Пусть $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ – характеристичные числа системы линейных уравнений
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}
\]

с непрерывными и ограниченными при $t \geqslant 0$ коэффициентами $p_{s j}$. Докажем следующую теорему Ляпунова.

Теорема 1. Сумма $S=\lambda_{1}+\ldots+\lambda_{n}$ характеристичных чисел системы (79.1) не превосходит характеристичного числа функции.
\[
\exp \int_{0}^{t} \sum_{s=1}^{n} p_{s s} d t
\]

Доказательство. Пусть $x_{1 j}, \ldots, x_{n j}(j=1,2, \ldots, n)$ – нормальная система решений уравнении (79.1) и $\left|x_{s j}\right|=\Delta(t)$ – ее определитель Вронского. Имеем:
\[
\Delta(t)=\Delta(0) \exp \int_{0}^{t} \sum_{s=1}^{n} p_{s s} d t .
\]

Но, применяя к определителю $\Delta$ теоремы о характеристичном числе суммы и произведения, находим:
\[
X\left\{\int_{e^{0}}^{t} \Sigma p_{s s} d t\right\}=X\{\Delta\} \geqslant \lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n} .
\]

что и доказывает теорему.
Доказанная теорема устанавливает верхний предел для суммы характеристичных чисел системы линейных дифференциальных уравнений. Этот предел, действительно, достигается для многих систем. Это, например, всегда будет иметь место в случае уравнений с постоянными коэффициентами. Действительно, при $p_{s j}$ постоянных имеем:
\[
X\left\{\exp \sum \int_{0}^{t} p_{s s} d t\right\}=-\operatorname{Re}\left(p_{11}+\ldots+p_{n n}\right)=-\left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right) \text {, }
\]

где $a_{i}$ – вещественные части корней характеристического уравнения, которые, как было показано в предыдущем параграфе, отличаются лишь знаками от характеристичных чисел.

Можно, однако, привести примеры, когда сумма характеристичных чисел решений не достигает указанного для них в теореме предела. Вот один из таких примеров, указанный Ляпуновым. Система уравнений имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=x_{1} \cos \ln (t+1)+x_{2} \sin \ln (t+1), \\
\frac{d x_{2}}{d t}=x_{1} \sin \ln (t+1)+x_{2} \cos \ln (t+1) .
\end{array}
\]

Для нее
\[
\exp \int_{0}^{t} \sum p_{s s} d t=\exp \{(t+1)[\sin \ln (t+1)+\cos \ln (t+1)]-1\} \text {. }
\]

Характеристичное число этой функции равно $-\sqrt{2}$. С другой стороны, эти уравнения имеют фундаментальную систему решений
\[
\begin{array}{l}
x_{11}=\exp [(t+1) \sin \ln (t+1)], \\
x_{12}=\exp [(t+1) \cos \ln (t+1)], \\
x_{21}=\exp [(t+1) \sin \ln (t+1)], \\
x_{22}=-\exp [(t+1) \cos \ln (t+1)],
\end{array}
\]

которая, как нетрудно убедиться, является нормальной. Характеристичное число каждого из этих решений равно – 1 , и следовательно, их сумма менее характеристичного числа функции (79.3).

Системы линенных уравнений, для которых сумма характеристичных чисел равна характеристичному числу функции (79.2) и для которой, кроме того, выполняется условие
\[
X\left\{\exp \left(\int_{0}^{t} \sum p_{s s} d t\right)\right\}+X\left\{\exp \left(-\int_{0}^{t} \sum p_{s s} d t\right)\right\}=0, \text { (79.4) }
\]

называются, по Ляпунову, правильными.
Система уравнений с постоянными коэффициентами является правильной, так как для нее дополнительное условие (79.4), очевидно, также выполняется.

Если правильную систему подвергнуть линейному преобразованию, удовлетворяющему условиям Ляпунова (§ 78 ), то преобразованная система будет также правильнои.

