В предыдущем параграфе мы показали, как при помощи искусственного введения параметра можно найти приближенные значения корней характеристического уравнения. Однако во многих важных технических вопросах такого рода параметры содержатся в дифференциальных уравнениях по существу самой задачи, и при этом требуется определить, будет ли иметь место устойчивость или неустоичивость не при определенном значении параметра, а при любом его значении. Чтобы лучше уяснить, какого рода математические проблемы здесь возникают, рассмотрим некоторые вопросы, приводящиеся к исследованию устойчивости решений линеиных уравнений с периодическими коэффициентами. Мы рассматриваем при этом только такие вопросы, которые приводятся к исследованию одного уравнения второго порядка вида (59.2).

Пример 1. Маятник с колеблющейся точкой подвеса. В качестве простейшего примера рассмотрим маятник длиной $l$, ось подвеса которого совершает вертикальные гармонические колебания с малой амплитудой $a$ и частотой $\omega$. Дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид
\[
\frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}=-\frac{g}{l}\left(1+\frac{a \omega^{2}}{g} \sin \omega t\right) \sin \varphi .
\]

где $\varphi-$ угол отклонения от вертикали. Полагая $\omega t=\tau$ и отбрасывая нелинеиные члены, получим:
\[
\frac{d^{2} \varphi}{d \tau^{2}}=-\frac{g}{l \omega^{2}}\left(1+\frac{a \omega^{2}}{g} \sin \tau\right) \varphi .
\]

Так же как и для маятника с неподвижной осью подвеса, вертикаль является положением равновесия. Но в отличие от случая маятника с неподвижной осью это положение равновесия может быть как устойчивым, так и неустойчивым, а именно: в зависимости от значения $\omega$ величина $A$ для уравнения (60.2) может удовлетворять как неравенству $A^{2}<1$, так и неравенству $A^{2}>1$. Задача заключается в том, чтобы выделить значения частоты $\omega$, для которых получается первый из указанных случаев, и те критические значения этой частоты, для которых получается второй случаћ. В этом втором случае будут иметь место поперечные колебания маятника с неограниченно возрастающен амплитудо ${ }^{1}$ ). Говорят, что в этом случае имеет место парамет рический резонанс.
1) В действительности амплитуда колебаний будет оставаться конечной, так как точное уравнение (60.1) этих колебаний не является линейным.

Пример 2. Крутильные колебания коленчатых валов. Рассмотрим крутильные колебания коленчатых валов силового двигателя с учетом инерции шатунов и поршней. Дифференциальные уравнения колебаний составлены Э. Треффтцом ${ }^{1}$ ). Эти колебания обстоятельно исследованы Н. Е. Кочиным ${ }^{2}$ ). Мы ограничиваемся здесь рассмотрением случая одноцилиндрового двигателя с маховиком (рис. 14).

Мы будем считать, что масса маховика достаточно велика, так что вращение вала можно считать равномерным. Пусть $\omega$ – угловая скорость маховика. Обозначим через $\varphi$ угол вращения кривошипа. Тогда кинетическая энергия кривошипа вместе со связанными с ним движущимися массами (шатуном и поршнем) может быть представлена в виде
\[
T=\frac{1}{2} J(\varphi) \dot{\varphi}^{2} .
\]

Функцию $J(\varphi)$ можно вычислить, если известны размеры и распределение масс кривошипа, шатуна и поршня. Это будет, оче-
видно, периодическая функция $\varphi$ периода $2 \pi$. При приближенном вычислении принято величину $J$ считать постоянной, равной ее среднему значению $J_{0}$ за период. При более точном расчете мы можем положить:
\[
J=J_{0}(1+\mu F(\varphi)),
\]

где $F$ – некоторая периодическая функция периода $2 \pi$, а $\mu$-постоянная величина, которую мы будем считать малой.

Потенциальная энергия упругих сил, действующих на кривошип, равна
\[
\Pi_{1}=\frac{1}{2} c \psi^{2}=\frac{1}{2} c(\varphi-\omega t)^{2},
\]

где $\psi$ – угол закручивания, а $c$-коэффициент жесткости вала при кручении. Кроме того, на кривошип действует внешний крутящий
1) Trefftz E., Zur Berechnung der Schwingungen von Kurbelwellen. Vorträge aus dem Gebiete der Aerodynamik und verw. Gebiete, Berlin, 1930.
2) Кочин Н. Е., О крутильных колебаниях коленчатых валов. ПММ, II, вып. 1, 1934 .

