Мы переходим теперь к изложению основных теорем второго метода Ляпунова для неустановившихся движений

Рассмотрим дифференциальные уравнения возмущенного движения вида
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

где функшии $X_{s}$ определены в области
\[
t \geqslant t_{0}, \quad\left|x_{s}\right| \leqslant H .
\]

Мы будем предполагать, что в указанной области функции $X_{s}$ являются непрерывными и удовлетворяют некоторым общим условиям, обеспечивающим существование д.ля уравнений (46.1) единственного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Первая основная теорема Ляпунова, которую мы в дальнейшем будем называть теоремой I, может быть сформулирована следующим образом.

Теорема I. Еслидля дифференциальных уравнений возмущенного движения (46.1) можно найти знакоопределенную функцию $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, для которой производная по времени, составленная в силу этих уравнений, т. е. выражение
\[
\frac{d V}{d t}=\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}} X_{s},
\]

есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с $\mathrm{V}$, или тождественно об ращается в нуль, то невозмущенное движение устойчиво.

Доказательство. Допустим для определенности, что $V$ функция положительная. Следовательно, существует такое достаточно большое число $t_{0}$ и такое достаточно малое число $h \leqslant H$, что в области
\[
t \geqslant t_{0},\left|x_{s}\right| \leqslant h
\]

выполняется неравенство
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $W$ – некоторая не зависящая от $t$ определенно-положительная функция. Кроме того, в этой же области выражение (46.3) может принимать только отрицательные или равные нулю значения.

Пусть $\varepsilon$ – произвольное сколь угодно малое положительное число. Мы будем предполагать, что во всяком случае $\varepsilon<h$. Рассмотрим совокупность всевозможных значений величин $x_{1}, \ldots, x_{n}$, связанных соотношением
\[
x=\max \left\{\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|\right\}=\varepsilon,
\]

и обозначим через $l$ точный нижний предел функции $W$ при этом условии. В силу знакоопределенности $W$ число $l$ положительно и отлично от нуля. В силу (46.5) имеем:
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant l \text { при } x=\varepsilon .
\]

Будем теперь рассматривать величины $x_{s}$ как функции времени, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям возмущенного движения. Предположим, что начальные значения $x_{s}^{0}$ этих функций при $t=t_{0}$ выбраны согласно неравенствам
\[
\left|x_{s}^{0}\right| \leqslant \eta,
\]

где $\eta$ настолько мало, что
\[
V\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)<l \text {. }
\]

В силу того, что $V\left(t_{0}, 0, \ldots, 0\right)=0$, такой выбор числа $\eta$, очевидно, возможен. Мы будем предполагать, что число $\eta$ во всяком случае меньше $\varepsilon$. Тогда неравенства
\[
\left|x_{s}\right|<\varepsilon \text {, }
\]

выполняясь в начальный момент времени, будут выполняться, по крайней мере, при $t-t_{0}$ достаточно малом, так как функции $x_{s}(t)$ изменяются с течением времени непрерывно. Покажем, что эти неравенства будут выполняться при всех $t>t_{0}$. В самом деле, если бы эти неравенства когда-нибудь нарушились, то должен был бы существовать такой момент времени $t=T$, для которого хотя бы одно из этих неравенств перешло бы в равенство. Другими словами, мы имели бы
\[
x(T)=\max \left\{\left|x_{1}(T)\right|, \ldots,\left|x_{n}(T)\right|\right\}=\varepsilon
\]

и, следовательно, на основании (46.7)
\[
V\left(T, x_{1}(T), \ldots, x_{n}(T)\right) \geqslant l .
\]

С другой стороны, так как $\varepsilon<h$, то во всем интервале времени $\left(t_{0}, T\right)$ выполняются неравенства (46.4), а следовательно, во всем этом интервале $\frac{d V}{d t} \leqslant 0$. Это дает: $V\left(T, x_{1}(T), \ldots, x_{n}(T)\right) \leqslant$
\[
\leqslant V\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right),
\]

что на основании (46.9) противоречит (46.11). Таким образом, неравенства (46.10) должны выполняться при всех $t>t_{0}$, откуда и вытекает устойчивость движения.

