Пример 1. Теорема Лаграчжа об устойчивости равновесия. Простейшим случаем, когда теоремы Ляпунова дают возможность установить устойчивость невозмущенного движения, будет, очевидно, тот, когда уравнения (6.1) допускают первый интеграл
\[
V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\text { const. }
\]

где $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$-знакоопределенная функция. Действительно, в этом случае $\frac{d V}{d t}=0$, и функция $V$ удовлетворяет условиям теоремы A, откуда сразу следует устойчивость невозмущенного движения. С этим случаем мы как раз имеем дело при исследовании устойчивости равновесия голономной консервативной системы, ‘когда в положении равновесия силовая функция имеет максимум. Дећнствительно, пусть $q_{1}, \ldots, q_{n}$-обобщенные координаты системы, которые выбраны так, что в положении рввновесия они обращаются в нуль. Допустим, что силовая функция $U\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ имеет в положении равновесия максимум, который мы, не нарушая общности, можем положить равным нулю. Тогда $U\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ будет определенноотрицательной функцией величин $q_{1}, \ldots, q_{n}$. Так как невозмущенным движением в рассматриваемом случае является положение равновесия $q_{1}=\ldots=q_{n}=0$, то дифференциальными уравнениями возмущенного движения являются просто уравнения движения, которые мы можем записать в канонической форме:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\dot{\delta} H}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
H\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right)=T-U
\]

и $p_{i}$ – обобщенные импульсы. Так как кинетическая энергия $T$ является по отношению к переменным $p_{s}$ определенно-положительной квадратичной формой, а – $U$ – определенно-положительной функцией переменных $q_{s}$, то $H$ является определенно-положительной функцией переменных $p_{s}$ и $q_{s}$. Но уравнения ( 12.1 ) допускают интеграл энергии $H=h$, откуда немедленно вытекает известная теорема Лагранжа об устоичивости равновесия (по отношению к координатам и скоростям), когда силовая функция в положении равновесия имеет максимум.

Пример 2. Устойчивость вращательного движения снаряда. В предыдущем примере первый интеграл уравнений возмущенного движения, который получился из общих теорем механики, оказался знакоопределенным, что сразу привело к решению задачи. В некоторых случаях общие теоремы механики дают возможность получить первые интегралы, которые сами не являются знакоопределенными, но из них удается скомбинировать новый интеграл, уже являющийся знакоопределенным. Таким путем Н.Г. Четаеву ${ }^{1}$ ) удалось получить решение важной технической задачи об устойчивости вращательного движения снаряда, к изложению которой мы сейчас и переходим.

При весьма настильной траектории стрельбы можно приближенно считать, что центр тяжести снаряда движется прямолинейно и равномерно. Пусть $\beta$ – угол, который образует ось снаряда со своей проекцией на вертикальную плоскость стрельбы, а $\alpha$ – угол между этой проекцией и касательной к траектории центра тяжести. Эти два угла, очевидно, вполне определяют положение оси снаряда. Для этих углов имеют место следующие дифференциальные уравнения, установленные А. Н. Крыловым ${ }^{2}$ ):
\[
\left.\begin{array}{c}
A \ddot{\beta}+A \dot{\alpha}^{2} \sin \beta \cos \beta-C n \dot{\alpha} \cos \beta=e R \sin \beta \cos \alpha, \\
A \ddot{\alpha} \cos \beta-2 A \dot{\alpha} \dot{\beta} \sin \beta+C n \dot{\beta}=e R \sin \alpha .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $C$ – аксиальный момент инерции снаряда, $A$ – его момент инерции относительно поперечной оси, проходящей через центр тяжести, $n$-постоянная проекция угловой скорости вращения снаряда на его ось симметрии, $e$-расстояние между центром тяжести и центром давления (точкой приложения равнодействующей сил сопротивления воздуха) и $R$-лобовое сопротивление, которое в силу постоянства скорости центра тяжести снаряда будет также величиной постоянной.
Уравнения (12.2) допускают частное решение:
\[
\alpha=\dot{\alpha}=\beta=\dot{\beta}=0,
\]