момент $M(\varphi)$ с потенциальной энергией
\[
\Pi_{2}=\int_{0}^{\varphi} M(\varphi) d \varphi .
\]

Функция $M(\varphi)$ будет также периодической. Период этой функции равен $2 \pi$, если двигатель двухтактный, и $4 \pi$, если двигатель четырехтактный, так как в последнем случае рабочий ход поршня приходится на два оборота вала.
Составляя теперь дифференциальное уравнение Лагранжа, получим:
\[
J(\varphi) \ddot{\varphi}+\frac{1}{2} \frac{d J(\varphi)}{d \varphi} \dot{\varphi}^{2}=-M(\varphi)-c(\varphi-\omega t) .
\]

Для упрощения этого уравнения введем вместо обобщенной координаты $\varphi$ обобщенную координату $q$ при помощи соотношения
\[
q=\int_{\omega t}^{\varphi} \sqrt{J(\varphi)} d \varphi .
\]

Будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\dot{q}=\sqrt{J(\varphi)} \dot{\varphi}-\omega \sqrt{J(\omega t)}, \\
\ddot{q}=\sqrt{J(\varphi)} \ddot{\varphi}+\frac{1}{2 \sqrt{J(\varphi)}} \frac{d J(\varphi)}{d \varphi} \dot{\varphi}^{2}-\frac{\omega^{2}}{2 \sqrt{J(\omega t)}} \frac{d J(\omega t)}{d(\omega t)} .
\end{array}
\]

Следовательно, уравнение (60.3) может быть переписано в следующем виде:
\[
\ddot{q}=-\frac{M(\varphi)}{\sqrt{J(\varphi)}}-\frac{c(\varphi-\omega t)}{\sqrt{J(\varphi)}}-\frac{\omega^{2}}{2 \sqrt{J(\omega t)}} \frac{d J(\omega t)}{d(\omega t)} .
\]

Считая угол закручивания $\varphi-\omega t$ малым, примем:
\[
\begin{array}{c}
q=\int_{\omega t}^{\varphi} \sqrt{J(\varphi)} d \varphi=(\varphi-\omega t) \sqrt{J(\omega t)}, \\
\frac{M(\varphi)}{\sqrt{J(\varphi)}}=\frac{M(\omega t)}{\sqrt{J(\omega t)}}, \frac{c(\varphi-\omega t)}{\sqrt{J(\varphi)}}=\frac{c(\varphi-\omega t)}{\sqrt{J(\omega t)}},
\end{array}
\]

после чего получим:
\[
\ddot{q}+\frac{c}{J(\omega t)} q=-\frac{M(\omega t)}{\sqrt{J(\omega t)}}-\frac{\omega^{2}}{2 \sqrt{J(\omega t)}} \frac{d J(\omega t)}{d(\omega t)} .
\]

Таким образом, колебания описываются неоднородным линейным уравнением с периодическими коэффициентами. Поведение его решений в смысле устойчивости и неустойчивости определяется однородным уравнением
\[
\ddot{q}+\frac{c}{J(\omega t)} q=0 .
\]

Полагая в этом уравнении $\omega t=\tau$, окончательно найдем, что задача сводится к исследованию уравнения второго порядка
\[
\frac{d^{2} q}{d \tau^{2}}+\frac{c}{\omega^{2}} p(\tau) q=0,
\]

где
\[
p(\tau)=\frac{1}{J(\tau)}
\]
– периодическая функция периода $2 \pi$.

Уравнение (60.4), так же как и уравнение (60.2), содержит параметр $\omega$ – угловую скорость вращения вала. И так же как и в случае
Рис. 15.

маятника, в зависимости от значений $\omega$ может иметь место параметрический резонанс. Задача как раз и заключается в определении критических значений угловой скорости, т. е. тех значений $\omega$, при которых величина $A$ для уравнения (60.4) будет иметь модуль, больший единицы .

