Мы переходим теперь к рассмотрению устоичивости периодических движений. Мы будем предполагать, что правые части дифференциальных уравнений возмущенного движения (46.1) являются по отношению к $t$ периодическими функциями некоторого заданного периода $\omega$.

Мы будем, кроме того, предполагать, что эти уравнения могут быть представлены в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}^{\prime}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $p_{s i}$ – непрерывные периодичесние функции $t$ периода $\omega$, а функции $X_{s}^{\prime}$ в том или ином смысле малы по сравнению с линейными членами.

Так же как и в случае установившихся движений, нам предстоит разрешить три следующих вопроса:
1) установить критерии устойчивости и неустойчивости для системы линейных уравнений первого приближения;
2) установить необходимые и достаточные условия, при которых задача устойчивости для полной системы (49.1) решается первым приближением;
3) указать методы решения звдачи устойчивости в критических случаях, когда рассмотрения одного лишь первого приближения недостаточно.

Мы начинаем с рассмотрения первого вопроса. Для этого нам придется изложить теорию линеиных уравнений с периодическими коэффициентами. Так как эта теория имеет большое значение в различных вопросах техники и физики, то мы остановимся на ней подробно.