Мы переходим теперь к рассмотрению системы ( $n+2$ )-го порядка при $n>0$. Дифференциальные уравнения возмущенного движения, как мы видели в § 35 , имеют вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d x}{d t} & =-\lambda y+X\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d y}{d t}=\lambda x+Y\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+p_{s} x+ \\
& +q_{s} y+X_{s}\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]

причем коэффициенты $p_{s f}$ таковы, что уравнение

имеет корни только с отрицательными вещественными частями.
В этом параграфе мы дадим решение задачи устоћчивости для системы (40.1) при некотором частном предположении. Как мы увидим в следующем параграфе, к этому частному случаю приводится задача и в общем случае.

Обозначим через $X^{0}(x, y), Y^{0}(x, y), X_{s}^{0}(x, y)$ функции переменных $x$ и $y$, в которые обращаются функции $X, Y$ и $X_{s}$, если в них отбросить все члены, зависящие от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, так что
\[
\begin{array}{l}
X^{0}(x, y)=X(x, y, 0, \ldots, 0), \\
Y^{0}(x, y)=Y(x, y, 0, \ldots 0), \\
X_{s}^{0}(x, y)=X_{s}(x, y, 0, \ldots, 0) .
\end{array}
\]

Рассмотрим систему второго порядка
\[
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X^{0}(x, y), \frac{d y}{d t}=\lambda x+Y^{0}(x, y) .
\]

Решая задачу устойчивости для этой системы, мы встретимся с одним из двух случаев: с общим случаем, когда задача решается конечным числом первых членов в разложениях функций $X^{0}$ и $Y^{0}$ (случай фокуса), и особенным случаем, когда требуется рассмотрение членов сколь угодно высоких порядков (случай центра). Предположим, что мы имеем дело с первым из этих случаев. Пусть $2 N-1-$ наивысший порядок членов разложений функций $X^{0}$ и $Y^{0}$, от которых зависит решение задачи устоичивости для системы (40.3). Как мы видели (§37, примечание), этот порядок всегда нечетный Тогда мы будем предполагать, что для уравнений (40.1) выполняются следующие два условия:
1) все постоянные $p_{s}$ и $q_{s}$ равны нулю;
2) разложения функции $X_{s}^{0}$ начинаются членами не ниже ( $2 N-1$ )-го порядка.

Покажем, что если эти условия выполняются, то задача устоичивости для системы ( $n+2$ )-го порядка (40.1) решается системой второго порядка (40.3), а именно: если для системы (40.3) получается неустойчивость, то и для системы (40.1) будет иметь место неустойчивость и, наоборот, устойчивость для системы (40.3) обусловливает устойчивость и для системы (40.1).

Таким образом, при выполнении указанных условий для решения задачи устойчивости мы попросту отбрасываем все уравнения, соответствующие некритическим корняи, а в уравнениях, соответствующих критическим корням, отбрасываем все члены, содержащие некритические переменные.

Для доказательства справедливости наших предложений поступим так же, как и в случае одного нулевого корня. Попытаемся построить для уравнений (40.1) функцию Ляпунова в виде суммы функции Ляпунова, построенных отдельно для системы (40.3) и для системы последних $n$ уравнений (40.1).

Задача заключается в построении функции $V\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, обладающей знакоопределенной производной.

Как было показано в § 37 , функция Ляпунова для системы (40.3) имеет вид
\[
U=x^{2}+y^{2}+f_{3}(x, y)+f_{4}(x, y)+\ldots+f_{2 N-1}(x, y) .
\]

где $f_{i}$ – формы $i$-го порядка переменных $x$ и $y$. Для производной этой функции, составленной в силу уравнений (40.3), будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial U}{\partial x}\left(-\lambda y+X^{0}\right)+\frac{\partial U}{\partial y}\left(\lambda x+Y^{0}\right) & = \\
& =G\left(x^{2}+y^{2}\right)^{N}+\sum_{\alpha+\beta=2 N} \varphi_{\alpha \beta}(x, y) x^{\alpha} y^{\beta},
\end{aligned}
\]

где $\varphi_{\alpha \beta}(x, y)$ обращаются в нуль при $x=y=0$. Задача устоичивости для системы (40.3) решается при этом знаком $G$. Невозмущенное движение будет неустойчиво при $G>0$ и асимптотически устойчиво при $G<0$. Нам нужно показать, что то же самое будет и для системы (40.1).