Пример 3. Колебания в спарниках элект ровозов ${ }^{1}$ ). В качестве третьего примера рассмотрим колебания, обусловленные пара-
1) Мы излагаем здесь эту задачу по книге: Тим ош ен к о С. П., Теория колебаний в инженерном деле, Гостехиздат, 1931. В этой книге приведена подробная литература вопроса.

метрическим резонансом, в электровозах с передачей вращения спарниками. Гибкость системы между валом мотора и ведущими осями является переменной, зависящей от положения валов и изменяющенся периодически с периодом, зависящим от угловой скорости вращения мотора. Это и дает возможность возникновения параметрического резонанса.

Рассмотрим простеиший пример. Допустим, что крутящий момент $M_{T}$ мотора передается на ведущую ось электровоза при помощи кривошипов $O-1$ и $O_{1}-1$, спарников $1-1$ и $2-2$ и кривошипов $O-2$ и $O_{1}-2$ (рис. 15). Кривошипы $O-2$ и $O_{1}-2$ повернуты по отношению к кривошипам $O-1$ и $O_{1}-1$ на угол $\frac{\pi}{2}$.

Обозначим через $\Delta \varphi$ угол поворота мотора по отношению к ведущей оси $O_{1}-O_{1}$. Мы можем написать:
\[
M_{T}=\theta \Delta \varphi \text {, }
\]

где $\theta$-гибкость передачи. Определим эту величину.
Пусть $\Delta_{1} \varphi$ – угол поворота, вызванный скручиванием конца $O A$ вала мотора, а $\Delta_{2} \varphi$ – угол поворота, вызванный сжатием $\delta$ спарника $1-1$. Тогда
\[
\Delta \varphi=\Delta_{1} \varphi+\Delta_{2} \varphi
\]

причем, как это видно из чертежа,
\[
\Delta_{2} \varphi=\frac{\delta}{r \sin \varphi} .
\]

Обозначим через $M_{T}^{\prime}$ крутящий момент, передаваемый кривошипом $O-1$ :
\[
\Delta_{1} \varphi=\frac{M_{T}^{\prime}}{k_{1}},
\]

где $k_{1}$-характеристика пружинности конца $O A$ вала. Далее, если $S_{1}$ – сила, сжимающая спарник $1-1$, то
\[
\delta=\frac{S_{1} l}{A E},
\]

где $A$-площадь сечения спарника, а $E$-модуль упругости его материала. Но, очевидно,
\[
S_{1}=\frac{M_{T}^{\prime}}{r \sin \varphi}
\]

и, следовательно, на основании (60.7)
\[
\Delta_{2} \varphi=\frac{M_{T}^{\prime}}{k_{2} \sin ^{2} \varphi},
\]

24.1
где
\[
k_{2}=\frac{A E r^{2}}{l} .
\]

формулы (60.6), (60.8) и (60.9) дают:
\[
\Delta \varphi=M_{T}^{\prime}\left(\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2} \sin ^{2} \varphi}\right) .
\]

Точно так же, обозначая через $M_{T}^{\prime \prime}$ момент, передаваемый концом $B O$ вала, и предполагая, что устройство симметрично относительно продольной оси электровоза, находим:
\[
\Delta \varphi=M_{T}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2} \cos ^{2} \varphi}\right) .
\]

Ho
\[
M_{T}=M_{T}^{\prime}+M_{T}^{\prime \prime},
\]

и поэтому формулы (60.10) и (60.11) дают:
\[
M_{T}=\Delta \varphi \frac{\frac{2}{k_{1}} \sin ^{2} \varphi \cos ^{2} \varphi+\frac{1}{k_{2}}}{\left(\frac{1}{k_{1}} \sin ^{2} \varphi+\frac{1}{k_{2}}\right)\left(\frac{1}{k_{1}} \cos ^{2} \varphi+\frac{1}{k_{2}}\right)}=\Delta \varphi \frac{a-b \cos 4 \varphi}{c-d \cos 4 \varphi},
\]

где
\[
a=\frac{2}{k_{1}}+\frac{8}{k_{2}}, \quad b=\frac{2}{k_{1}}, \quad c=\frac{8}{k_{2}^{2}}+\frac{8}{k_{1} k_{2}}+\frac{1}{k_{1}^{2}}, \quad d=\frac{1}{k_{1}^{2}} .
\]

