Допустим теперь, что $n
eq 0$. Мы будем, однако, сначала предполагать, что правые части уравнений (28.6) связаны некоторым ограничительным условием. Это условие заключается в следующем.

Обозначим через $X^{(0)}(x)$ и $X_{\xi}^{(9)}(x)$ соответственно совокупности всех членов в функциях $X$ и $X_{s}$, не содержащих $x_{1}, \ldots, x_{n}$, так что
\[
\left.\begin{array}{c}
X^{(0)}(x)=X(x, 0, \ldots, 0)=g x^{m}+g^{(m+1)} x^{m+1}+\ldots, \\
X_{s}^{(0)}(x)=X_{s}(x, 0, \ldots, 0)=g_{s} x^{m}+g_{s}^{\left(m s^{+1}\right)} x^{m} s^{+1}+\ldots \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]

где $\left.g, g^{(m+1)}, g_{s}, g_{s}^{(m} s^{+1}\right)$ – постоянные. Мы будем предполагать, что
1) $X^{(0)}(x)$ не обращается тождественно в нуль,
2) $m_{s} \geqslant m$
3) все величины $p_{s}$ в уравнениях (28.6) равны нулю.

При этих предположениях задача устоичивости решается сразу, а именно: невозмущенное движение всегда неустойчиво, если $m$ число четное. Если т-число нечетное, то при $g>0$ невозмущенное движение неустойчиво, а пра $g<0$ оно устойчиво и притом асимптотически. Другими словами, ответ получается такой же, как если бы решалась задача устойчивости для одного уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=X^{(0)}(x)=g x^{m}+\ldots
\]

Таким образом, для решения задачи устойчивости при выполнении вышеуказанных ограничений можно отбросить все некритические уравнения, а в критическом уравнении отбросить все члены, содержащие некритические переменные, и исследовать полученное таким образом одно уравнение с одной неизвестной функцией

Для доказательства высказанных предложений мы постараемся для уравнений возмущенного движения, которые в рассматриваемом случае имеют вид
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t}=X^{(0)}(x)+X^{\prime}\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=g x^{m}+\ldots+X^{\prime}, \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]

где функция $X^{\prime}\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ обращается в нуль при $x_{1}=\ldots$ $\ldots=x_{n}=0$, построить функции Ляпунова, удовлетворяющие условиям теоремы Б или В. Задача, следовательно, заключается в построении функции $V\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, производная которой, составленная в силу уравнений (30.2), была бы знакоопределенной.

Допустим сначала, что $m$ – число нечетное. Пусть $W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ квадратичная форма переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$, выбранная согласно условию
\[
\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial W}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right)=x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} .
\]

Так как все корни уравнения (28.5) имеют отрицательные вещественные части, то на основании теоремы 1 § 21 форма $W$ существует и будет определенно-отрицательной.

Если бы функции $X_{s}$ не зависели от $x$, то производная по времени от формы $W$, составленная в силу последних $n$ уравнений системы (30.2), т. е. выражение
\[
\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial W}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}\right),
\]

являлась бы при достаточно мальх $x_{1}, \ldots, x_{n}$ определенно-положительной функцией относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

С другой стороны, если бы функция $X$ не зависела от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, т. е. если бы $X^{\prime}=0$, то производная по времени от функции $\frac{1}{2} g x^{2}$, составленная в силу первого уравнения (30.2), равная
\[
g x X=g^{2} x^{m+1}+g g_{m+1} x^{m+2}+\ldots+g x X^{\prime},
\]

была бы при $x$ достаточно малом определенно-положительной относительно $x$. Поэтому при указанных условиях производная по времени от функции
\[
V_{1}=\frac{1}{2} g x^{2}+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

составленная в силу полной системы уравнений (30.2), была бы определенно-положительной функцией всех $n+1$ переменных $x, x_{1}, \ldots, x_{n}$ в некоторой достаточно малой окрестности начала координат. Эту производную можно было бы представить в виде
\[
\left(g^{2}+f\right) x^{m+1}+x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}+\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} f_{\alpha \beta} x_{\alpha} x_{\beta},
\]

где $f$ – некоторая функция от $x$, обращающаяся в нуль при $x=0$, а $f_{\alpha \beta}$ – некоторые функции от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, обращающиеся в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$.

