Доказанная в предыдущем параграфе теорема III, дающая критерий неустойчивости, обладает одним принципиальным недостатком. Этот недостаток заключается в том, что функция $V$ должна обладать определенными свойствами во всей области (47.1). В частности, во всей этой области производная $\frac{d V}{d t}$ должна быть положительной, что обозначает, что все интегральные кривые, расположенные в области (47.1), должны пересекать поверхности $V=c$ в определенную сторону. Между тем, для того чтобы обнаружить неустойчивость движения в тех случаях, когда она действительно имеет место, достаточно обнаружить в сколь угодно малой окрестности начала координат хотя бы одну неустойчивую интегральную кривую, а для того чтобы обнаружить такого рода интегральную кривую, достаточно знать поведение интегральных кривых не во всей области (47.1), а только в некоторой ее части. В связи с этим необходимо, таким образом, обобщить теорему Ляпунова, чтобы приходилось рассматривать только некоторые части окрестности начала координат. Такого рода обобщение было дано Н. Г. Четаевым ${ }^{1}$ ).
Назовем областью $V>0$ какую-нибудь область окрестности
\[
\left|x_{s}\right| \leqslant h
\]
начала координат пространства переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$, ограниченную поверхностью $V=0$, в которой функция $V$ принимает положительные значения.
Допустим, что функция $V$ обладает следующими свойствами:
1) При сколь угодно больших значениях $t$ в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область $V>0$.
2) В области $V>0$ функция $V$ ограничена.
3) В области $V>0$ производная $\frac{d V}{d t}$, составленная в силу уравнений возмущенного движения, принимает положительные значения и при этом для всех значений $t, x_{1}, \ldots, x_{n}$, связанных соотношением
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant \alpha,
\]
где $\alpha$-какое-нибудь положительное число, выполняется неравенство
\[
\frac{d V}{d t} \geqslant l,
\]
где $l$-также некоторое положительное число, зависящее от $\alpha$.
Мы можем теперь теорему Н. Г. Четаева сформулировать следующим образом.
1) Четаев Н. Г., Одна теорема о неустойчивости. ДАН, т. I, № 9, 1934.
Теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти функцию, удовлетворяющую условиям 1), 2), 3), то невозмущенное движение неустойчиво.
Доказательство. Зададимся окрестностью (48.1) начала координат. Согласно условию, если $h$ достаточно мало, то в этой окрестности имеется область $V>0$. При этом в указанной области при всяком значении $t$ имеются точки, сколь угодно близкие к началу координат.
Рассмотрим решение $x_{s}=x_{s}(t)$ уравнений возмущенного движения с начальными значениями $x_{s}^{0}=x_{s}\left(t_{0}\right)$, выбранными численно сколь угодно малыми и такими, что
\[
V\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)=V_{0}>0 .
\]
Так как в области $V>0$ производная $\frac{d V}{d t}$ положительна, то функция $V\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)$ будет возрастать и, следовательно, величины $x_{s}(t)$ будут оставаться в области $V>0$, по крайней мере, до тех пор, пока не нарушаются неравенства (48.1). Покажем, что в некоторый момент времени неравенства (48.1) действительно нарушаются.
Допустим противное, что неравенства (48.1) никогда не нарушаются. Следовательно, все время выполняется условие
\[
V\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)>V_{0},
\]
откуда по своиству функции $V$ вытекает, что
\[
\frac{d V\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)}{d t} \geqslant l \text {. }
\]
где $l$ – некоторое отличное от нуля положительное число. Из (48.2) находим:
\[
V\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right) \geqslant V_{0}+l\left(t-t_{0}\right),
\]
что невозможно, так как в области $V>0$ функция $V$ ограничена.
Таким образом, в некоторый момент времени решение $x_{s}(t)$ непременно покинет область (48.1), и так как величины $x_{s}^{0}$ могут быть взяты сколь угодно малыми, то невозмущенное движение неустойчиво.
