Re}\left(-\lambda_{2}\right), \ldots, \operatorname{Re}\left(-\lambda_{n}\right)$, где $\lambda_{i}$ — корни характеристического уравнения
\[
\left|p_{s j}-\delta_{s j} \lambda\right|=0 \text {. }
\]

Тогда характеристичные числа системы (82.2) будут положительны при выполнении неравенств
\[
\left|\varphi_{s j}(t)\right|<\frac{\lambda}{m M} .
\]

В самом деле, в рассматриваемом случае мы можем в условиях (82.3) положить $\alpha=\lambda-\eta$, где $\eta$ — сколь угодно малое положительное число.