которому отвечает винтовое движение снаряда вдоль собственной оси симметрии. Это движение мы примем за невозмущенное. Тогда уравнения (12.2) можно рассматривать как уравнения возмущенного движения. Общие теоремы механики дают для этих уравнений два первых интеграла (интеграл энергии и интеграл момента количества
1) Чета в Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, 1946. См. также: Четаев Н. Г., Об устойчивости вращательных движений снаряда. ПММ, т. X, вып. 1 , 1946 .
${ }^{2}$ ) Кр ылов А. Н., О вращательном движении продолговатого снаряда во время полета, Собрание трудов, т. IV, Изд-во АН СССР, 1937. Вывод дифференциальных уравнений деижения снаряда можно найти также в книге: Лойцянский Л. Г. и Л рье А. И., Курс теоретической механики, т. II, $\S 153$, изд. 4-е, Гостехиздат, 1948.

движения) вида
\[
F_{1}(\alpha, \dot{\alpha}, \beta, \dot{\beta})=\frac{1}{2} A\left(\dot{\beta}^{2}+\dot{\alpha}^{2} \cos ^{2} \beta\right)+e R(\cos \alpha \cos \beta-1)=\text { const. }
\]

и
\[
\begin{array}{l}
F_{2}(\alpha, \dot{\alpha}, \beta, \dot{\beta})=A(\dot{\beta} \sin \alpha-\dot{\alpha} \cos \beta \sin \beta \cos \alpha)+ \\
+C n(\cos \alpha \cos \beta-1)=\mathrm{const} .
\end{array}
\]

Действительно, составляя производные $\frac{d F_{1}}{d t}$ и $\frac{d F_{2}}{d t}$, в силу уравнений (12.2) будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\frac{d F_{1}}{d t}= & \frac{\partial F_{1}}{\partial a} \dot{\alpha}+\frac{\partial F_{1}}{\partial \dot{\alpha}} \ddot{\alpha}+\frac{\partial F_{1}}{\partial \beta} \dot{\beta}+\frac{\partial F_{1}}{\partial \dot{\beta}} \ddot{\beta}= \\
= & -e R \dot{\alpha} \sin \alpha \cos \beta+\cos \beta(e R \sin \alpha-C n \dot{\beta}+2 A \dot{\alpha} \dot{\beta} \sin \beta) \dot{\alpha}- \\
& \quad-A \dot{\alpha}^{2} \dot{\beta} \cos \beta \sin \beta-e R \dot{\beta} \cos \alpha \sin \beta+ \\
& \quad+\dot{\beta}\left(e R \sin \beta \cos \alpha-A \dot{\alpha}^{2} \sin \beta \cos \beta+C n \dot{\alpha} \cos \beta\right) \equiv 0
\end{aligned}
\]

и аналогично
\[
\frac{d F_{2}}{d t} \equiv 0 ;
\]

это и доказывает, что (12.3) и (12.4) действительно представляют первые интегралы уравнений (12.2). Каждый из этих интегралов не является знакоопределенным. Составим из них новый первый интеграл
\[
V=F_{1}-\lambda F_{2}=\text { const. }
\]

где $\lambda$ – некоторая постоянная, и подберем эту постоянную таким образом, чтобы функция $V$ получилась знакоопределенной (относительно $\alpha, \dot{\alpha}, \beta$ и $\dot{\beta}$ ). Выясним, при каком условии такой выбор постоянной $\lambda$ возможен. Это и будет условием устойчивости.
Разлагая функцию $V$ в ряд, будем иметь:
\[
\begin{aligned}
V=\frac{1}{2}\left\{A \dot{\alpha}^{2}+\right. & \left.(C n \lambda-e R) \beta^{2}+2 A \lambda \dot{\alpha} \beta\right\}+ \\
& +\frac{1}{2}\left\{A \dot{\beta}^{2}+(C n \lambda-e R) \alpha^{2}-2 A \lambda \dot{\beta} \alpha\right\}+\ldots
\end{aligned}
\]

где ненаписанные члены имеют порядок не ниже третьего. Из этого разложения сразу видно, что если каждая из квадратичных форм
\[
A x^{2}+(C n \lambda-e R) y^{2} \pm 2 A \lambda x y
\]

будет определенно-положительной то функция $V$ будет также определенно-положительной. В самом деле, при выполнении указанных условий выражение, стоящее в первой скобке разложения (12.5), будет определенно-положительной квадратичной формой относительно
$\dot{\alpha}$ и $\beta$. а выражение, стоящее во второй скобке, будет такой же формой относительно $\alpha$ и $\dot{\beta}$. Но тогда совокупность членов второго порядка в функции $V$ будет определенно-положительной квадратичной формой всех четырех величин: $\alpha, \dot{\alpha}, \beta$ и $\dot{\beta}$, и на основании результатов $\S 7$ функция $V$ будет также определенно-положительной.