Пусть $W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$-квадратичная форма переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$, удовлетворяющая уравнению
\[
\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial W}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right)=\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2} .
\]

Так как все корни уравнения (40.2) имеют отрицательные вещественные части, то форма $W$ будет определенно-отрицательная.
Рассмотрим функцию
\[
\begin{aligned}
V=G\left[x^{2}+y^{2}+f_{3}(x, y)+\right. & \left.\ldots+f_{2 N-1}(x, y)\right]+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)= \\
& =\varphi(x, y)+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):(40.5)
\end{aligned}
\]

и составим ее производную по $t$ в силу уравнений (40.1). Для этон производной имеем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d V}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\left[-\lambda y+X^{0}(x, y)+X^{\prime}\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right]+ \\
\quad+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\left[\lambda x+Y^{0}(x, y)+Y^{\prime}\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right]+ \\
+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial W}{\partial x_{s}}\left[p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}^{0}(x, y)+X_{s}^{\prime}\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right],
\end{array}
\]

где функции $X^{\prime}, Y^{\prime}, X_{s}^{\prime}$ обращаются в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ и обозначают совокупности тех членов в разложениях $X, Y$ и $X$, которые зависят от $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Если бы функции $X^{\prime}, Y^{\prime}$, а также функции $X_{s}^{0}$ обращались тождественно в нуль, то производная имела бы вид
\[
G^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{N}+G \sum_{a+\beta=2 N} \varphi_{\alpha \beta} x^{\alpha} y^{\beta}+\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}+\sum_{i, j=1}^{n} f_{i j} x_{i} x_{j},
\]

где $f_{i j}$ – аналитические функции переменных $x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}$, обращающиеся в нуль при $x=y=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$. Эта производная была бы, очевидно, определетно-положительной функцией $n+2$ переменных $x, y, x_{s}$. Но так как вышеуказанные соотношения, вообще говоря, не выполняются, то производная $\frac{d V}{d t}$ не получится определенно-положительной. Эта производная будет иметь вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d V}{d t}=G^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{N} & +\sum_{\alpha+\beta=2 N} \varphi_{\alpha \beta} x^{\alpha} y^{\beta}+ \\
& +\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}+\sum_{i, j=1}^{n} f_{i j} x_{i} x_{j}+P\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\end{aligned}
\]

где теперь уже $\varphi_{\alpha \beta}$ содержат и пєременные $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и обращаются в нуль при $x=y=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$, а $P$ – совокупность всех членов, которые не могут быть отнесены ни к группе
\[
G^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{N}+\sum_{\alpha+\beta=2 N} \varphi_{\alpha \beta} x^{\alpha} y^{\beta},
\]

ни к группе
\[
\sum_{i, j=1}^{n} f_{i j} x_{i} x_{j}
\]

Исследуем подробнее функцию $P$. Эта функция не будет содержать члены ниже третьего порядка, так как единственными членами второго порядка в выражении $\frac{d V}{d t}$ будут члены (40.4). Функция $P$ не содержит в своем разложении членов, свободных от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, так как все такие члены в $\frac{d V}{d t}$ содержатся в выражении
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}\left(-\lambda y+X^{0}\right)+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\left(\lambda x+Y^{0}\right)
\]

и, следовательно, могут быть включены в группу (40.7).
Из членов, линейных относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, в функции $P$ будут содержаться лишь такие, порядок которых относительно $x$ и $y$ меньше $2 N$. Остальные члены этого типа могут быть включены в группу (40.7). Члены, имеющие относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$ второй и более высокие порядки, могут быть все включены в (40.7) и поэтому в $P$ не содержатся.

Таким образом, функция $P$ имеет вид
\[
\begin{array}{r}
P=P_{2}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, x, y\right)+P_{3}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, x, y\right)+\ldots \\
\ldots+P_{2 N-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, x, y\right),
\end{array}
\]

где $P_{k}$ – формы $k$-го порядка относительно $x$ и $y$, коэффициентами которых являются линейные формы переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Наличие в $\frac{d V}{d t}$ слагаемого $P$ нарушает ее знакоопределенность. Нам нужно будет поэтому функцию $V$ изменить таким образом, чтобы в выражении ее производной не содержалось членов, входящих в $P$, т. е. линейных относительно $x_{j}$ и имеющих порядок относительно $x$ и $y$, меньший $2 N$. С этой целью введем в функцию $V$ добавочное слагаемое вида
\[
\begin{array}{l}
Q_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, x, y\right)= \\
\quad=v_{1} x^{k}+v_{2} x^{k-1} y+\ldots+v_{k} x y^{k-1}+v_{k+1} y^{k},
\end{array}
\]

где $2 \leqslant k \leqslant 2 N-1$, а $v_{j}$ – линейные формы переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Исследуем те новые члены, которье внесет это слагаемое в выражение $\frac{d V}{d t}$. Члены, свободные от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, могут получиться лишь за счет производных от первых множителей, т. е, за счет функций $X_{s}^{0}$, и так как разложения этих функций начинаются членами не ниже $(2 N-1)$-го порядка, то указаннье члены будут иметь порядок не ниже $2 N+k-1 \geqslant 2 N+1$ и могут быть включены в группу (40.7). Новые члены, линейные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, будут иметь относительно $x, y$ порядок, не меньший $k$, так как общий порядок членов, вносимых слагаемым (40.9) в производную, будет, очевидно, не меньше $k+1$.
Таким образом, производная от функции
\[
V=\varphi(x, y)+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+Q_{k}
\]