Таким образом, обозначая через ю угловую скорость вращения вала (считая приближенно эту скорость постоянной), мы получим для гибкости системы выражение
\[
\theta=\frac{a-b \cos 4 \omega t}{c-d \cos 4 \omega t} .
\]

Заметим, что если бы система не была симметрична относительно продольной оси, то коэффициенты в формуле (60.11) отличались бы от коэффициентов в формуле (60.10), и для гибкости получилось бы выражение вида
\[
\theta=\frac{a+b \cos 2 \omega t+c \cos 4 \omega t}{p+q \cos 2 \omega t+r \cos 4 \omega t} .
\]

Составим теперь дифференциальные уравнения колебаний. Пусть $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ – углы поворота оси мотора и ведущей оси, $J_{1}$ и $J_{2}$ – моменты инерции вращающихся вокруг этих осени масс, $M_{T}$ и $M_{r}$ – действующие на них внешние моменты. Тогда имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
J_{1} \frac{d^{2} \varphi_{1}}{d t^{2}}=-\theta\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+M_{T}, \\
J_{2} \frac{d^{2} \varphi_{2}}{d t^{2}}=\theta\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)-M_{r} .
\end{array}\right\}
\]

Обозначая через $x$ величину $\varphi_{1}-\varphi_{2}$, из уравнений (60.14) находим:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\psi(\omega t) x=\frac{M_{T}}{J_{1}}+\frac{M_{r}}{J_{2}},
\]

где $\psi(\omega t)$ в общем случае несимметричнои системы определяется формулой
\[
\psi(\omega t)=\frac{a+b \cos 2 \omega t+c \cos 4 \omega t}{p+q \cos 2 \omega t+r \cos 4 \omega t} \frac{J_{1}+J_{2}}{J_{1} J_{2}} .
\]

Характер колебаний с точки зрения устоичивости определяется однородной частью уравнения. Эта однородная часть может быть представлена в виде
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+\frac{1}{\omega^{2}} \psi(\tau) x=0,
\]

где положено $\tau=\omega t$.
Мы опять получили линеиное уравнение с периодическими коэффициентами, содержащее в качестве параметра величину $\omega$. При тех значениях этого параметра, при которых величина $A$ для уравнения (60.16) будет удовлетворять неравенству $A^{2}>1$, будет иметь место параметрический резонанс, т. е. будут возникать колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Это и будут критические значения угловой скорости. Таким образом, задача определения критических скоростећ вращения вала сводится к определению значений параметра, при которых для уравнения (60.16) имеет место неустойчивость.
Пример 4. Парамет рический резонанс в электрическом колебательном контуре.
Рассмотрим электрический колебательный контур (рис. 16), состоящий из емкости $C$, самоиндукции $L$ и сопротивления $R$. Если через $q$ обозначить заряд, то для него, как известно, имеет место дифференциальное уравнение
\[
\ddot{L q}+R \dot{q}+\frac{1}{C} q=0 .
\]

Допустим теперь, что один из параметров системы, например емкость $C$, периодически изменяется. Пусть, например,
\[
\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{0}}(1+m \cos \omega t) .
\]

Тогда уравнение (60.17) примет вид
\[
\ddot{L q}+R \dot{q}+\frac{1}{C_{0}}(1+m \cos \omega t) q=0 .
\]

Полагая в этом уравнении
\[
q=x e^{-\frac{R}{2 L} t}, t^{\prime}=\omega t,
\]

получим:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{\prime 2}}+\frac{4 L-R^{2} C_{0}}{4 L^{2} C_{0} \omega^{2}}\left(1+\mu \cos t^{\prime}\right) x=0,
\]

где
\[
\frac{4 L m}{4 L-R^{2} C_{0}}=\mu .
\]

Отсюда видно, что при подходящем выборе частоты $\omega$ изменения емкости, несмотря на отсутствие в системе внешних источников тока, в ней могут возникнуть интенсивные электрические колебания. Этим можно воспользоваться для устрэиства генератора электрического тока, совершенно отличающегося от обычного и основанного на механическом изменении емкости (или самоиндукции). Такого рода генератор был впервые осуществлен Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси ${ }^{1}$ ).

