В некоторых случаях по самому виду дифференциальных уравнений можно сделать некоторые заключения о корнях характеристического уравнения. Одним из важненших случаев такого рода будет тот, когда рассматриваемая система уравнений имеет канонический вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial y_{i}}, \quad \frac{d y_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial x_{i}} \\
(i=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $H\left(t_{1}, x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$-квадратичная форма переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}$, коэффициенты которой являются непрерывными периодическими функциями $t$ периода $\omega$. Более подробно эта система может быть записана следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x_{i}}{d t}=\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial^{2} H}{\partial y_{i} \partial x_{\alpha}} x_{\alpha}+\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial^{2} H}{\partial y_{i} \partial y_{\alpha}} y_{\alpha}, \\
\frac{d y_{i}}{d t}=-\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial^{2} H}{\partial x_{i} \partial x_{\alpha}} x_{\alpha}-\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial^{2} H}{\partial x_{i} \partial y_{\alpha}} y_{\alpha} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Имеет место следующая теорема Ляпунова.
Теорема. Пусть $\rho$-корень характеристического уравнения системы (57.1). Тогда если $\rho= \pm 1$, то кратность этого корня будет обязательно четная. Если $\rho
eq \pm 1$ и этот корень имеет кратность $m$ и ему отвечает $p$ групп решений, то величина $\frac{1}{\rho}$ будет также корнем характеристического уравнения $и$ этот корень будет иметь ту же кратность $m$ и ему будет отвечать то же число р групп решений.

Доказательство. Рассмотрим линеиную систему, сопряженную с (57.1). Эта система имеет вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d u_{l}}{d t_{0}}=-\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial^{2} H}{\partial y_{\alpha} \partial x_{l}} u_{\alpha}+\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial^{2} H}{\partial x_{\alpha} \partial x_{i}} v_{\alpha} \\
\frac{d v_{l}}{d t}=-\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial^{2} H}{\partial y_{\alpha} \partial y_{i}} u_{\alpha}+\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial^{2} H}{\partial x_{\alpha} \partial y_{i}} v_{\alpha}
\end{array}\right\}
\]

Пусть $\rho$-какои-нибудь корень $m$-и кратности характеристического уравнения системы (57.1). Допустим сначала, что $\rho
eq \pm 1$. На основании теоремы о корнях характеристических уравнений сопряженных систем ( $§ 55$ ) величина $\frac{1}{\rho}$ будет корнем $m$-и кратности характеристического уравнения системы (57.2). Следовательно, эта система имеет $m$ независимых решений вида
\[
u_{i j}=e^{-\alpha t} U_{i j}(t), v_{i j}=e^{-\alpha t} V_{i j}(t)\left(\alpha=\frac{1}{\omega} \ln \rho\right), \quad(j=1,2, \ldots, m),
\]

распадающихся на некоторое число групп известного вида. Здесь $U_{i j}$ $V_{l j}$ – некоторые полиномы относительно $t$ с периодическими коэффициентами.

Но система (57.2), как это сразу видно из ее структуры, переходит в систему (57.1), если величины $a_{i}$ заменить величинами $y_{i}$, а величины $v_{i}$ – величинами – $x_{i}$. Следовательно, если $u_{i}(t), v_{i}(t)$ являются решением системы (57.2), то функции $x_{i}=-v_{i}(t)$, $y_{i}=u_{i}(t)$ определяют решение системы (57.1). Отсюда непосредственно следует, что система (57.1) имеет $m$ независимых частных решений
\[
\begin{array}{c}
x_{i j}=-e^{-\alpha t} V_{i j}(t), \quad y_{i j}=e^{-\alpha t} U_{i j}(t) \\
(j=1,2, \ldots, m)
\end{array}
\]

и, следовательно ( $§ 53$ ), величина – $\alpha$ является характеристическим показателем, а $\frac{1}{9}$ – корнем характеристического уравнения этой системы с кратностью, не меньшей $m$. Эта кратность, очевидно, не может быть больше $m$, так как в противном случае, применяя только что доказанное предложение к корню $\frac{1}{\rho}$, мы получим, что вопреки предположению кратность корня $\rho$ превосходит $m$.

Из наших рассуждений вытекает также сразу, что корню $\frac{1}{\rho}$ соответствует такое же число групп решений и такое же число решений в каждой группе, как и корню $\rho$.

Итак, теорема доказана для каждого корня, отличного от +1 или -1. Чтобы полностью доказать теорему, достаточно установить, что если характеристическое уравнение системы (57.1) имеет корень, равный +1 , то кратность такого корна обязательно четная и что то же самое справедливо и для корня, равнэго -1. Для этого прежде всего заметим, что сумма кратностей корней, равных $\pm 1$, будет обязательно четным числом, так как на основании доказанного сумма кратностей всех корней, отличных от $\pm 1$, будет четной и порядок $2 n$ характеристического уравнения является также четным.

Далее, произведение всех корней характеристического уравнения равно на основании (50.8) величине
\[
\exp \int_{0}^{\omega} \sum_{s=1}^{n} p_{s s} d t
\]

Но в рассматриваемом случае
\[
\sum p_{s s}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2} H}{\partial y_{i} \partial x_{i}}-\frac{\partial^{2} H}{\partial x_{i} \partial y_{i}}\right)=0,
\]

и, следовательно, произведение всех корней характеристического уравнения равно 1. Но так как произведение всех корней, отличных от $\pm 1$, по доказанному равно 1 , то и произведение корней, равных $\pm 1$, тоже равно 1. Следовательно, если характеристическое уравнение имеет корень, равный – 1 , то кратность этого корня будет обязательно четной Но тогда то же самое будет справедливо и по отношению к корню, равному +1 , если такой корень существует.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Из доказанной теоремы вытекает, что для уравнений вида (57.1) устойчивость может иметь место лишь только тогда, когда все корни характеристического уравнения имеют модули, равные единице.