В самом деле, как было показано в предыдущем параграфе, при такого рода преобразовании характеристичные числа и, следовательно, их сумма не меняются. С другой стороны, если $x_{s j}$ – фундаментальная система решений уравнений $(79,1), y_{s j}(t)$ – соответствующая ей фундаментальная система решений преобразованной системы, $D=\left|a_{s j}\right|$ определитель преобразования, то
\[
\left|y_{s j}\right|=D\left|x_{s j}\right|, \quad X\left\{\left|y_{s j}\right|\right\}=X\left\{\left|x_{s j}\right|\right\},
\]

так как по свойств преобразования функция $D$ – ограниченная и не исчезающая. Применяя теорему Лиувилля, находим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left|y_{s j}\right|=C_{1} \exp \int_{0}^{t} \sum q_{s s} d t, \\
\left|x_{s j}\right|=C_{2} \exp \int_{0}^{t} \sum p_{s s} d t,
\end{array}\right\}
\]

где $C_{1}$ и $C_{2}$ – постоянные и $q_{s j}$ – коэффициенты преобразованной системы. Из (79.5) и (79.6) следует, что характеристичное число функции (79.2) также инвариантно относительно рассматриваемого преобразования, что и показывает, что преобразованная система будет также правильной.

Из доказанного предложения вытекает, что всякая система, которая вышеуказанным преобразованием может быть преобразована в систему уравнений с постоянными коэффициентами, т. е. всякая приводимая (§54) система является правильной. В частности, на основании результатов § 54 имеем такое предложение:

Всякая система линейных уравнений с периодиескими коэфоиџиентами является правильной.

Для общих систем вида (79.1) нет критериев, которые позволяли бы во всех случаях по виду коэффициентов определить, является ли рассматриваемая система правильной или нет. Эта задача решена лишь для уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, т. е. для уравнений вида
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s s} x_{s} \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Для этих уравнений имеет место следующее предложение, установленное Ляпуновым, которое мы здесь приводим без доказательства:

Для того чтобы система вида (79.7) была правильной, необходимо и достаточно, чтобы все функции
\[
\frac{1}{t} \int_{0}^{t} p_{s s} d t \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

стремились к определенным пределам при $t \rightarrow \infty$.
Рассмотрим систему
\[
\frac{d y_{s}}{d t}+p_{1 s} y_{1}+p_{n s} y_{n}=0,
\]

сопряженную с (79.1). Имеет место следующая теорема, установленная О. Перроном ${ }^{1}$ ):

Теорема 2. Пусть $\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \ldots \leqslant \lambda_{n}$-характеристичные числа системы (79.1), а $\mu_{1} \geqslant \mu_{2} \geqslant \ldots \geqslant \mu_{n}$-характеристичные числа системы (79.8), ей сопряженной. Для того чтобы система (79.1) была правильной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
\[
\lambda_{s}+\mu_{s}=0 \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Доказательство. Докажєм сначала достаточность условия. Допустим, следовательно, что выполняются условия (79.9), и дока-
1) Perron O., Dle Ordnungszahlen der Differentialgleichungssysteme. Mathem. Zeitschrift, т. $31,1929$.

жем, что в этом случае система (79.1) является правильной. Пусть $S=\lambda_{1}+\ldots+\lambda_{n}$ и $S^{\prime}=\mu_{1}+\ldots+\mu_{n}$. Применяя к обеим системам теорему 1 , получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
S \leqslant X\left\{\exp \left(\sum \int_{0}^{t} p_{s s} d t\right)\right\}, \\
S^{\prime} \leqslant X\left\{\exp \left(-\sum \int_{0}^{t} p_{s s} d t\right)\right\}
\end{array}\right\}
\]

и, следовательно, на основании (79.9)
\[
0 \leqslant X\left\{\exp \left(\boldsymbol{\Sigma} \int_{0}^{t} p_{s s} d t\right)\right\}+X\left\{\exp \left(-\boldsymbol{\Sigma} \int_{0}^{t} p_{s s} d t\right)\right\},
\]

причем знак равенства возможен лишь тогда, когда оба соотношения (79.10) выполняются со знаками рєвенства. Но по теореме о характеристичных числах обратных функций
\[
X\left\{\exp \left(\sum \int_{0}^{t} p_{s s} d t\right)\right\}+X\left\{\exp \left(-\Sigma \int_{0}^{t} p_{s s} d t\right)\right\} \leqslant 0,
\]

откуда вытекает, что соотношение (79.11) и оба соотношения (79.10) выполняются со знаками равенства. Следовательно, обе системы (79.1) и (79.8) являются правильными.

