Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Критерии асимптотической устойчивости, приведенные в $\S 10$ (теорема Б) и в § 46 (теорема II), опираются на функции Ляпунова $V$, производные которых $\frac{d V}{d t}$ в силу уравнений возмущенного движения являются функциями знакоопределенными. В приложениях, особенно при исследовании устойчивости в большом и в целом нелинейных систем, иногда удается построить определенно-положительную функцию $V$, производная которой $\frac{d V}{d t}$ является лишь функцией знакопостоянной отрицательной, но не определенно-отрицательной. Именно с этим случаеи мы встретились в Дополнении 1 . В то же время попытки построить функцию Ляпунова $V$ с определенно-отрицательной производной приводят к серьезным трудностям. Поэтому возникает необходимость сформулировать общий критерии, который указывал бы условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость невозмущенного движения при наличии лишь функции Ляпунова со знакопостоянной производнон. В последнее время был предложен ряд таких критериев. По-видимому, наиболее ранними из них были теоремы, доказанные для систем уравнений, правые части которых не зависят явно от времени ${ }^{1}$ ). Без существенных изменений эти критерии обобщаются на периодические по времени системы. Позднее были доказаны аналогичные критерии для общего случая нестационарных систем с использованием, однако, двух и более функций Ляпунова ${ }^{2}$ ). Приведем здесь одну теорему об асимптотическои устоичивости в форме, близкой к той, которая предложена в работе Е. А. Барбашина и Н. Н. Красовского ${ }^{1}$ ). где правые части $X_{s}$ определенны, непрерывны и удовлетворяют условиям единственности решений в области Как и раньше, предполагаем, что $X_{s}(0, \ldots, 0)=0$. Теорема Д. Если для диюфференциальных уравнений возмущенного движения (103.1) можно найти оп ределенно. положительную в области (103.2) бункцию $V$ такую, что ее производная $\frac{d V}{d t}$ удовлетворяет в этой области условиям: где $M$-многообразие точек $\left\{x_{s}\right\}$, не содержащее челых движений $x_{s}(t)$ системы при $0<t<\infty$, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Доказательство. Устойчивость невозмущенного движения следует из теоремы А (§9). Значит, для всякого $0<\varepsilon<H$ найдется такое $\eta(\varepsilon)>0$, что любое возмущенное движение $x_{s}(t)$ системы (103.1), выходящее в момент времени $t=t_{0}$ из области $\left|x_{s}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant \eta$, будет удовлетворять условию при всех $t \geqslant t_{0}$. Покажем, что эта устойчивость является асимптотическои, т. е. Так как $\frac{d V}{d t} \leqslant 0$, то и функция $V\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)$ как невозрастающая и неотрицательная функция времени имеет определенный предел $V_{0}$ при $t \rightarrow \infty$, причем Допустим, что $V_{0} Рассмотрим теперь движения $x_{s}^{(q)}(t)$ и $x_{s}^{\left(k_{i}\right)}(t)$, выходящие при $t=t_{0}$ соответственно из точек $q$ и $^{s} x_{s}^{\left(k_{i}\right)}$. Так как по условию теоремы движение $x_{s}^{(q)}(t)$ при $t_{0} \leqslant t<\infty$ не может лежать целиком на многообразии $M$, то должны существовать такие интервалы времени, когда $\frac{d V}{d t}<0$ вдоль этого движения. Значит, можно указать момент времени $T>t_{0}$, в которыи выполняется условие Так как последовательность $x_{s}^{\left(k_{i}\right)}$ сходится к точке $q$, то вследствие непрерывной зависимости решений от начальных данных можно записать неравенство при всех $k_{l}>N(\delta)$, каково бы ни было наперед заданное число $\delta>0$. Следовательно, Вследствие независимости функций $X_{s}$ от времени справедливы равенства поэтому условие (103.5) можно записать таким образом: Это неравенство противоречит (103.4), поэтому наше допущение $V_{0} и Примечание. Если многообразие $M$ есть поверхность, заданная уравнением то условие в области (103.3) является достаточным для отсутствия целых движений на $M$. Действительно, если в некоторый момент $t=t_{1}$ траектория $x_{s}(t)$, выходящая из области $\left|x_{s}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant \eta$, попадает на поверхность (103.6), то сразу при $t>t_{1}$ она должна покинуть эту поверхность, так как Заметим теперь, что если в случае $H=\infty$ к условиям доказанной теоремы добавить требование, чтобы функция $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ удовлетворяла условию $\left.{ }^{1}\right)$ где $x=\max \left\{\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|\right\}$, то получится критерий асимптотической устойчивости в целом. В самом деле, рассмотрим возмущенное движение $x_{s}(t)$ системы (103.1), выходящее в момент времени $t_{0}$ из произвольной точки пространства $\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$. Условие (103.7) обеспечивает ограниченность области в которой будет оставаться движение $x_{s}(t)$ при всех $t_{0} \leqslant t<\infty$. Повторяя, далее, рассуждения, гриведенные в доказательстве теоремы, убеждаемся в том, что асимптотическая устойчивость имеет место при любых начальных возмущениях. Таким образом, при указанном дополнительном условии мы действительно имеем дело с устойчивостью в целом. Мы рассмотрели теорему, обобщающую теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости. Можно сформулировать также критерий неустойчивости, которыи является обобщением соответствующей теоремы Ляпунова (теорема В § 13). Теорема Е. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (103.1) можно найти бункцию $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ такую, что ее произвоная $\frac{d V}{d t}$ удовлетворяет условиям: где $M$-многооб разие точек $\left\{x_{s}\right\}$, не содержащее целых движений при $0<t<\infty$, и если при этом можно указать точки, лежащие в произвольной окрестности начала координат, такие, что в них $V>0$, то невозмущенное движение неустойчиво.
|
1 |
Оглавление
|