Мы переходим теперь к рассмотрению особенного случая. Пусть
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d y}{d t}=\lambda x+Y\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+p_{s} x+q_{s} y+X_{s} \\
(s=1,2, \ldots, n)
\end{array}\right\}
\]

суть дифференциальные уравнения возмущенного движения. Следуя установленному правилу решения задачи устойчивости, составляем уравнения с частными производными
\[
\begin{array}{l}
\left(-\lambda y+X\left(x, y, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)\right) \frac{\partial v_{s}}{\partial x}+\left(\lambda x+Y\left(x, y, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)\right) \frac{\partial v_{s}}{\partial y}= \\
=p_{s 1} v_{1}+\ldots+p_{s n} v_{n}+p_{s} x+q_{s} y+X_{s}\left(x, y, v_{1}, \ldots, v_{n}\right) .
\end{array}
\]

Этим уравнениям можно удовлетворить формальными рядами
\[
v_{s}(x, y)=v_{s}^{(1)}(x, y)+v_{s}^{(2)}(x, y)+\ldots
\]

Ограничившись в этих рядах членами ( $m-1$ )-го порядка, заменим полученными таким образом целыми рациональными функциями $v_{s}(x, y)$ величины $x_{s}$ в первых двух уравнениях (43.1) и рассмотрим систему второго порядка:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X\left(x, y, v_{1}, \ldots, v_{n}\right), \\
\frac{d y}{d t}=\lambda x+Y\left(x, y, v_{1}, \ldots, v_{n}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Может оказаться, что при $m$ достаточно большом задача устойчивости для системы (43.4) решается членами не выше $m$-го порядка. Это будет общий случан, рассмотренный выше. В этом случае задача устойчивости для системы (43.1) решается системой (43.4).

Но может случиться, что как бы велико ни было число $m$ и, следовательно, как бы велико ни было число членов, взятых в рядах (43.3), задача устоичивости для системы (43.4) не решается членами порядка, не превосходящего $m$, т. е. что, изменив в этих уравнениях члены выше $m$-го порядка, можно получить по желанию как устойчивость, так и неустойчивость. Этот случай и является особенным. В особенном случае правило решения задачи устойчивости, установленное в § 41 , неприменимо.

Однако, как мы сейчас покажем, и в особенном случае задача устойчивости для системы (43.1) эквивалентна задаче устойчивости для системы второго порядка (43.4). При этом предполагается, что в уравнениях (43.4) функции $v_{s}(x, y)$ обозначают не конечное число первых членов в рядах (43.3), а эти ряды целиком. Но тогда, очевидно, эти уравнения лишь тогда имеют смысл, когда указанные ряды сходятся. Будут ли эти ряды действительно сходиться?

Вопрос о сходимости рядов (43.3) разрешен А. М. Ляпуновым. Он показал, что эти ряды могут быть расходящимися. Об этом свидетельствует уравнение
\[
\left[-\lambda y-\frac{1}{2} x\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] \frac{\partial v}{\partial x}+\left[\lambda x-\frac{1}{2} y\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] \frac{\partial v}{\partial y}=-v+x^{2}+y^{2},
\]

для которого формальный ряд (43.3) имеет вид
\[
v=x^{2}+y^{2}+\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+2 !\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}+3 !\left(x^{2}+y^{2}\right)^{4}+\ldots
\]

Этот ряд, очевидно, расходится.
Отсюда, однако, не следует, что ряды (43.3) всегда расходятся. Напротив, Ляпунов показал, что когда мы имеем дело с особенным случаем, то ряды (43.3) будут обязательно получаться сходящимися. Это замечательное предложение Ляпунова мы здесь приводим без доказательства.

На основании предложения Ляпунова уравнения (43.4) будут вполне определенными. И так как для них задача устойчивости не решается конечным числом членов, то на основании результатов $\$ \S 36-38$, точка $x=y=0$ для уравнений (43.4) будет центром. Невозмущенное движение для уравнений (43.4) будет при этом устойчивым (не асимптотически), а их общее решение будет периодическим.
Это периодическое решение может быть представлено в виде
\[
\left.\begin{array}{rl}
\tau & =\lambda\left(1+h_{2} c^{2}+h_{3} c^{3}+\ldots\right)^{-1} t \\
x & =c \cos \tau+c^{2} x^{(2)}(\tau)+\ldots \\
y & =c \sin \tau+c^{2} y^{(2)}(\tau)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где $x^{(k)}(\tau), y^{(k)}(\tau)$ – периодические функции $\tau$ периода $2 \pi$, обращающиеся в нуль при $\tau=0, h_{j}$ – некоторые вполне определенные постоянные, а $c$-произвольная постоянная, являющаяся начальным значением величины $x$. Все фигурирующие в (43.5) ряды сходятся при достаточно малом $c$.