Допустим теперь, что система (79.1) является правильной, и докажем справедливость соотношений (79.9). Рассмотрим с этой целью какую-нибудь нормальную систему решений $x_{1 j}, \ldots, x_{n j}$ ( $j=1$, $2, \ldots, n$ ) уравнении (79.1) и пусть $\Delta=\left|x_{s j}\right|$ – ее определитель Вронского. Пусть, далее,
\[
y_{s j}=\frac{\Delta_{s j}}{\Delta},
\]

где $\Delta_{s j}$ – минор элемента $x_{s j}$ определителя $\Delta$. Покажем, что
\[
\frac{d y_{s j}}{d t}=-\left(p_{1 s} y_{1 j}+p_{2 s} y_{2 j}+\ldots+p_{n s} y_{n j}\right)(s, j=1,2, \ldots, n) \text {, }
\]
т. е. что функции $y_{s j}$ образуют фундаментальную систему решении уравнений (79.8).
Имеем очевидные тождества
\[
\sum_{\alpha=1}^{n} x_{\alpha i} y_{\alpha j}=\delta_{i j} \quad(i, j=1,2, \ldots, n),
\]

где $\delta_{i j}$ – символ Кронекера.

Дифференцируя эти тождества по $t$ и учитывая, что функции $x_{\alpha l}$ удовлетворяют уравнениям (79.1), получим:
\[
\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} p_{\alpha \beta} x_{\beta i} y_{\alpha j}+\sum_{\alpha=1}^{n} x_{\alpha i} \frac{d y_{\alpha j}}{d t}=0 \quad(l, j=1,2, \ldots, n) .
\]

Отсюда однозначно определяются производные $\frac{d y_{s j}}{d t}$. Чтобы показать, что они совпадают с правыми частями (79.13), достаточно, очевидно, проверить, что равенства (79.14) выполняются тождественно, если в них $\frac{d y_{s j}}{d t}$ заменить правыми частями (79.13). Но, выполняя указанную подстановку, легко убеждаемся, что равенства (79.14) при этом действительно тождественно выполняются.
Пусть
\[
\mu_{j}=X\left\{y_{1 j}, \ldots, y_{n j}\right\} .
\]

Применяя к тождеству
\[
\sum_{\alpha=1}^{n} x_{\alpha j} y_{\alpha j}=1
\]

теоремы о характеристичных числах суммы и произведения, получаем
\[
\lambda_{j}+\mu_{j} \leqslant 0 .
\]

Но, с другой стороны, те же георемы дают:
\[
X\left\{\frac{\Delta_{s j}}{\Delta}\right\} \geqslant \lambda_{1}+\ldots+\lambda_{n}-\lambda_{j}+X\left\{\frac{1}{\Delta}\right\} .
\]

или, так как система (79.1) по условию правильная,
\[
X\left\{\frac{\Delta_{s j}}{\Delta}\right\} \geqslant-\lambda_{f}
\]

и, следовательно,
\[
\mu_{j} \geqslant-\lambda_{j} \text {. }
\]

Отсюда непосредственно вытекает справедливость (79.9). Кроме того, отсюда находим:
\[
\begin{aligned}
S^{\prime}=\mu_{1}+ & \ldots+\mu_{n}=-\left(\lambda_{1}+\ldots+\lambda_{n}\right)= \\
& =-X\left\{\exp \left(\Sigma \int_{0}^{t} p_{s s} d t\right)\right\}=X\left\{\exp \left(-\Sigma \int_{0}^{t} p_{s s} d t\right)\right\}
\end{aligned}
\]

следовательно, $S^{\prime}$ достигает своего верхнего предела. Поэтому решения (79.12) образуют нормальную систему и величины $\mu_{j}$ действительно являются характеристичными числами системы (79.8).
Таким образом, теорема полностью доказана.

Допустим, что рассматриваемая система линейных уравнений имеет каноническую форму
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial y_{i}}, \quad \frac{d y_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial x_{i}} \quad(l=1,2, \ldots, n),
\]

где $H=H\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$-квадратичная форма переменных $x_{j}, y_{j}$, коэффициенты которой являются непрерывными ограниченными функциями времени. Имеет место следующая теорема, установленная К. П. Персидским ${ }^{1}$ ).