Таким образом, невозмущенное движение будет устойчиво, если удастся подобрать такое число $\lambda$, что обе формы (12.6) будут определенно-положительными, а для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:
\[
A>0, f(\lambda)=A \lambda^{2}-C n \lambda+e R<0 .
\]

Первое из этих неравенств выполняется. Что же касается второго, то, поскольку $f(0)>0$, ему можно будет удовлетворить подходящими значениями $\lambda$ тогда и только тогда, когда уравнение $f(\lambda)=0$ будет иметь два вещественных не равных между собой корня $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. В этом случае мсжно будет взять любое $\lambda$, заключенное между $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$.

Итак, для устоичивости достаточно, чтобы уравнение $f(\lambda)=0$ имело простые вещественные корни, т. е. чтобы выполнялось условие
\[
C^{2} n^{2}-4 A e R>0 .
\]

Это неравенство дает нижнюю границу угловой скорости вращательного движсния снаряда, при которой его ось будет «слсдить» за касательной к траектории центра тяжести. Ниже будет показано, что при
\[
C^{2} n^{2}-4 A e R<0
\]

невозмущенное движение будет неустойчиво.
Пример 3. Устойчивость регулируемых систем. Во многих технических задачах важно, чтобы невозмущенное движение было асимптотически устойчивым и чтобы эта устойчивость имела место при любых начальных возмущениях. Так как функция Ляпунова дает возможность не только установить асимптотическую устойчивость, но и определить область допустимых начальных возмущений, то естественно, что второй метод может быть с успехом применен к решению такого рода технических задач. При этом дело сведется к установлению условий, при которых в рассматриваемой задаче можно будет построить функцию $V$, удовлетворяющую всем условиям теоремы $\mathrm{E}_{2}{ }^{1}$ ). Иначе говоря, здесь надо построить функцию $V$, удовлетворяющую всем условиям теоремы Б при любых значениях переменных $x_{s}$ и еще дополнительному условию
\[
\lim V=\infty \text { при } \sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2} \rightarrow \infty .
\]
1) См. примечание в конце книги (стр. 519).

В качестве примера мы приведем здесь исследование А. И. Лурье ${ }^{1}$ ) условий устойчивости одного класса регулируемых систем. Это исследование послужило отправной точкой для целого ряда других работ, посвященных тому же вопросу.

Как показал А. И. Лурье, широкии класс регулируемых систем с одним регулирующим органом может быть описан системой дифференциальных уравнений вида
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x_{s}}{d t}=-\rho_{s} x_{s}+f(\sigma) \quad(s=1,2, \ldots, n), \\
\frac{d \sigma}{d t}=\beta_{1} x_{1}+\ldots+\beta_{n} x_{n}-r f(\sigma) .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $r$ – вещественная положительная постоянная, $\rho_{s}$ суть $n$ различных постоянных с положительной вещественной частью, $\beta_{s}$ – также постоянные, а $f(\sigma)$ – некоторая функция от $\sigma$. Относительно этой функции, являющейся характеристикой сервомотора, предполагается только, что она является непрерывной, переходящей от отрицательных значений при $\sigma<0$ к положигельным при $\sigma>0$.

