Допустим, что коэффициенты системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

зависят от $p$ параметров $\mu_{1}, \ldots, \mu_{p}$, по отнощению к которым они голоморфны в области, определяемой неравенствами
\[
\left|\mu_{i}\right| \leqslant E_{i} \quad(i=1,2, \ldots, p),
\]

где $E_{1}, \ldots, E_{p}$ – некоторые постоянные числа. Мы предполагаем при этом, что период $\omega$ от этих параметров не зависит.

Тогда, как известно, в любом решении $x_{s}=x_{s}\left(t, \mu_{1}, \ldots, \mu_{p}\right)$ уравнений (58.1), начальные значения которого не зависят от параметров, функции $x_{s}\left(t, \mu_{1}, \ldots, \mu_{p}\right)$ будут также голоморфными относительно $\mu_{1}, \ldots, \mu_{p}$ в области (58.2). Поэтому, принимая во внимание форму (50.7) характеристического уравнения, мы приходим сразу к следующей теореме Ляпунова.

Теорема. Коэффициенты характе ристического уравнения системы (58.1) являются в области (58.2) голоморфными бункциями па рамет ров $\mu_{1}, \ldots \mu_{p}$.

Здесь существенным является то обстоятельство, что область голоморфности коэффициентов характеристического уравнения совпадает с областью голоморфности коэффициентов исследуемых дифференциальных уравнений. В частности, если коэффициенты исследуемых уравнений являются целыми функциями параметров, то и коэффициенты характеристического уравнения являются также целыми функциями параметров.

Доказанную теорему можно использовать для приближенного вычисления коэффициентов характеристического уравнения. Покажем, как это сделать.

Допустим с этой целью, что коэффициенты системы (58.1) зависят только от одного параметра $\mu$, так что можно написать:
\[
p_{s i}=q_{s i}(t)+\mu p_{s i}^{(1)}(t)+\mu^{2} p_{s i}^{(2)}(t)+\ldots .
\]

где $q_{s i}(t), p_{s i}^{(1)}(t), \quad p_{s i}^{(2)}(t), \ldots$ – непрерывные периодические функции $t$ периода $\omega$ и ряды сходятся при $|\mu| \leqslant E$.

Рассмотрим фундаментальную систему решений $x_{s j}(t, \mu)$ системы (58.1), определяемую начальными условиями
\[
x_{s j}(0, \mu)=\left\{\begin{array}{ll}
1 & (s=j) \\
0 & (s
eq j)
\end{array} \quad(s, j=1,2, \ldots, n) .\right.
\]

Как указывалось выше, мы можем написать:
\[
x_{s j}=x_{s j}^{(0)}(t)+\mu x_{s j}^{(1)}(t)+\mu^{2} x_{s j}^{(2)}(t)+\ldots,
\]

где ряды при всех значения $t$ сходятся в области $|\mu| \leqslant E$. Начальные условия (58.3) дают:
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{s j}^{(0)}(0)=\left\{\begin{array}{ll}
1 & (s=j), \\
0 & (s
eq j),
\end{array}\right. \\
x_{s j}^{(1)}(0)=x_{s j}^{(2)}(0)=\cdots=0 .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя ряды (58.4) в уравнения (58.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\mu$, мы получим для определения неизвестных функций $x_{s j}^{(0)}, x_{s j}^{(1)}, \ldots$ следующие системы дифференциальных уравнении:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{s j}^{(0)}}{d t}=q_{s 1} x_{1 j}^{(0)}+q_{s 2} x_{2 j}^{(0)}+\ldots+q_{s n} x_{n j}^{(0)}, \\
\frac{d x_{s j}^{(1)}}{d t}=q_{s 1} x_{1 j}^{(1)}+q_{s 2} x_{2 j}^{(1)}+\ldots+q_{s n} x_{n j}^{(1)}+\sum_{\alpha=1}^{n} p_{s \alpha}^{(1)} x_{\alpha j}^{(0)}, \\
\frac{d x_{s j}^{(k)}}{d t}=q_{s 1} x_{1 j}^{(k)}+\ldots+q_{s n} x_{n j}^{(k)}+\sum_{a=1}^{n} \sum_{\beta=0}^{k-1} p_{s \alpha}^{(k-\beta)} x_{a j}^{(\beta)} \\
(s=1,2, \ldots, n) \text {. } \\
\end{array}
\]

У всех этих систем линеиных неоднородных уравнений одинаковая однородная часть. Допустим, что мы можем проинтегрировать в замкнутой форме однородную систему уравнений
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=q_{s 1} y_{1}+\ldots+q_{s n} y_{n},
\]

в которую переходит (58.1) при $\mu=0$.
Тогда уравнения (58.6) дадут возможность последовательно определять все функции $x_{s j}^{(k)}$, начиная с $k=0$. Начальные условия (58.5) делают их при этом вполне определенными.

Следовательно, решения (58.4) могут быть вычислены с какон угодно степенью точности. Полагая в этих решениях $t=\omega$ и подставляя в (50.7), мы получим приближенные значения коэффициентов характеристического уравнения.

Мы получили, таким образом, способ приближенного вычисления коэффициентов характеристического уравнения для того частного случая, когда исследуемые уравнения содержат некоторый параметр $\mu$, причем при $\mu=0$ уравнения интегрируются в замкнутой форме. Мы можем, однако, к этому частному случаю свести и самый общий.

Пусть нам необходимо вычислить коэффициенты характеристического уравнения заданной системы линейны уравнений
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=r_{s 1}(t) x_{1}+\ldots+r_{s n}(t) x_{n}
\]

с периодическими коэффициентами, не содержащими никаких параметров. Заменим систему (58.7) системой
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1}(t, \mu) x_{1}+\ldots+p_{s n}(t, \mu) x_{n},
\]

где содержащие аналитически параметр $\mu$ функции $p_{s j}(t, \mu)$ выбраны таким образом, что при $\mu=0$ система (58.8) интегрируется в замкнутой форме (обращается, например, в систему с постоянными коэффициентами), а при $\mu=\mu^{*}$, где $\mu^{*}$ – некоторое фиксированное число, лежащее в области сходимости коэффициентов $p_{s j}(t, \mu)$, она обращается в заданную систему (58.7), т. е.
\[
p_{s j}\left(t, \mu^{*}\right)=r_{s j}(t) \quad(s, j=1,2, \ldots, n) .
\]

Можно, например, положить:
\[
p_{s j}=\mu r_{s i}, \quad \mu^{*}=1 .
\]

Полученная таким образом система будет как раз того частного вида, который мы рассмотрели, и для нее могут быть вычислены коэффициенты характеристического уравнения вышеуказанным приемом. Положив затем $\mu=\mu^{*}$, мы получим коэффициенты характеристического уравнения заданной системы.

Приведенный прием особенно удобен тогда, когда величина $\mu^{*}$ мала, т. е. когда рассматриваемая система мало отличается от системы, интегрируемой в замкнутой форме. В этом случае для вычисления коэффициентов характеристического уравнения можно будет ограничиться небольшим числом приближений.