Доказанная теорема, так же как и в случае установившегося движения, допускает простое геометрическое истолкование. С этой целью рассмотрим в пространстве переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ область $\left|x_{s}\right| \leqslant \varepsilon$ (рис. 13). Выберем $c$ настолько малым, чтобы замкнутая поверхность $W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c$ целиком лежала в указанной области. Рассмотрим, далее, движущуюся поверхность $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c$. Как было показано в предыдущем параграфе, эта поверхность все время лежит внутри поверхности $W=c$, а следовательно, и подавно внутри области $\left|x_{s}\right| \leqslant \varepsilon$. Допустим, что точка ( $x_{1}, \ldots, x_{n}$ ), движение которой определяется уравнениями (46.1), в какой-нибудь момент времени находилась внутри поверхности $V=c$. Тогда она будет все время оставаться внутри этой поверхности. Действительно, если бы она вышла наружу, то в тот момент времени, когда она пересекала бы указанную поверхность, производная $\frac{d V}{d t}$ в точке пересечения была бы положительной, что противоречит условию теоремы. Отсюда непосредственно вытекает, что всякое движение, начавшееся в области $\left|x_{s}\right| \leqslant \eta$, целиком расположенной внутри поверхности $V\left(t_{0}, x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}\right)=c$, будет всегда оставаться в области $\left|x_{s}\right| \leqslant \varepsilon$.

Переходим теперь к доказательству второй основной теоремы Ляпунова, являющейся обобщением теоремы Б. Эту теорему мы будем в дальнейшем называть теоремой II.

Теорема II. Если при выполнениа условий теоремы I производная $\frac{d V}{d t}$ является знакоопределенной, а сама функция $V$ допускает бесконечно малый высший предел, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

Доказательство. Допустим, что $V$ есть функция определенно-положительная и, следовательно, $\frac{d V}{d t}$ – определенно-отрицательная. Таким образом, в области (46.4) будет выполняться не только неравенство (46.5), но и неравенство
\[
\frac{d V}{d t} \leqslant-W_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $W_{1}$ – не зависящая от $t$ определенно-положительная функция.
Будем рассматривать величины $x_{s}$ как функции времени, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям возмущенного движения, предполагая, что начальные значения $x_{s}^{0}=x_{s}\left(t_{0}\right)$ этих величин удовлетворяют неравенствам (46.8). Так как невозмущенное движение во всяком случае устойчиво, то величину $\eta$ можно выбрать настолько малой, чтобы при всех $t>t_{0}$ величины $x_{s}$ оставались в области (46.4). Тогда на основании (46.12) производная от функции $V\left(t, x_{1}(t), \ldots\right.$ $\ldots, x_{n}(t)$ ) будет все время отрицательной и, следовательно, эта функция с неограниченным возрастанием $t$ будет стремиться к некоторому пределу, оставаясь все время больше этого предела. Покажем, что этот предел равен нулю. Допустим противное, что этот предел равен некоторой положительной величине $\alpha$, отличной от нуля. Тогда при всех $t>t_{0}$ будет выполняться неравенство
\[
V\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)>\alpha .
\]

Так как $V$ допускает бесконечно малый высший предел, то из этого неравенства вытекает, что
\[
x(t)=\max \left\{\left|x_{1}(t)\right|, \ldots,\left|x_{n}(t)\right|\right\} \geqslant \lambda,
\]

где $\lambda$ – некоторое достаточно малое положительное число. Действительно, если бы такого числа $\lambda$ не существовало, т. е. если бы величина $x(t)$ была меньше любого сколь угодно малого числа, то и величина $V\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)$, как это следует из определения бесконечно малого высшего предела, была бы также сколь угодно малой, что противоречит (46.13).

Но если при всех $t>t_{0}$ выполняется неравенство (46.14), то (46.12) показывает, что все время будет также выполняться неравенство
\[
\frac{d V}{d t} \leqslant-l_{1} \text {, }
\]

где $l_{1}$ – отличное от нуля положительное число, являющееся точным нижним пределом функции $W_{1}\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)$ при условии (46.14). Следовательно, при всех $t>t_{0}$ будем иметь:
\[
\begin{aligned}
V\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)=V\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} \frac{d V}{d t} d t & \leqslant \\
& \leqslant V\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)-l_{1}\left(t-t_{0}\right),
\end{aligned}
\]

что, очевидно, находится в противоречии с (46.13). Полученное противоречие показывает, что функция $V\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)$ с неограниченным возрастанием $t$ стремится к нулю. Следовательно, то же самое будет и для функции $W\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)$, откуда непосредственно следует
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x_{s}(t)=0 \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

что и доказывает теорему ${ }^{1}$ ).