Но так как функция $X$ содержит $x_{1}, \ldots, x_{n}$, а функции $X_{s}$ содержат $x$, то производная от $V_{1}$ в силу (30.2) не будет определенноположительной. В ней появятся члены, нарушающие знакоопределенность.

Чтобы выяснить общии вид этих членов, заметим прежде всего, что выражение (30.7) останется, очевидно, знакоопределенным, если функция $f$ содержит не только переменную $x$, но и переменные $x_{1}, \ldots, x_{n}$, а функции $f_{\alpha \beta}$ содержат не только переменные $x_{1}, \ldots, x_{n}$, но и переменную $x$. Важно только, чтобы функции $f$ и $f_{\alpha \beta}$ обращались в нуль при $x=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$.

Учитывая это обстоятельство, запишем производную от $V_{1}$ в силу уравнений (30.2) в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d V_{1}}{d t}= g x X+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial W}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}\right)= \\
=\left(g^{2}+f\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) x^{m+1}+\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}+ \\
+\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} f_{\alpha \beta}\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) x_{\alpha} x_{\beta}+P\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\end{array}
\]

где функции $f$ и $f_{\alpha \beta}$ обращаются в нуль при $x=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$, а $P$ – совокупность всех членов, которые не могут быть включены ни в выражение
\[
f\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) x^{m+1} \text {, }
\]

ни в выражение
\[
\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} f_{\alpha \beta}\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) x_{\alpha} x_{\beta} .
\]

Рассмотрим подробнее функцию $P$. Все члены, входящие в выражение $P$, можно, очевидно, разбить на следующие четыре группы: на члены, свободные от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, на члены, линейные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, на члены, квадратичные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, и на члены, имеющие относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$ порядок выше второго. Очевидно, что все члены последней группы можно включить в выражение (30.10). Нам остается поэтому рассмотреть только первые три группы членов.

Все члены, свободные от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, содержатся, очевидно, только в выражении (30.5). Совокупность всех этих членов есть
\[
g x X^{(0)}(x)=g^{2} x^{m+1}+g g_{m+1} x^{m+2}+\ldots
\]

Первый из них выписан в (30.8) явно, а остальные могут быть включены в выражение (30.9). Следовательно, функция $P$ не содержит членов, свободных от $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Члены, линейные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, входят в выражение производной (30.8) как через совокупность (30.4), так и через совокупность (30.5). Если эти члены имеют относительно $x$ порядок, не меньший $m+1$, то они могут быть, очевидно, включены в выражение (30.9). Таким образом, в функции $P$ содержатся лишь те линейные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$ члены, которые имеют относительно $x$ порядок $k$, где $k=2, \ldots, m$.

Рассмотрим, наконец, члены, квадратичные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Если эти члены имеют общий порядок выше второго, то они могут быть включены в выражение (30.10) и, следовательно, в функцию $P$ не входят. Члены же, квадратичные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и имеющие только второй порядок, т. е. обладающие постоянными коэффициентами, содержатся, очевидно, все в выражении
\[
\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial W}{\partial x_{s}} \equiv \sum x_{s}^{2}
\]

и, следовательно, в функцию $P$ также не входят.
Таким образом, функция $P$ имеет вид
\[
P=x^{2} P_{2}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\ldots+x^{m \cdot P_{m}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $P_{l}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – некоторые линейные формы от $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Наличие в выражении производной слагаемого (30.11) нарушает еe знакоопределенность. Чтобы избавиться от этого слагаемого, поступим следующим образом.

