Критерии асимптотической устойчивости, приведенные в $\S 10$ (теорема Б) и в § 46 (теорема II), опираются на функции Ляпунова $V$, производные которых $\frac{d V}{d t}$ в силу уравнений возмущенного движения являются функциями знакоопределенными. В приложениях, особенно при исследовании устойчивости в большом и в целом нелинейных систем, иногда удается построить определенно-положительную функцию $V$, производная которой $\frac{d V}{d t}$ является лишь функцией знакопостоянной отрицательной, но не определенно-отрицательной. Именно с этим случаеи мы встретились в Дополнении 1 . В то же время попытки построить функцию Ляпунова $V$ с определенно-отрицательной производной приводят к серьезным трудностям. Поэтому возникает необходимость сформулировать общий критерии, который указывал бы условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость невозмущенного движения при наличии лишь функции Ляпунова со знакопостоянной производнон. В последнее время был предложен ряд таких критериев. По-видимому, наиболее ранними из них были теоремы, доказанные для систем уравнений, правые части которых не зависят явно от времени ${ }^{1}$ ). Без существенных изменений эти критерии обобщаются на периодические по времени системы. Позднее были доказаны аналогичные критерии для общего случая нестационарных систем с использованием, однако, двух и более функций Ляпунова ${ }^{2}$ ).
1) Барбашин Е. А., Красовский Н. Н., Об устойчивости движения в целом, ДАН, т. 86, вып. 3, 1952; Т у зов А. П., Вопросы устойчивости для одной системы регулирования, Вестник лГУ, вып. $2,1955$.
2) Матросов В. М., Об устойчивости движения. ПММ, т. XXVI, вып. 5,1962 .

Приведем здесь одну теорему об асимптотическои устоичивости в форме, близкой к той, которая предложена в работе Е. А. Барбашина и Н. Н. Красовского ${ }^{1}$ ).
Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

где правые части $X_{s}$ определенны, непрерывны и удовлетворяют условиям единственности решений в области
\[
\left|x_{s}\right|<H \quad(H=\text { const, или } H=\infty) .
\]

Как и раньше, предполагаем, что $X_{s}(0, \ldots, 0)=0$.
Пусть $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ — некоторая функция Ляпунова, имеющая знакопостоянную отрицательную производную $\frac{d V}{d t}$ в силу уравнений (103.1). Обозначим через $M$ множество тех точек $x_{s}$ из области $\left|x_{s}\right|<H$, где $\frac{d V}{d t}=0$. При этом, однако, не будем включать точку $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$, где всегда $\frac{d V}{d t}=0$. Тогда можно сформулировать следующий критерий асимптотической устойчивости.

Теорема Д. Если для диюфференциальных уравнений возмущенного движения (103.1) можно найти оп ределенно. положительную в области (103.2) бункцию $V$ такую, что ее производная $\frac{d V}{d t}$ удовлетворяет в этой области условиям:
1)
\[
\begin{array}{lll}
\frac{d V}{d t}<0 & \text { вне } & M ; \\
\frac{d V}{d t}=0 & \text { на } & M,
\end{array}
\]
2)
\[
\begin{array}{lll}
\frac{d V}{d t}<0 & \text { вне } & M ; \\
\frac{d V}{d t}=0 & \text { на } & M,
\end{array}
\]

где $M$-многообразие точек $\left\{x_{s}\right\}$, не содержащее челых движений $x_{s}(t)$ системы при $0<t<\infty$, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Доказательство. Устойчивость невозмущенного движения следует из теоремы А (§9). Значит, для всякого $0<\varepsilon<H$ найдется такое $\eta(\varepsilon)>0$, что любое возмущенное движение $x_{s}(t)$ системы (103.1), выходящее в момент времени $t=t_{0}$ из области $\left|x_{s}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant \eta$, будет удовлетворять условию
\[
\left|x_{s}(t)\right|<\varepsilon
\]

при всех $t \geqslant t_{0}$. Покажем, что эта устойчивость является асимптотическои, т. е.
\[
\lim x_{s}(t)=0 \text { при } t \rightarrow \infty .
\]
1) См. первую работу в сноске на стр. 463.

Так как $\frac{d V}{d t} \leqslant 0$, то
\[
V\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right) \leqslant V\left(x_{1}\left(t_{0}\right), \ldots, x_{n}\left(t_{0}\right)\right) \text { при } t \geqslant t_{0}
\]

и функция $V\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)$ как невозрастающая и неотрицательная функция времени имеет определенный предел $V_{0}$ при $t \rightarrow \infty$, причем
\[
V\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right) \geqslant V_{0} \text { при } t \geqslant t_{0} .
\]

Допустим, что $V_{0}
eq 0$. Из ограниченности области (103.3) вытекает, что найдется последовательность точек $x_{s}^{(k)}=x_{s}\left(t_{0}+k \tau\right)$ ( $k=k_{1}, k_{2}, \ldots ; \tau=$ const $>0$ ), которая сходится к точке $q$ с координатами $x_{1}^{*}, \ldots, x_{n}^{*}$, лежащей в области (103.3). Вследствие непрерывности функции $V$ должно выполняться равенство $V\left(x_{1}^{*}, \ldots, x_{n}^{*}\right)=V_{0}$.

