В 1949 году М. А. Аизерманом ${ }^{1}$ ) была поставлена следующая задача об устойчивости систем автоматического регулирования с одним нелинейным органом.

Допустим, что поведение системы автоматического регулирования описывается дифференциальными уравнениями вида
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=a_{11} x_{1}+\ldots+a_{1 n} x_{n}+f\left(x_{k}\right), \\
\frac{d x_{s}}{d t}=a_{s 1} x_{1}+\ldots+a_{s n} x_{n} \quad(s=2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $a_{s j}$ – постоянные. Наряду с системой (98.1) рассмотрим линейную систему
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=a_{11} x_{1}+\ldots+a_{1 n} x_{n}+h x_{k}, \\
\frac{d x_{s}}{d t}=a_{s 1} x_{1}+\ldots+a_{s n} x_{n} \quad(s=2, \ldots, n)
\end{array}
\]

и допустим, что все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части при всех значениях $h$, лежащих в интервале
\[
\alpha<h<\beta \text {. }
\]

Требуется узнать, будет ли при любом выборе однозначной и непрерывной функции $f\left(x_{k}\right)$, обращающейся в нуль при $x_{k}=0$ и удовлетворяющей при всех значениях $x_{k}
eq 0$ неравенствам
\[
\alpha x_{k}^{2}<x_{k} f\left(x_{k}\right)<\beta x_{k}^{2},
\]
1) Айзерман М. А., Об одной проблеме, касающейся устойчивости «в большом» динамических систем, Успехи матем. наук, т. IV, вып. 4, 1949.

состояние равновесия $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ системы (98.1) асимптотически устойчивым при любых начальных возмущениях.

Указанная задача для систем второго порядка была досконально изучена в 1950 году Н. П. Еругиным ${ }^{1}$ ), который в рассмотренных им случаях дал положительный ответ на вопрос М. А. Айзермана. Eго работы опирались на качественные методы исследования траекторий на плоскости переменных $\left\{x_{1}, x_{2}\right\}$. Эти исследования привлекли внимание многих математиков к данной проблеме и к другим задачам устойчивости в целом.

В 1952 году, уже после выхода первого издания настоящей монографии, И. Г. Малкиным была выполнена работа ${ }^{2}$ ), в которой также изучалась проблема M. А. Аизермана для систем второго порядка. Это исследование опиралось на второй метод Ляпунова. При этом автор нашел весьма простое доказательство, построив функцию Ляпунова в виде суммы квадратичной формы и интеграла с переменным верхним пределом. Такой метод впервые был предложен в работе А. И. Лурье и В. Н. Постникова ${ }^{3}$ ). Статья И. Г. Малкина, где \”этот метод был развит для данной задачи, послужила толчком для ряда работ, посвященных исследованию нелинеиных проблем устойивости в целом на базе функций Ляпунова.

Содержанием настоящего Дополнения I является упомянутая работа И. Г. Малкина с небольшими изменениями.