Добавим к функции $V_{1}$ член $x^{k} Q_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, где $Q_{k}$ – подлежащая еще определению линейная форма переменных $x_{j}$. Другими словами, рассмотрим вместо $V_{1}$ функцию
\[
\bar{V}_{1}=\frac{1}{2} g x^{2}+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+x^{k} Q_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .
\]

Член $x^{k} Q_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ внесет в выражение производной два слагаемых: слагаемое
\[
k x^{k-1} Q_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) X\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]

и слагаемое
\[
x^{k} \sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}\right) \frac{\partial Q_{k}}{\partial x_{s}} .
\]

Рассмотрим подробней все члены, входящие в эти слагаемые. Нас будут при этом интересовать лишь те из этих членов, которые влияют на знак производнон, т. е. члены, не содержащие $x_{1}, \ldots, x_{n}$, члены, линейные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, и члены, квадратичные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Члены, свободные от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, содержатся, очевидно, только в слагаемом (30.14). Совокупность этих членбв мы получим, полагая в этом слагаемом $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$. Следовательно, эта совокупность есть
\[
x^{k} \sum_{s=1}^{n} X_{s}^{(0)}(x) \frac{\partial Q_{k}}{\partial x_{s}} .
\]

Так как по условию $m_{s} \geqslant m$, то все члены, входящие в (30.15), имеют порядок не ниже $(m+k)$-го и, следовательно, могут быть включены в выражение (30.9). Таким образом, все новые члены, свободные от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, не влияют на знакоопределенность производной.

Рассмотрим теперь члены, линейные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Покажем, что все эти члены (входящие в слагаемые (30.13) и (30.14)) имеют относительно $x$ порядок, не меньший $k$, и притом совокупность всех членов $k$-го порядка относительно $x$ имеет вид
\[
x^{k} \sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial Q_{k}}{\partial x_{s}} .
\]

Дейстительно, интересующие нас члены содержатся как в слагаемом (30.13), так и в слагаемом (30.14). Чтобы получить эти члены в слагаемом (30.13), необходимо в функции $X$ взять члены, не содержащие $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Эти члены имеют порядок не ниже $m$, причем $m \geqslant 2$. Следовательно, все члены, линейные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, содержащиеся в слагаемом (30.13), имеют порядок относительно $x$, не меньший $k+1$.

Обращаясь теперь к слагаемому (30.14), мы видим, что кроме (30.16) мы получим еще члены интересующего нас вида, если мы в функциях $X_{s}$ выделим все члены, линейные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Но каждыћ из этих членов содержит, по крайней мере, первую степень $x$, так как все члены в $X_{s}$ имеют порядок не ниже второго. Поэтому все члены, линейные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, содержащиеся в (30.14) и происходящие от функций $X_{s}$, имеют порядок относительно $x$, не меньший $k+1$.

Итак, все члены, линейные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, которыми производная $\frac{d \bar{V}_{1}}{d t}$ отличается от производной $\frac{d V_{1}}{d t}$, имеют относительно $x$ порядок не ниже $k$, причеи совокупность всех членов, имеющих относительно $x$ порядок $k$, дается выражением (30.16).

Что касается членов, квадратичных относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, то нас могут интересовать лишь те из них, которые имеют общий порядок, равный двум, так как остальные могут быть включены в выражение (30.10). Но такого рода членов слагаемое $x^{k} Q_{k}$ в выражение производной не вносит, Дейстительно, слагаемое (30.13) содержит члены не ниже третьего порядка, а слагаемое (30.14) имеет множитель $x^{k}$, и следовательно, члены, квадратичные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, будут иметь общий порядок, превышающий два.