Задача заключается в установлении условий, которым должны удовлетворять параметры системы (постоянные $\rho_{s}$ и $\beta_{s}$ ), при которых состояние равновесия $x_{1}=\ldots=x_{n}=\sigma=0$ асимптотически устойчиво при любых начальных отклонениях и при любом виде функции $f(\sigma)$, удовлетворяющей вышеуказанным условиям.
А. И. Лурье рассматривал общий случай, когда постоянные $\rho_{s}$ и $\beta_{s}$ комплексны. Мы, однако, для упрощения изложения ограничимся здесь рассмотрением лишь того случая, когда все постоянные $\rho_{s}$ и $\beta_{s}$ вещественны. Рассмотрим квадратичную форму
\[
F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} \frac{1}{\rho_{\alpha}+\rho_{\beta}} x_{\alpha} x_{\beta}
\]

и покажем, что она определенно-положительна. В силу того, что $\rho_{k}>0$, имеем:
\[
\frac{1}{\rho_{\alpha}+\rho_{\beta}}=\int_{0}^{\infty} e^{-\left(\rho_{\alpha}+\rho_{\beta}\right) \lambda} d \lambda
\]

и, следовательно,
\[
F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\int_{0}^{\infty} \sum_{\alpha, \beta=1}^{n} x_{\alpha} x_{\beta} e^{-\left(\rho_{\alpha}+\rho_{\beta}\right) \lambda} d \lambda=\int_{0}^{\infty}\left(\sum_{\alpha=1}^{n} x_{\alpha} e^{-\rho_{\alpha} \lambda}\right)^{2} d \lambda .
\]
1) Лурье А. И., Об устойчивости одного класса регулируемых систем. ПММ, т. XV, вып. 5, 1951; Л урье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования, Гостехиздат, 1951.

Интеграл, стоящић в правой части, может обратиться в нуль лишь при таких значениях $x_{1}, \ldots, x_{n}$, при которых подинтегральное выражение обращается в нуль. Последнее же, в силу того, что все $\rho_{s}$ различны, обращается в нуль только при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$. Отсюда непосредственно вытекает знакоопределенность формы $F$. Установив это, рассмотрим функцию
$V\left(\sigma, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=$
\[
=\int_{0}^{\sigma} f(\sigma) d \sigma+F\left(a_{1} x_{1}, \ldots, a_{n} x_{n}\right)+\frac{1}{2}\left(A_{1} x_{1}^{2}+\ldots+A_{n} x_{n}^{2}\right),
\]

где $a_{s}$ и $A_{s}$ – произвольные вещественные постоянные, причем все $A_{s}$ положительны. При тех условиях, которые мы наложили на функцию $f(\sigma)$, величина
\[
\int_{0}^{\sigma} f(\sigma) d \sigma
\]

при всех отличных от нуля значениях $\sigma$ положительна и обращается в нуль при $\sigma=0$. Но тогда очевидно, что функция $V$ определенноположительна относительно переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$, , что имеет место при любых значениях этих переменных и при любом выборе функции $f(\sigma)$, удовлетворяющей указанным для нее условиям. Составляя производную от $V$ в силу уравненић (12.7), будем иметь:
\[
\begin{aligned}
-\frac{d V}{d t}=\sum_{\alpha=1}^{n} A_{\alpha} \rho_{\alpha} & x_{\alpha}^{2}+2 \sum_{\alpha, \beta=1}^{n} \frac{\rho_{\alpha} a_{0} a_{\beta}}{\rho_{\alpha}+\rho_{\beta}} x_{\alpha} x_{\beta}+ \\
& +r f^{2}(\sigma)-f(\sigma) \sum_{\alpha=1}^{n} x_{\alpha}\left[A_{\alpha}+\beta_{\alpha}+2 a_{\alpha} \sum_{\beta=1}^{n} \frac{a_{\beta}}{\rho_{\alpha}+\rho_{\beta}}\right] .
\end{aligned}
\]

откуда, учитывая, что
\[
2 \sum_{\alpha, \beta=1}^{n} \frac{\rho_{\alpha} a_{\alpha} a_{\beta}}{\rho_{\alpha}+\rho_{\beta}} x_{\alpha} z_{\beta}=\left(\sum_{\alpha=1}^{n} a_{\alpha} x_{\alpha}\right)^{2},
\]