Теорема 3. Пусть $\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{2 n}$-характеристичные числа системы (79.15). Для того чтобы эта система была правильной, необходимо и догтаточно, чтобы выполнялась соотношения
\[
\lambda_{i}+\lambda_{2 n-t+1}=0 \quad(l=1,2, \ldots, n) .
\]

Доказательство. Система (79.15) более подробно запишется следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x_{i}}{d t}=\frac{\partial^{2} H}{\partial y_{i} \partial x_{1}} x_{1}+\ldots+\frac{\partial^{2} H}{\partial y_{i} \partial x_{n}} x_{n}+ \\
+\frac{\partial^{2} H}{\partial y_{i} d y_{1}} y_{1}+\ldots+\frac{\partial^{2} H}{\partial y_{i} \partial y_{n}} y_{n} \\
\frac{d y_{i}}{d t}=-\frac{\partial^{2} H}{\partial x_{l} \partial x_{1}} x_{1}-\ldots-\frac{\partial^{2} H}{\partial x_{i} \partial x_{n}} x_{n}- \\
-\frac{\partial^{2} H}{\partial x_{i} \partial y_{1}} y_{1}-\ldots-\frac{\partial^{2} H}{\partial y_{i} \partial y_{n}} .
\end{array}\right\}
\]

Система, ей сопряженная, есть
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d u_{l}}{d t}=-\frac{\partial^{2} H}{\partial y_{1} \partial x_{i}} u_{1}-\ldots-\frac{\partial^{2} H}{\partial y_{n} \partial x_{i}} u_{n}+ \\
+\frac{\partial^{2} H}{\partial x_{1} \partial x_{l}} v_{1}+\ldots+\frac{\partial^{2} H}{\partial x_{n} \partial x_{l}} v_{n} \\
\frac{d v_{l}}{d t}=-\frac{\partial^{2} H}{\partial y_{1} \partial y_{i}} u_{1}-\ldots-\frac{\partial^{2} H}{\partial y_{n} \partial y_{i}} u_{n}+ \\
+\frac{\partial^{2} H}{\partial x_{1} \partial y_{i}} v_{1}+\ldots+\frac{\partial^{2} H}{\partial x_{n} \partial y_{i}} v_{n} .
\end{array}\right\}
\]

Эта система переходит в систеиу (79.17) при замене $\boldsymbol{u}_{i}$ на $y_{i}$ и $v_{i}$ на $-x_{i}$. Следовательно, если $u_{i}(t), v_{i}(t)$ есть какое-нибудь решение системы (79.18), то функции $x_{i}=-v_{i}(t), y_{i}=u_{i}(t)$ определяют
1) Персидский К. П., О характеристичных числах дифференциальных уравнений. Изв. АН Казахской ССР, сер. матем. и мех., вып. 1, 1947.

решение системы (79.17). Но оба эти решения обладают, очевидно, одинаковыми характеристичными числами. Следовательно, групіпа характеристичных чисел системы (79.15) совпадает с группой характеристичных чисел системы, ей сопряженной. Поэтому необходимые и достаточные условия правильности (79.9) принимают сейчас вид (79.16), что и доказывает теорему.

Доказанная теорема является, очевидно, обобщением теорем $\S \S 24$ и 57.

Если система (79.15) не является правильной, то, как показал Н. Г. Четаев ${ }^{1}$ ) и как это вытекает из предыдущих рассуждений, равенства (79.16) заменяются неравенствами
\[
\lambda_{i}+\lambda_{2 n-i+1}<0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Отсюда и из (79.16) вытекает, что если система (79.15) вне зависимости от того, является ли она правильной или нет, обладает полөжительными характеристичными числами, то она будет обладать также и отрицательными характеристичными числами. Следовательно, справедливо следующее предложение Н. Г. Четаева: для того чтобы для системы (79.15) имела место устойчивость, необходимо, чтобы все ее характеристичные числа равнялись нулю. При этом, как показал Н. Г. Четаев, система (79.15) будет необходимо приводимой.