Резюмируя вышесказанное, мы приходим к заключению, что производная функция (30.12) может быть представлена в следующем виде:
\[
\begin{aligned}
\frac{d \bar{V}}{d t}= & \left(g^{2}+\bar{f}\right) x^{m+1}+\sum_{s=1}^{n} x_{-s}^{2}+\sum_{a, \beta=1}^{n} \bar{f}_{\alpha \beta} x_{\alpha} x_{\beta}+x^{2} P_{2}+\ldots \\
& \ldots+x^{k-1} P_{k-1}+x^{k} S+x^{k+1} \bar{P}_{k+1}+\ldots+x^{m} \bar{P}_{m}
\end{aligned}
\]

где $\bar{f}, \bar{f}_{\alpha \beta}$– функция такого же типа, как и $f, f_{\alpha \beta}, \bar{P}_{k+1}, \ldots, \bar{P}_{m}$ линейные формы от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, вообще говоря, отличные от $P_{k+1}, \ldots$, $P_{m}$, a
\[
S=P_{k}+\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial Q_{k}}{\partial x_{s}} .
\]

Выберем теперь линейную форму $Q_{k}$ таким образом, чтобы выражение (30.18) обратилось тождественно в нуль. Это всегда возможно сделать на основании теоремы 2 § 20 , так как все корни уравнения (28.5) имеют отрицательные вещественные части.

При такөм выборе $Q_{k}$ в выражении (30.17) уничтожится один из членов, нарушающих его знакоопределенность. При этом другие члены этого типа, имеющие относительно $x$ меньший порядок, будут такими же, как и в выражении производной $\frac{d V_{1}}{d t}$. Мы можем поэтому последовательно, добавляя к функции $V_{1}$ члены $x Q_{1}, x^{2} Q_{2}, \ldots, x^{m} Q_{m}$ и подбирая соответствующим образом линейные формы $Q_{i}$, уничтожить в выражении производной все члены, нарушающие ее знакоопределенность. Другими словами, мы можем линеиные формы $Q_{i}$ выбрать таким образом, чтобы производная от функции
\[
V=\frac{1}{2} g x^{2}+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+x^{2} Q_{2}+\ldots+x^{m} Q_{m}
\]

в силу системы (30.2) имела вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d V}{d t}=\left(g^{2}+F\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) x^{m+1}+ \\
+\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}+\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} F_{\alpha \beta}\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) x_{\alpha} x_{\beta},
\end{array}
\]

где $F, F_{\alpha \beta}$ – некоторые функции от $x, x_{1}, \ldots, x_{n}$, обращающиеся в нуль при $x=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$.
– Функция $\frac{d V}{d t}$ получилась определенно-положительной. Рассмотрим функцию $V$. Как было указано выше, квадратичная форма $W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ определенно-отрицательна. Поэтому если $g<0$, то и квадратичная форма
\[
\frac{1}{2} g x^{2}+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]
$n+1$ переменных $x, x_{j}$ будет также определенно-отрицательной Но тогда определенно-отрицательной будет и функция (30.19), и она, следовательно, будет удовлетворять всем условиям теоремы Б, откуда вытекает асимптотическая устойчивость невозмущенного движения.

Напротив, если $g>0$, то квадратичная форма (30.20), а следовательно, и функция $V$ будет знакопеременнон. функция $V$ будет, следовательно, удовлетворять всем условиям теоремы В, и невозмущенное движение будет неустойчиво.

Допустим теперь, что $m$ есть число четное и покажем, что невозмущенное движение независимо от знака $g$ неустойчиво.

В рассматриваемом случае функцию Ляпунова пытаемся искать в виде
\[
V_{1}=\alpha^{2} g x+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где по-прежнему $W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ обозначает квадратичную форму, удовлетворяющую уравнению (30.3), а $\alpha^{2}$ – некоторое положительное число, выбором которого мы распорядимся позже. Функция (30.21), как и в случае нечетного $m$, представляет собой сумму функций Ляпунова, построенных по отдельности для одного первого уравнения системы (30.2), если в нем отбросить все члены, содержащие $x_{j}$, и для последних $n$ уравнений этой системы, если в них отбросить все члены, содержащие $x$.

