В 1949 году М. А. Аизерманом ${}^1$ ) была поставлена следующая задача об устойчивости систем автоматического регулирования с одним нелинейным органом.

Допустим, что поведение системы автоматического регулирования описывается дифференциальными уравнениями вида
$$\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=a_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n+f\left(x_k\right),\\ \frac{d{x}_s}{dt}=a_{s1}{x}_1+\dots +a_{sn}{x}_n(s=2,\dots ,n),\end{array}$$

где $a_{sj}$ — постоянные. Наряду с системой (98.1) рассмотрим линейную систему
$$\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=a_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n+h{x}_k,\\ \frac{d{x}_s}{dt}=a_{s1}{x}_1+\dots +a_{sn}{x}_n(s=2,\dots ,n)\end{array}$$

и допустим, что все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части при всех значениях $h$, лежащих в интервале
$$\alpha <h<\beta \text{. }$$

Требуется узнать, будет ли при любом выборе однозначной и непрерывной функции $f\left(x_k\right)$, обращающейся в нуль при $x_k=0$ и удовлетворяющей при всех значениях $x_{k}eq0$ неравенствам
$$\alpha x_k^2<x_{k}f\left(x_k\right)<\beta x_k^2,$$
1) Айзерман М. А., Об одной проблеме, касающейся устойчивости «в большом» динамических систем, Успехи матем. наук, т. IV, вып. 4, 1949.

состояние равновесия $x_1=\dots =x_n=0$ системы (98.1) асимптотически устойчивым при любых начальных возмущениях.

Указанная задача для систем второго порядка была досконально изучена в 1950 году Н. П. Еругиным ${}^1$ ), который в рассмотренных им случаях дал положительный ответ на вопрос М. А. Айзермана. Eго работы опирались на качественные методы исследования траекторий на плоскости переменных $\{x_1,x_2\}$. Эти исследования привлекли внимание многих математиков к данной проблеме и к другим задачам устойчивости в целом.

В 1952 году, уже после выхода первого издания настоящей монографии, И. Г. Малкиным была выполнена работа ${}^2$ ), в которой также изучалась проблема M. А. Аизермана для систем второго порядка. Это исследование опиралось на второй метод Ляпунова. При этом автор нашел весьма простое доказательство, построив функцию Ляпунова в виде суммы квадратичной формы и интеграла с переменным верхним пределом. Такой метод впервые был предложен в работе А. И. Лурье и В. Н. Постникова ${}^3$ ). Статья И. Г. Малкина, где \»этот метод был развит для данной задачи, послужила толчком для ряда работ, посвященных исследованию нелинеиных проблем устойивости в целом на базе функций Ляпунова.

Содержанием настоящего Дополнения I является упомянутая работа И. Г. Малкина с небольшими изменениями.