получим:
\[
\begin{aligned}
-\frac{d V}{d t}=\sum_{\alpha=1}^{n} A_{\alpha} \rho_{\alpha} x_{\alpha}^{2}+\left(\sum_{\alpha=1}^{n} a_{\alpha} x_{\alpha}\right)^{2}+ & r^{2} f(\sigma)- \\
& -f(\sigma) \sum_{\alpha=1}^{n} x_{\alpha}\left[A_{\alpha}+\beta_{\alpha}+2 a_{\alpha} \sum_{\beta=1}^{n} \frac{a_{\beta}}{\rho_{\alpha}+\rho_{\beta}}\right] .
\end{aligned}
\]

Так как $r>0$, то полученное выражение будет, очевидно, определенно-положительным, если коэффициент при $f(\sigma)$ обращается в нуль. Однако такое условие является слишком ограничительным, так как при этом – $\frac{d V}{d t}$ будет определенно-положительным при любом $r>0$, а между тем ясно, что если $r$ достаточно велико, то – $\frac{d V}{d t}$ получится определенно-положительным, каков бы ни был коэффициент при $f(\sigma)$. Для того чтобы получить более общие условия знакоопределенности, преобразуем – $\frac{d V}{d t}$ к следующему виду:
\[
\begin{array}{l}
-\frac{d V}{d t}=\left[\sum_{\alpha=1}^{n} a_{\alpha} x_{\alpha}+\sqrt{r} f(\sigma)\right]^{2}+\sum_{\alpha=1}^{n} A_{\alpha} \rho_{\alpha} x_{\alpha}^{2}- \\
-f(\sigma) \sum_{\alpha=1}^{n} x_{\alpha}\left[A_{\alpha}+\beta_{\alpha}+2 \sqrt{r} a_{\alpha}+2 a_{\alpha} \sum_{\beta=1}^{n} \frac{a_{\beta}}{\rho_{\alpha}+\rho_{\beta}}\right] .
\end{array}
\]

Следовательно, если выполняются условия
\[
A_{s}+\beta_{s}+2 a_{s}\left(\sqrt{\boldsymbol{r}}+\sum_{\beta=1}^{n} \frac{a_{\beta}}{\rho_{s}+\rho_{\beta}}\right)=0,
\]

то $\frac{d V}{d t}$ будет определенно-отрицательной функцией от $\sigma, x_{1}, \ldots, x_{n}$, и это будет справедливо при любых значениях указанных переменных. Для выполнения дополнительного условия
\[
\lim _{x \rightarrow \infty} V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, \sigma\right)=\infty \quad\left(x=\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|, \sigma\right)
\]

достаточно в данном случае, чтосы выполнялось предельное соотношение
\[
\lim _{\sigma \rightarrow \pm \infty} \int_{0}^{\sigma} f(\xi) d \xi=\infty .
\]

Таким образом, мы приходим к следующему предложению: если можно подобрать $n$ положительных постоянных $A_{s}$ таким образом, чтобы система уравнений (12.8) допускала вещественное решение для $a_{s}$, и если выполнено условие (12.9), то невозмущенное движение для системы (12.7) асимптотически устойчиво при любых начальных возмущениях.

Таким образом, задача нахождения области допустимых значений параметров регулируемых систем, описываемых уравнениями (12.7), сведена к алгебраической задаче определения области изменения коэффициентов системы квадратных уравнений (12.8), при которых эти уравнения допускают вещественное решение. Мы не останавливаемся здесь более подробно на этом вопросе, отсылая читателя к. вышеназванным оригинальным работам, где указанный метод успешно применен к решению задачи устойчивости для целого ряда конкретных систем регулирования. Укажем лишь на одно неравенство, непосредственно вытекающее из уравнений (12.8) и выражающее, следовательно, одно из достаточных условий устойивости, а именно: разделив уравнения (12.8) на $\rho_{s}$ и сложив их, получим:
\[
\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{A_{\alpha}}{\rho_{\alpha}}+\left(\sum_{a=1}^{n} \frac{a_{\alpha}}{\rho_{a}}+\sqrt{r}\right)^{2}=r-\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\beta_{\alpha}}{\rho_{a}},
\]

откуда вытекает:
\[
r-\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\beta_{\alpha}}{\rho_{\alpha}}>0 .
\]

Это и будет интересующее нас неравенство. Ниже мы увидим, что если $f(\sigma)$ является аналитической функцией, то неравенство (12.9) выражает необходимое и достаточное условие устойчивости ${ }^{1}$ ).