Аналогичные обстоятельства имеют место в особенном случае и для полной системы (43.1), а именно: эта система также допускает периодическое решение, зависящее от одного произвольного постоянного ${ }^{1}$ ), являющегося начальным значением величины $x$, и невозмущенное движение $x=y=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ для этой системы также устойчиво. При этом в указанном периодическом решении величины $x$ и $y$ определяются формулами (43.5), а для величин $x_{s}$ будем иметь:
\[
x_{s}=v_{s}(x, y) \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

где $v_{s}(x, y)$ – функции (43.3).
Для доказательства заметим прежде всего, что если функции $x=x(t), y=y(t)$ являются какия-нибудь частным решением уравнений (43.4), то функции $x=x(t), y=y(t), x_{s}=v_{s}[x(t), y(t)]$ определяют частное решение уравнений (43.1). Денствительно, подставляя эти функции в уравнения (43.1), мы на основании (43.2) и (43.4) убедимся, что они тождественно удовлетворяются. Отсюда непосредственно вытекает, что уравнения (43.1) обладают периодическим решением, определяемым формулами (43.5) и (43.6).

Покажем теперь, что для полной системы (43.1) имеет место устойчивость. С этой целью введем в этой системе вместо переменных $x, y, x_{s}$ переменные $\rho, \varphi, \xi_{j}$ при помощи подстановки
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =\rho \cos \varphi+\rho^{2} x^{(2)}(\varphi)+\ldots, \\
y & =\rho \sin \varphi+\rho^{2} y^{(2)}(\varphi)+\ldots, \\
x_{s} & =\xi_{s}+v_{s}(x, y) .
\end{array}\right\}
\]
1) Заменив в этом решении $t$ на $t+h$, где $h$ – произвольное постоянное, мы получим периодическое решение, зависящее от двух произвольных постоянных.

Тогда первые два уравнения (43.1) примут вид
\[
\begin{array}{l}
{\left[\cos \varphi+2 \rho x^{(2)}(\varphi)+\ldots\right] \frac{d \rho}{d t}+} \\
\quad+\left[-\sin \varphi+\frac{d x^{(2)}(\varphi)}{d \varphi} \rho+\ldots\right] \rho \frac{d \varphi}{d t}=R_{1}\left(\rho, \varphi, \xi_{s}\right), \\
{\left[\sin \varphi+2 \rho y^{(2)}(\varphi)+\ldots\right] \frac{d \rho}{d t}+} \\
\quad+\left[\cos \varphi+\rho \frac{d y^{(2)}(\varphi)}{d \varphi}+\ldots\right] \rho \frac{d \varphi}{d t}=R_{2}\left(\rho, \varphi, \xi_{s}\right),
\end{array}
\]

где $R_{1}, R_{2}$ – аналитические функции переменных $\rho, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$, разложения которых не содержат свободных членов. Коэффициенты этих разложений являются периодическими функциями $\varphi$ периода $2 \pi$.

Разрешим уравнения (43.8) относительно $\frac{d \rho}{d t}$ и $\rho \frac{d \varphi}{d t}$. Определитель $\Delta$ этих линейных относительно указанных величив уравнений имеет вид
\[
\begin{aligned}
\Delta=1+\rho\left[\cos \varphi \frac{d y^{(2)}(\varphi)}{d \varphi}+2 \cos \varphi x^{(2)}(\varphi)-\right. & \sin \varphi \frac{d x^{(2)}(\varphi)}{d \varphi}+ \\
& \left.+2 \sin \varphi y^{(2)}(\varphi)\right]+\rho^{2}(\ldots)+\ldots,
\end{aligned}
\]

откуда вытекает, что величина $\frac{1}{\Delta}$ будет аналитической функцией $\rho$, разложение которой по степеням этой переменной имеет периодические относительно $\varphi$ коэффициенты. Следовательно, имеем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d \rho}{d t} & =R\left(\rho, \varphi, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right), \\
\rho \frac{d \varphi}{d t} & =\Phi\left(\rho, \varphi, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right),
\end{array}\right\}
\]

где $R$ и Ф-функции такого же вида, как и $R_{1}, R_{2}$, т. е. аналитические относительно $\rho$ и $\xi_{s}$, периодические относительно $\varphi$ и обращающиеся в нуль при $\rho=\xi_{1}=\ldots=\xi_{n}=0$.

