Периодические движения, изучению которых посвящена настоящая глава, являются наиболее простым классом неустановившихся движений. Основным методом исследования устоћчивости такого рода движений будет по-прежнему второй метод Ляпунова. Нам нужно будет поэтому изложить сначала основные теоремы второго метода Ляпунова в их общей формулировке, которую они имеют для неустановившихся движении.

Введем некоторые определения. Рассмотрим функцию $V\left(t, x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}\right)$, заданную в области
\[
t \geqslant t_{0}>0, \quad\left|x_{s}\right| \leqslant h,
\]

где $t_{0}$ и $h$ – постоянные. Мы будем предполагать, что функция $V$ обладает в указанной области непрерывными частными производными по всем переменным и что она обращается в нуль при $\dot{x}_{1}=\ldots=x_{n}=0$.

Следуя Ляпунову, будем говорить, что $V$ допускает бесконечно малый высший предел, если для любого положительного числа $\lambda$ можно найти другое положительное число $\mu$, такое, что при всех значениях $t, x_{1}, \ldots, x_{n}$, удовлетворяющих неравенствам
\[
t \geqslant t_{0}, \quad\left|x_{s}\right| \leqslant \mu,
\]

будет выполняться неравенство
\[
\left|V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right| \leqslant \lambda .
\]

Другими словами, функция $V$ допускает бесконечно малый высший предел, если она стремится к нулю при $\Sigma x_{s}^{2} \rightarrow 0$ равномерно относительно $t$. Так, например, функция
\[
V=\left(x_{1}+\ldots+x_{n}\right) \sin t
\]

допускает бесконечно малый высший предел, а функция
\[
V=\sin \left[t\left(x_{1}+\ldots+x_{n}\right)\right]
\]

такого предела не допускает, несмотря на то, что она ограничена.
Функция $V$ называется знакопостоянной, если при $t_{0}$ достаточно большом и $h$ достаточно малом она не может принимать в области (45.1) значений какого-либо определенного знака.

Таким образом, знакопостоянство для функций, зависящих от $t$, определяется так же, как и для функций, не зависящих от $t$. Несколько иначе обстоит дело с понятием знакооп ределеннос ти, а именно: функция $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ называется определенно-положительной, если она в области (45.1) при $t_{0}$ достаточно большом и $h$ достаточно малом удовлетворяет неравенству
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – не зависящая от $t$ определенно-положительная функция. Аналогично функция $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ называется оп peделенно-от рицательной, если она при тех же условиях удовлетворяет неравенству
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \leqslant-W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .
\]

Таким образом, необращение в нуль в области (45.1) не является достаточным условием знакоопределенности для функций, зависящих от $t$, так что, например, функция
\[
V=e^{-t}\left(x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right),
\]

несмотря на то, что она обращается в нуль только при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$, не является знакоопределенной, так как она при фиксированных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$ и, следовательно, для нее не может выполняться неравенство $(45,2)$. Напротив, функции
\[
V_{1}=(2+\sin t) \sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}, \quad V_{2}=(-2+\sin t) \sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}
\]

будут знакоопределенными, причем первая из них будет определенноположительной, а вторая определенно-отрицательной, так как
\[
V_{1} \geqslant \sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}, \quad V_{2} \leqslant-\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2} .
\]

Легко дать геометрическую интерпретацию знакоопределенных функций, зависящих от $t$. С этой целью рассмотрим пространство переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и построим систему поверхностей $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c$, рассматривая $t$ как параметр. Пусть $c_{1}$ – какоенибудь достаточно малое значение $c$. Тогда уравнение $V=c_{1}$ представит при каждом значении $t$ замкнутую поверхность, окружающую начало координат. Придавая $t$ все возможные для него значения, мы получим систему поверхностей, которую мы можем рассматривать как одну подвижную поверхность. Наряду с ней рассмотрим неподвижную поверхность $W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c_{1}$. Допустим, что $V$ – функция определенно-положительная. Легко видеть, что поверхность $V=c_{1}$ при своем движении все время остается внутри поверхности $W=c_{1}$. Действительно, во всех точках, где $W$ принимает значения $c_{1}$, функция $V$ на основании (45.2) принимает значения, большие или равные $c_{1}$, и следовательно, все эти точки лежат вне поверхности $V=c_{1}$ или на ней.

Если функшия $V$, будучи знакоопределеннои, допускает еще бесконечно малый высший предел, то поверхность $V=c_{1}$ при своем движении будет все время оставаться вне некоторой достаточно малой окрестности начала координат. Действительно, если бы указанная поверхность в какои-нибудь момент времени пересекала сколь угодно малую окрестность начала координат, ‘то это означало бы, что при указанном значении $t$ на этой поверхности имеются точки, для которых выполняется неравенство
\[
\left|x_{s}\right| \leqslant \mu,
\]

где $\mu$ – сколь угодно малая положительная постоянная. Но так как $V$ допускает бесконечно малый высший предел, то она при выполнении (45.3) и при любом значении $t \geqslant t_{0}$ будет сколь угодно малой, если только $\mu$ достаточно мало и, следовательно, будет меньше, чем $c_{1}$. Это и показывает, что все точки поверхности $V=c_{1}$ лежат вне области (45.3), если $\mu$ достаточно мало.