Производная от (30.21) по времени, составленная в силу полной системы (30.2), может быть представлена в виде
\[
\begin{array}{r}
\frac{d V_{1}}{d t}=\alpha^{2} g \frac{d x}{d t}+\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}\right) \frac{\partial W}{\partial x_{s}}= \\
=\left(\alpha^{2} g^{2}+f\right) x^{m}+\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}+\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} f_{\alpha \beta} x_{\alpha} x_{\beta}+P,
\end{array}
\]

где $f, f_{\alpha \beta}$ обращаются в нуль при $x=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$, а $P$-совокупность членов, которые не могут быть включены ни в выражение
\[
\left(\alpha^{2} g^{2}+f\right) x^{m}
\]

ни в выражение (30.10).
Анализируя все члены, входящие в (30.22), мы видим, что те из них; которые не содержат $x_{1}, \ldots, x_{n}$, могут быть все включены в выражение (30.23). То же самое относится и к членам, линейным относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, если они содержат $x$ в степени, не меньшей $m$. Члены же вида
\[
x P_{1}, x^{2} P_{2}, \ldots, x^{m-1} P_{m-1},
\]

где $P_{i}$ – линейные формы величин $x_{1}, \ldots, x_{n}$, должны быть отнесены к функции $P$.

Из членов более высоких порядков относительно $x_{j}$ нас могут интересовать квадратичные, имеющие общий порядок, равный двум, т. е. обладающие постоянными коэффициентами. Все остальные члены, квадратичные относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, могут быть включены в выражение (30.10).

В отличие от случая нечетного $m$ выражение $\frac{d V_{1}}{d t}$ содержит квадратичные относительно $x_{j}$ члены с постоянными коэффициентами, отличные от $\sum x_{s}^{2}$. Эти члены содержатся в $\alpha^{2} g \frac{d x}{d t}$, и их совокупность имеет вид
\[
\alpha^{2} g X^{(2)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $X^{(2)}$ – квадратичная форма переменных $x_{j}$, представляющая собой совокупность членов второго порядка в разложении функции $X\left(0, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$.

Таким образом, функция $P$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
P=\alpha^{2} g X^{(2)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+x P_{1}\left(x_{1},\right. & \left.\ldots, x_{n}\right)+\ldots \\
& \ldots+x^{m-1} P_{m-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .
\end{aligned}
\]

Член (30.24), входящий в $P$, не нарушит знакоопределенности производной, если число $\alpha^{2}$ выбрать настолько малым, чтобы форма
\[
\alpha^{2} g X^{(2)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\Sigma x_{s}^{2}
\]

была определенно-положительной. Что же касается остальных членов, входящих в $P$, то их можно уничтожить таким же точно приемом, какой мы применили в случае нечетного $m$. Для этого нужно вместо функции (30.21) рассмотреть функцию
\[
V=\alpha^{2} g x+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+x Q_{1}+\ldots+x^{m-1} Q_{m-1},
\]

где $Q_{1}, \ldots, Q_{m-1}$ – некоторые линейные формы переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Эти формы можно подобрать таким образом, чтобы производная от $V$ приняла вид
\[
\frac{d V}{d t}=\left(\alpha^{2} g^{2}+F\right) x^{m}+\alpha^{2} g X^{(2)}+\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}+\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} F_{\alpha \beta} x_{\alpha} x_{\beta},
\]

где $F$ и $F_{\alpha \beta}$ – функции такого же вида, как и $f$ и $f_{\alpha \beta}$.
Если $\alpha^{2}$ достаточно мало, то производная (30.25) есть функция определенно-положительная. Сама же функция $V$, разложение которой начинается линеиными членами, будет, очевидно, знакопеременной. Функция $V$ удовлетворяет, таким образом, всем условиям теоремы В. Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.

Таким образом, все утверждения о решении задачи устойчивости в рассматриваемом случае полностью доказаны.