Последние $n$ уравнений (43.1) после подстановки (43.7) примут вид
\[
\frac{d \xi_{s}}{d t}=p_{s 1} \xi_{1}+\ldots+p_{s n} \xi_{n}+P_{s}(\varphi) \rho+\Xi_{s}\left(\rho, \varphi, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right),
\]

где $P_{s}(\varphi)$ – некоторые периодические функции $\varphi$ периода $2 \pi$, а $\Xi_{s}$ – аналитические функции переменных $\rho, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка. Коэффициенты этих разложений являются периодическими функциями $\varphi$ периода $2 \pi$.

Периодическое решение (43.5) и (43.6) уравнений (43.1) в переменных $\rho, \varphi, \xi_{s}$ принимает, очевидно, вид
\[
\rho=c, \quad \varphi=\tau, \quad \xi_{s}=0 \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Следовательно, уравнения (43.9) и (43.10) имеют частное решение (43.11), а для этого, очевидно, необходимо, чтобы выполнялись равенства
\[
\begin{array}{c}
P_{s}(\varphi) \equiv 0, \quad R(\rho, \varphi, 0, \ldots, 0)=\Xi_{s}(\rho, \varphi, 0, \ldots, 0)=0 \\
(s=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Но в таком случае система $(n+1)$-го порядка, состоящая из первого уравнения (43.9) и уравнений (43.10), в которых $\tau$ является некоторой неизвестной функцией времени, является частным случаем систем (34.2), рассмотренных нами в $\S 34$. Согласно результатам этого параграфа невозмущенное движение $\rho=\xi_{1}=\ldots=\xi_{n}=0$ вышеуказанной системы ( $n+1$ )-го порядка устойчиво. Но тогда по характеру подстановки (43.7) устойчивым будет и невозмущенное движение $x=y=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ системы (43.1).

Итак, мы показали, что в особенном случае невозмущенное движение устойчиво и уравнения возмущенного движения допускают периодическое решение, определяемое формулами (43.5) и (43.6).

Таким образом, задача устойчивости в особенном случае решается просто. Но, к сожалению, у нас нет общего приема, который позволил бы нам заранее узнать, что рассматриваемый случай является особенным. В самом деле, если мы имеем особенный случай, то сколько бы членов в уравнениях (43.4) мы ни рассмотрели, у нас не будет уверенности, что, рассмотрев члены еще более высокого порядка, мы не придем к случаю фокуса.

Можно, однако, указать один общий признак, при выполнении которого можно не сомневаться, что рассматриваемый случай будет особенным.
Допустим, что уравнения (43.1) допускают первый интеграл вида
\[
x^{2}+y^{2}+F\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\text { const., }
\]

где $F$-аналитическая функция переменных $x, y, x_{s}$, разложение которой начинается членами не ниже третьего порядка. Покажем, что если это выполняется, то рассматриваемый случай будет особенным.

В самом деле, заменив в интеграле (43.12) величины $x_{s}$ рядами (43.3), которые дают, по крайней мере, формальное решение системы (43.2), мы получим ряд, который, по крайней мере, формально является первым интегралом системы (43.4), т. е. все члены ряда
\[
\left[-\lambda y+X\left(x, y, v_{s}\right)\right] \frac{\partial H}{\partial x}+\left[\lambda x+Y\left(x, y, v_{s}\right)\right] \frac{\partial H}{\partial y},
\]

где
\[
H=x^{2}+y^{2}+F\left(x, y, v_{1}(x, y), \ldots, v_{n}(x, y)\right)
\]

уничтожаются. Но в таком случае для системы (43.4), как это вытекает из рассуждений $\S 37$, точка $x=y=0$ является центром, что и доказывает наше предложение.

А. М. Ляпунов показал, что справедливо и обратное предложение, т. е. что в особенном случае система (43.1) необходимо имеет первый интеграл вида (43.12).
А. М. Ляпунов далее показал, что если уравнения (43.1) имеют первый интеграл вида (43.12), то эти уравнения обладают периодическим решением, определяемым формулами (43.5), (43.6), вне зависимости от того, будут ли вещественные части корней уравнения (40.2) отрицательными или нет. Важно только, чтобы ни один из этих корней не был вида $\pm N \lambda l$, где $N$ – целое положительное число или нуль.

Указанные периодические решения играют большую роль в теории нелинеиных колебаний. Мы не останавливаемся здесь на этом вопросе, отсылая читателей к нашей книге ${ }^{1}$ ), где он подробно освещен.