Как мы увидим ниже, для практического применения второго метода Ляпунова необходимо знать критерии знакоопределенности и и знакопеременности функций. К сожалению, общих критериев такого рода не существует, и задача в общем случае весьма сложна. Однако
1) См. примечание в конце книги (стр. 518).

в частных случаях, с которыми нам придется иметь дело в дальнейшем, эта задача легко разрешается при помощи некоторых простых критериев, которые мы здесь приводим.

Допустим сначала, что $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ представляет однородную форму $m$-го порядка. Так как при произвольном $\lambda$ выполняется тождество
\[
V\left(\lambda x_{1}, \ldots, \lambda x_{n}\right)=\lambda^{m} V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

то совершенно очевидно, что если форма $V$ является знакоопределенной, то знакоопределенность будет иметь место во всем пространстве, а не только вблизи начала координат. То же самое будет справедливо и относительно знакогеременности. При этом очевидно, что знакоопределенность может ииеть место только при $m$ четном. Следовательно, имеет место следующее предложение.

Лемма 1. Любая борма нечетного порядка есть функция знакопе ременная.

Если $m$ есть число четное, то форма $V$ может быть как знакоопределенной, твк и знакопеременной. Вопрос о том, какой из этих случаев действительно имеет место, является очень сложным для форм порядка выше второго, если число независимых переменных больше двух. Для форм же второго порядка (при любом числе независимых переменных) эта задача разрешается чрезвычайно просто следующим образом.
Пусть
\[
2 V=\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} c_{\alpha \beta} x_{\alpha} x_{\beta}
\]
– квадратичная форма. Тогда, как известно, существует бесчисленное множество линейных подстановок
\[
y_{s}=a_{s 1} x_{1}+\ldots+a_{s n} x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

с отличным от нуля определителем, которые преобразуют форму $V$ к виду
\[
V=\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}+\ldots+\lambda_{n} y_{n}^{2} .
\]

Если все коэффициенты $\lambda_{s}$ отличны от нуля и одинакового знака, то форма $V$ будет знакоопределенной. Действительно, в этом случае форма $V$ может обратиться в нуль только при $y_{1}=\ldots=y_{n}=0$, что возможно только при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$, так как определитель подстановки (7.2) отличен от нуля. Если часть коэффициентов $\lambda_{s}$ равна нулю, а остальные имеют одинаковые знаки, то форма $V$ будет, очевидно, знакопостоянной. Если же среди коэффициентов $\lambda_{s}$ имеются как положительные, так и отрицательные, то форма $V$ будет знакопеременной.

Число отличных от нуля коэффициентов $\lambda_{s}$, а также число перемен знаков в ряду этих величин не завнсит от выбора подстановки (7.2).

Само приведение формы к виду (7.3) производится совершенно элементарными приемами, на которых мы здесь не останавливаемся.

Знакоопределенность или знакопеременность квадратичной формы можно также установить и не прибегая к вышеуказанному линейному преобразованию. Имеет место следующая теорема Сильвестра, которую мы здесь приводим без доказательства.

Теорема Сильвестра. Для того чтобы квадратичная борма (7.1) была опредсленно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главние миноры ее дискриминанта. т. е. величины
\[
c_{11},\left|\begin{array}{ll}
c_{11}, & c_{12} \\
c_{12}, & c_{22}
\end{array}\right|, \ldots,\left|\begin{array}{llll}
c_{11}, & c_{12}, \ldots, & c_{1 n} \\
c_{12}, & c_{22}, & \ldots, & c_{2 n} \\
c_{1 n}, & c_{2 n}, \ldots, & c_{n n}
\end{array}\right|,
\]

были положительны.
Допустим снова, что $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ есть форма произвольного $m$-го порядка. Рассмотрим произвольную функцию $W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, обращающуюся в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ и удовлетворяющую в области (6.3) неравенству
\[
\left|W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right|<A\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\}^{m},
\]

где $A$ – некоторая постоянная. Имеет место следующее важное предложение.

Лемма 2. Если V-знакоопределенная борма $m$-го порядка, то функция
\[
U\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]

будет также знакоопределенной того же знака при любом выборе функции $W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетворяющей в области (6.3) неравенству (7.4), где $A$-достаточно малое положительное число, зависящее исключительно от коэббициентов формы $V$. Если $V$ есть форма знакопеременная, то при тех же условиях функция $U$ будет также знакопеременной.
Доказательство. Полагая
\[
x_{s}=\rho a_{s}, \quad \rho=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}},
\]

где
\[
\alpha_{1}^{2}+\ldots+\alpha_{n}^{2}=1 \text {. }
\]

будем иметь:
\[
U\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\rho^{m} V\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)+W\left(\rho \alpha_{1}, \ldots, \rho \alpha_{n}\right) .
\]

Допустим сначала, что $V$ есть форма знакоопределенная, например определенно-положительная. Считая $\rho$ настолько малым, что величины $x_{s}$ лежат в области (6.3), можем на основании (7.4) и (7.6) писать:
\[
\left|W\left(\rho \alpha_{1}, \ldots, \rho \alpha_{n}\right)\right|<A \rho^{m}\left\{\left|\alpha_{1}\right|+\ldots+\left|\alpha_{n}\right|\right\}^{m}<A \rho^{m} n^{m} .
\]

Пусть $l$ – нижняя граница величины $V\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$, так что
\[
V\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \geqslant l .
\]

Число $l$ будет обязательно положительным, так как определенноположительная форма $V\left(\alpha_{1}, \ldots, \mathrm{c}_{n}\right)$ может принимать на сфере (7.6) только положительные значения. Из (7.7) и (7.8) вытекает, что если число $A$ меньше величины $\frac{l}{n^{m}}$, зависящей исключительно от формы $V$, то во всех точках области (6.3), кроме начала координат, функция $U$ будет принимать только положительные значения, что и доказывает первую часть леммы.