будет иметь вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d V}{d t}=G^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{N} & +\sum_{\alpha+\beta=2 N} \varphi_{\alpha \beta}^{*} x^{c} y^{\beta}+\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}+\sum_{i, j=1}^{n} f_{i j}^{*} x_{i} x_{j}+ \\
& +P_{2}+\cdots+P_{k-1}+P_{k}^{*}+F_{k+1}^{*}+\ldots+P_{2 N-1}^{*},
\end{aligned}
\]

где $\varphi_{\alpha \beta}^{*}, f_{i j}^{*}$ – функции такого же вида, как и $\varphi_{\alpha \beta}, f_{i j}$, а $P_{k}^{*}$, $P_{k+1}^{*}, \ldots, P_{2 N-1}^{*}$ – формы относттельно $x, y$, порядок которых равен их индексу и коэффициенты которых являются линейными функциями от $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Функции $P_{k}^{*}, \ldots, P_{2 N-1}^{*}$ отличаются, вообще говоря, от функций $P_{k}, \ldots, P_{2 N-1}$. Выпишем подробней функцию $P_{k}^{*}$. Пусть
\[
P_{k}=u_{1} x^{k}+u_{2} x^{k-1} y+\ldots+u_{k} x y^{k-1}+u_{k+1} y^{k},
\]

где $u_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – линейные формы от $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Тогда, как легко видеть, будем иметь:
\[
P_{k}^{*}=f_{1} x^{k}+f_{2} x^{k-1} y+\ldots+f_{k} x y^{k-1}+f_{k+1} y^{k} .
\]

где
\[
\begin{array}{c}
f_{j}=\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{s}}+\lambda j v_{j+1}-(k-j+2) \lambda v_{j-1}+u_{j} \\
\left(j=1,2, \ldots, k+1, \quad v_{0}=v_{k+2}=0\right) .
\end{array}
\]

Выберем теперь функцию (40.9) таким образом, чтобы функция $P_{k}^{*}$ обратилась в нуль. Для этого придется линейные формы $v_{1}, \ldots, v_{k+1}$ выбрать так, чтобы выполнялись уравнения
\[
f_{1}=f_{2}=\ldots=f_{k+1}=0 .
\]

Эти уравнения имеют как раз тот вид, который мы рассмотрели с качестве примера в предыдущем параграфе. Мы видели, что в рассматриваемом нами случае, когда уравнение (40.2) имеет корни только в отрицательными вещественными частями, уравнения (40.10) имеют одно и только одно решение для $v_{j}$.

Выбрав таким образом функцию (40.9), мы уничтожим в выражении $\frac{d V}{d t}$ то слагаемое функции $P$, которое является формой $k$-го порядка относительно $x$ и $y$, не изменяя при этом тех слагаемых, которые имеют меньший порядок. Отсюда следует, что, добавляя к $V$ последовательно слагаемые вида $Q_{k}(k=2,3, \ldots, 2 N-1)$, мы можем последовательно уничтожить в функции $P$ все члены. Другими словами, мы можем так подобрать функции $Q_{2}, \ldots, Q_{2 N-1}$, каждая из которых является формой соответствующего порядка относительно $x$ и $y$ и линенной относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, что производная от функции
\[
\begin{array}{l}
V=G\left(x^{2}+y^{2}+f_{3}+\ldots+f_{2 N-1}\right)+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+ \\
+Q_{2}\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\ldots+Q_{2 N}\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\end{array}
\]

составленная в силу уравнений (40.1), будет иметь вид
\[
\frac{d V}{d t}=G^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{N}+\sum_{\alpha+\beta=2 N} \Phi_{\alpha \beta} x^{\alpha} y^{\beta}+\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}+\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} F_{\alpha \beta} x_{\alpha} x_{\beta},
\]

где $\Phi_{\alpha \beta}$ и $F_{\alpha \beta}$ обращаются в нуль при $x=y=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$.
Производная $\frac{d V}{d t}$ будет функциеи определенно-положительной. Сама функция $V$ имеет вид
\[
V=G\left(x^{2}+y^{2}\right)+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+F\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $F$ – аналитическая функция переменных $x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}$, разложение которой начинается членами не ниже третьего порядка.

Так как форма $W$ определенно-отрицательна, то $V$ будет определенно-отрицательной функцией всех $n+2$ переменных $x, y, x_{s}$, если $G<0$, и знакопеременной функцией, если $G>0$. Отсюда на основании теорем Б и В заключаем, что, так же как и для системы второго порядка (40.3), невозмущенное движение для полной системы (40.1) будет асимптотически устойчиво при $G<0$ и неустойчиво при $G>0$. Таким образом, наши утвєрждения доказаны.