Докажем сеичас некоторые основные свойств характеристичных чисел функций, установленные А. М. Ляпуновым.
Теорема 1. Характеристичное число суммы двух бункций равно наименьшему из характеристичных чисел этих. функиий, когда эти числа различны, и не менее их, когда они равны.
Доказательство. Пусть’ $\lambda=X\{f\}, \mu=X\{\varphi\}$ и допустим сначала, что $\lambda<\mu$. Тогда для всякого положительного $\varepsilon$ функиия
\[
(f+\varphi) e^{(\lambda-\varepsilon) t}=f e^{(\lambda-\varepsilon) t}+\varphi e^{(\lambda-\varepsilon) t}
\]
будет исчезающей, так как исчезающими будут оба слагаемых. Напротив, функция
\[
(f+\varphi) e^{(\lambda+\varepsilon) t}=f e^{(\lambda+\varepsilon) t}+\varphi e^{(\lambda+\varepsilon) t}
\]
будет неограниченной при $\varepsilon<\mu-\lambda$, так как первое слагаемое будет функцией неограниченной, а второе – исчезающей. Отсюда следует, что $X\{f+\varphi\}=\lambda$.
Допустим теперь, что $\lambda=\mu$. Тогда при любом $\varepsilon$ сумма (77.1) будет по-прежнему исчезающей, так как исчезающими будут оба слагаемых этой суммы. Что же касается суммы (77.2), то теперь оба слагаемых будут неограниченными, вследствие чего сумма может оказаться исчезающей. Поэтому при $\lambda=\mu$ мы можем лишь утверждать, что $X\{f+\varphi\} \geqslant \lambda$.
Теорема 2. Характеристичне число произведения двух бункций не менее суммы их характеристичных чисел.
Доказательство. Пусть $X\{f\}=\lambda, X\{\varphi\}=\mu$. Тогда для всякого положительного $\varepsilon$ функция
\[
\varphi e^{\left(\lambda-\frac{\varepsilon}{2}\right) t} \cdot f e^{\left(\mu-\frac{\varepsilon}{2}\right) t}=f \varphi e^{(\lambda+\mu-\varepsilon) t}
\]
будет исчезающей. Отсюда следует, что $X\{f \varphi\} \geqslant \lambda+\mu$, что и требовалось доказать.
Что характеристичное число произведения может быть больше суммы характеристичных чисел множителей, легко видеть на следующем примере. Характеристичное число произведения двух функций $e^{t \sin t} e^{-t \sin t}$, равного единице, есть нуль. В то же время характеристичное число каждого из множителей, как это видно из (76.7), равно -1, и, следовательно, их сумма равна – 2 .
Следствие. Сумма характеристичных чисел бункций $f$ и $\frac{1}{f}$ не более нуля.
Теорема 3. Для того чтобы сумма характеристичных чисел функций $f$ и $\frac{1}{f}$ равнялась нулю, необходимо и достаточно, чтобы выражение $\frac{1}{t} \ln |f(t)|$ стремилось к определенному пределу при $t \rightarrow \infty$.
Доказательство. Если по условию $\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln |f(t)|=a$, то на основании (76.2)
\[
X\{f\}=-a, X\left\{\frac{1}{f}\right\}=a,
\]
что доказывает достаточность высказанного в теореме условия.
Напротив, если $X\{f\}+X\left\{\frac{1}{f}\right\}=0$, то
\[
\begin{aligned}
0=-\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{\ln |f(t)|}{t}-\varlimsup_{t \rightarrow \infty}\left[-\frac{\ln |f(t)|}{t}\right] & = \\
& =-\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{\ln |f(t)|}{t}+\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\ln |f(t)|}{t},
\end{aligned}
\]
что показывает, что функции $\frac{1}{t} \ln |f(t)|$ при $t \rightarrow \infty$ имеет определенный предел. Этим доказывается необходимость высказанного в теореме условия.
Теорема 4. Если сумма характеристичных чисел функций $f$ и $\frac{1}{f}$ равна нулю, то характеристичное чцсло произведения из функции $f$ какой-либо функиии ч равно сумме характеристичных чисел множителей.
Доказательство. С одной стороны, имеем:
\[
X\{f \varphi\} \geqslant X\{f\}+X\{\varphi\} .
\]
С другой стороны, по условию теоремы
\[
X\{\varphi\}=X\left\{f \varphi \cdot \frac{1}{f}\right\} \geqslant X\{f \varphi\}+X\left\{\frac{1}{f}\right\}=X\{f \varphi\}-X\{f\},
\]
или
\[
X\{f \varphi\} \leqslant X\{\varphi\}+X\{f\},
\]
откуда
\[
X\{\varphi f\}=X\{\varphi\}+X\{f\},
\]
что и требовалось доказать.
Рассмотрим интеграл
\[
F(t)=\int_{a}^{t} f(t) d t
\]
где $a$ – произвольная постоянная, если характеристичное число функции $f(t)$ отрицательно или равно нулю, и интеграл
\[
F(t)=\int_{t}^{\infty} f(t) d t
\]
если характеристичное число функции $f(t)$ положительно. При таком условии о пределах интегрирования имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Характеристичное число интеграла не менее характеристичного числа подынтег ральной функции.
Доказательство. Пусть $\lambda=X\{f\}$. Тогда при всяком положительном $\eta$ функция $f e^{(\lambda-\mu) t}$ будет исчезающей и, следовательно, ограниченной. Пусть $M$-верхний предел модуля этой функции.
Допустим сначала, что $\lambda>0$. Тогда, полагая $\eta<\lambda$, будем иметь:
\[
|F(t)|<M \int_{t}^{\infty} e^{-(\lambda-\eta) t} d t=\frac{M}{\lambda-\eta} e^{-(\lambda-\eta) t},
\]
откуда вытекает, что функция $F(t) e^{(\lambda-\varepsilon) t}$ есть исчезающая при любом $\varepsilon>\eta$ и, следовательно, при .юбом $\varepsilon$, так как $\eta$ можно считать сколь угодно малым. Это показывает, что $X\{F\} \geqslant \lambda$.
Пусть теперь $\lambda \leqslant 0$. Тогда
\[
|F(t)|<M \int_{a}^{t} e^{-(\lambda-\eta) t} d t=\frac{M}{\eta-\lambda} e^{-(\lambda-\eta) t}+\text { const. },
\]
что показывает, что функиия $F(t) e^{(\lambda-\varepsilon) t}$ будет исчезающей при любом $\varepsilon>\eta$ и, следовательно, при любом $\varepsilon$. Поэтому и в рассматриваемом случае $X\{F\} \geqslant \lambda$.