Допустим теперь, что $V$-форма знакопеременная. Тогда на сфере (7.6) она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Допустим, что $V\left(\alpha_{1}^{\prime}, \ldots, \alpha_{n}^{\prime}\right)=a>0$, a $V\left(\alpha_{1}^{\prime \prime}, \ldots, \alpha_{n}^{\prime \prime}\right)=-b<0$. Тогда, считая, что $A<\frac{a}{n^{m}}$ и $A<\frac{b}{n^{m}}$, будем иметь, что при $\alpha_{s}=\alpha_{s}^{\prime}$ функция $U$ будет положительной, а при $\alpha_{s}=\alpha_{s}^{\prime \prime}$ функция $U$ будет отрицательной, и это будет справедливо, как бы мало ни было $\rho$. Следовательно, функция $U$ является знакопеременной
Таким образом, лемма полностью доказана.
Лемма 3. Знакоопределенность или знакопеременность формы сохраняется, еслик нейдобавить любую форму того же порядка с достаточно малыми коэффрциентами.

Справедливость этой леммы непосредственно вытекает из того обстоятельства, что всякая форма $m$-го порядка необходимо удовлетворяет неравенству (7.4), причем коэффициент $A$ будет сколь угодно мал, если коэффициенты формы достаточно малы.

Пусть теперь $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ сбозначает произвольную функцию, разлагающуюся в ряд по степеням $x_{1}, \ldots, x_{n}$ в некоторой окрестности начала координат. Допустим, что это разложение начинается членами некоторого произвольного порядка $m$, так что мы можем писать:
\[
V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=V_{m}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+V^{*}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $V_{m}$ – форма $m$-го порядка, а $V^{*}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – совокупность членов более высоких порядков. Очевидно, что функцию $V^{*}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ можно рассматривать, и притом бесчисленным множеством способов, как форму $m$-го порядка, коэффициенты которой являются функциями от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, обращающимися в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$. Следовательно, если величина $h$, определяющая область (6.3), достаточно мала, то указанные коэффициенты будут сколь угодно малыми. Поэтому на основании предыдущего справедлива также следующая лемма.

Лемма 4. Если $V_{m}$ есть форма знакоопределенная, то и функция (7.9) будет знакоопределенной, и если $V_{m}$ есть форма знакопеременная, то и функиия (7.9) будет знакопеременной.

Таким образом, знакоопределенность и знакопеременность аналитических функций определяются совокупностью членов наинизшего порядка в разложениях этих функций, за исключением того случая, когда эта совокупность членов наинизшего порядка представляет знакопостоянную форму. Так что, например, функция двух переменных
\[
V(x, y)=x^{2}+y^{2}+x y^{2}+y^{3}
\]

будет знакоопределенной, а функция
\[
V(x, y)=x^{2}-y^{2}+x y^{2}+y^{3}
\]
– знакопеременной.

Если совокупность членов наинизшего порядка в разложении аналитической функции представляет собой форму знакопостоянную, то вопрос о знакоопределенности или знакопеременности этой функции решается, очевидно, членами более высоких порядков. Рассмютрим в качестве примера следующие четыре функции переменных $x$ и $y$ :
\[
\begin{array}{l}
V=x^{2}, \\
V=x^{2}-2 x y^{2}, \\
V=x^{2}-2 x y^{2}+y^{4}+x^{4}=\left(x-y^{2}\right)^{2}+x^{4}, \\
V=x^{2}-2 x y^{2}+y^{4}+x^{4}+x y^{5} .
\end{array}
\]

Первая из этих функций представляет собой постоянно-положительную квадратичную форму. Добавляя к ней член третьего порядка $-2 x y^{2}$, получим вторую функцию, которая, очевидно, знакопеременна. Добавляя к полученной функции члены четвертого порядка $y^{4}+x^{4}$, получим третью функцию. которая уже будет знакоопределенной. Наконец, добавляя член шестого порядка $x y^{5}$, мы получим четвертую функцию, которая уже снова является знакопеременнои. Действительно, последняя функция на параболе $x=y^{2}$ принимает значение $y^{7}+y^{8}$, которое при досгаточно малом у будет либо положительным, либо отрицательным, в зависимости от знака $y$.

Последний пример показывает: что добавлением членов более высоких порядков можно нарушить знакоопределенность или знакопеременность функции, если последняя не является формой от всех переменных.

В заключение отметим, что лемма 4 сстается, очевидно, в силе, если предположение, что функция $V^{*}$ является аналитическоћ с разложением, начинающимся членами не ниже $m+1$-го порядка, заме:йть более общим предположением, что $V^{*}$ обращается в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ и имеет при этом порядок малости более высокий, чем $m$, т. е. что $V^{*}$ удовлетворяет в некоторой окрестности начала координат неравенству
\[
\left|V^{*}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right|<A\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\}^{m+a},
\]

где $\alpha$-положительное число, которое, вообще говоря, может быть сколь угодно малым. Аналитичность функции $V^{*}$ при этом не требуется.