Рассмотрим теперь движения $x_{s}^{(q)}(t)$ и $x_{s}^{\left(k_{i}\right)}(t)$, выходящие при $t=t_{0}$ соответственно из точек $q$ и $^{s} x_{s}^{\left(k_{i}\right)}$. Так как по условию теоремы движение $x_{s}^{(q)}(t)$ при $t_{0} \leqslant t<\infty$ не может лежать целиком на многообразии $M$, то должны существовать такие интервалы времени, когда $\frac{d V}{d t}<0$ вдоль этого движения. Значит, можно указать момент времени $T>t_{0}$, в которыи выполняется условие
\[
V\left(x_{1}^{(q)}(T), \ldots, x_{n}^{(q)}(T)\right)=V_{1}<V_{0} .
\]

Так как последовательность $x_{s}^{\left(k_{i}\right)}$ сходится к точке $q$, то вследствие непрерывной зависимости решений от начальных данных можно записать неравенство
\[
\max \left\{\left|x_{1}^{(q)}(T)-x_{1}^{\left(k_{i}\right)}(T)\right|, \ldots,\left|x_{n}^{(q)}(T)-x_{n}^{\left(k_{i}\right)}(T)\right|\right\}<\delta
\]

при всех $k_{l}>N(\delta)$, каково бы ни было наперед заданное число $\delta>0$. Следовательно,
\[
\left.\lim V\left(x_{1}^{(k)}\right)(T), \ldots, x_{n}^{\left(k_{i} i\right.}(T)\right) \leqslant V_{1} \quad \text { при } k_{i} \rightarrow \infty .
\]

Вследствие независимости функций $X_{s}$ от времени справедливы равенства
\[
x_{s}^{\left(k_{i}\right)}(T)=x_{s}\left(T+k_{i} \tau\right),
\]

поэтому условие (103.5) можно записать таким образом:
\[
\lim V\left(x_{1}\left(T+k_{i} \tau\right), \ldots, x_{n}\left(T+k_{i} \tau\right)\right) \leqslant V_{1} \quad \text { при } k_{i} \rightarrow \infty .
\]

Это неравенство противоречит (103.4), поэтому наше допущение $V_{0}
eq 0$ неверно. Следовательно, $V_{0}=0$, т. е.
\[
\lim V\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)=0 \quad \text { при } \quad t \rightarrow \infty
\]

и
\[
\lim x_{s}(t)=0 \text { при } t \rightarrow \infty .
\]

Примечание. Если многообразие $M$ есть поверхность, заданная уравнением
\[
F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0,
\]

то условие
\[
\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial F}{\partial x_{s}} X_{s}
eq 0 \quad\left(x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}
eq 0\right)
\]

в области (103.3) является достаточным для отсутствия целых движений на $M$.

Действительно, если в некоторый момент $t=t_{1}$ траектория $x_{s}(t)$, выходящая из области $\left|x_{s}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant \eta$, попадает на поверхность (103.6), то сразу при $t>t_{1}$ она должна покинуть эту поверхность, так как
\[
\left(\frac{d F\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)}{d t}\right)_{t=t_{1}}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial F}{\partial x_{s}} X_{s}
eq 0 .
\]

Заметим теперь, что если в случае $H=\infty$ к условиям доказанной теоремы добавить требование, чтобы функция $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ удовлетворяла условию $\left.{ }^{1}\right)$
\[
\lim V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\infty \text { при } x \rightarrow \infty,
\]

где $x=\max \left\{\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|\right\}$, то получится критерий асимптотической устойчивости в целом.

В самом деле, рассмотрим возмущенное движение $x_{s}(t)$ системы (103.1), выходящее в момент времени $t_{0}$ из произвольной точки пространства $\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$. Условие (103.7) обеспечивает ограниченность области
\[
V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \leqslant V\left(x_{1}\left(t_{0}\right), \ldots, x_{n}\left(t_{0}\right)\right),
\]

в которой будет оставаться движение $x_{s}(t)$ при всех $t_{0} \leqslant t<\infty$. Повторяя, далее, рассуждения, гриведенные в доказательстве теоремы, убеждаемся в том, что асимптотическая устойчивость имеет место при любых начальных возмущениях. Таким образом, при указанном дополнительном условии мы действительно имеем дело с устойчивостью в целом.

Мы рассмотрели теорему, обобщающую теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости. Можно сформулировать также критерий неустойчивости, которыи является обобщением соответствующей теоремы Ляпунова (теорема В § 13).
1) См. примечание к стр. 68.

Теорема Е. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (103.1) можно найти бункцию $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ такую, что ее произвоная $\frac{d V}{d t}$ удовлетворяет условиям:
1) $\frac{d V}{d t}>0$ вне $M$;
2) $\frac{d V}{d t}=0$ на $M$,

где $M$-многооб разие точек $\left\{x_{s}\right\}$, не содержащее целых движений при $0<t<\infty$, и если при этом можно указать точки, лежащие в произвольной окрестности начала координат, такие, что в них $V>0$, то невозмущенное движение неустойчиво.
Доказательство этой теоремы ${ }^{1}$ ) приводить не будем.