Задача определения необходимой частоты изменения емкости $C$ сводится к определению параметра $\omega$ в уравнении (60.18) таким образом, чтобы решения этого уравнения были неустойчивы, т. е. чтобы для него величина $A$ удовлетворяла неравенству $A^{2}>1$.

Во всех рассмотренных примерах задача сводилась к исследованию уравнения второго порядка вида
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\lambda p(t) x=0,
\]

где $p(t)$ – периодическая функция времени, а $\lambda$ – некоторый параметр. Необходимо определить те значения параметра $\lambda$, при которых для этого уравнения будет иметь место устоичивость или неустоичивость. Так как условия устойчивости и неустойчивости определяются неравенствами, то значения $\lambda$, при которых будет иметь место устойчивость или неустоћчивость, будут, вообще говоря, заполнять некоторые интервалы. Те интервалы значений $\lambda$, при которых имеет место устойчивость, мы будем называть областями устойчивости уравнения (60.19). Аналогично определяются и области неустойчивости.

Итак, во всех предыдущих примерах задача сводилась к определению областей устойчивости и неустойчивости для уравнения вида (60.19). К этой же задаче приводятся и многочисленные другие важнейшие вопросы техники, физики и астрономии. Решению этой задачи
1) Для того чтобы амплитуда колебаний в такого рода генераторах оставалась конечной, необходимо в систему ввести нелинейность.

посвящены работы А. М. Ляпунова ${ }^{1}$ ), в которых получен ряд очень важных результатов. Некоторые из этих результатов были повторены O. Хауптом ${ }^{2}$ ). Существенное обобщение результатов А. М. Ляпунова получено М. Г. Креином ${ }^{3}$ ), который рассмотрел систему уравнений второго порядка. Этому же вопросу посвящены также работы И. М. Рапопорта $\left.{ }^{4}\right)$.

Мы рассмотрим подробно указанную задачу при некоторых частных предположениях, а именно, мы будем предполагать, что функция $p(t)$ в уравнении (60.19) мало отличается от своего среднего значения, так что мы можем писать:
\[
p(t)=a(1+\mu f(t)),
\]

где $f(t)$ – периодическая функция периода $\omega$, для которой
\[
\int_{0}^{\omega} f(t) d t=0,
\]
$a$ – постоянная, а $\mu$-постоянная величина, численное значение которой мало по сравнению с единицей.

При указанном ограничении функция $p$ будет принимать при всех $t$ значения одного знака, созпадающего со знаком величины $a$. На основании первой из теорем, установленных в § 59, для уравнения (60.19) всегда имеет место неустойчивость, если $\lambda a<0$. Поэтому нам предстоит исследовать только тот случай, когда $\lambda a>0$. Мы можем поэтому уравнение (60.19) записать в виде
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\lambda^{2}(1+\mu f(t)) x=0 .
\]

В нижеследующих параграфах мы занимаемся подробным исследованием уравнения (60.20). Можно считать с достаточной степенью точности, что все примеры параметрического резонанса, рассмотренные выше, описываются уравнением вида (60.20).
1) Liapounoff A., Sur une équation différentielle linéaire du second ordre. Comptes Rendus de l’Acad. de sciences. Paris, т. 128, 1899, стр. 910-913.

Liapoun off A., Sur une équation transcendente et les équations différentielles linéaires du second ordre á coefficients périodiques. Comptes rendus, Paris, т. 128, 1899, стр. 1085-1088.
${ }^{2}$ ) См. по этому поводу: Коваленко К. Р. и Крейн М. Г., О некоторых исследованиях А. М. Ляпунова по дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. ДАН, т. LXXV, №4, 1950.
${ }^{3}$ ) Крей й М. Г., Обобщение некоторых исследований А. М. Ляпунова о линейных дифференциальных уравғениях с периодическими коэффициентами. ДАН, т. LXXIII, № 3 , 1950 .
4) Рапопорт И. М., О линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами. ДАН, т. LXXVI, № 6, 1951; Р а попорт И. М., К вопросу об устойчивости колебаний материальной системы. ДАН, т. LXXVII, № 1, 1951.