Рассмотрим для простоты знакоопределенную функцию трех переменных $V\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$. Все наши рассуждения останутся, однако, справедливыми и при $n>3$. Допустим также для определенности, что $V$ — функция положительная. Рассмотрим поверхность
\[
V\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=c \text {, }
\]

где $c$-положительное число. При $c=0$ в силу знакоопределенности $V$ будем иметь $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$, и, следовательно, поверхность $V=0$ вырождается в точку, в начало координат. Покажем, что при $c$ достаточно малом поверхность (8.1) будет замкнутой и будет содержать внутри себя начало координат.

С этой целью покажем, что всякая непрерывная кривая, идущая из начала координат к какой-нибудь точке границы области (6.3), непременно пересекает поверхность (8.1), если только число $c$ не превосходит некотоРис. 2. рого, зависящего только от $h$, достаточно малого положительного числа $l$. В самом деле, пусть $l$ — точный нижний предел функции $V$ на границе области (6.3), так что на этой границе будем иметь $V \geqslant l$. Число $l$ будет, очевидно, отличным от нуля и положительным. Если мы теперь рассмотрим произвольную непрерывную кривую, выходящую из начала координат к границе области (6.3), и проследим за изменением функции $V$ вдоль этой кривой, то мы получим, что в начале кривой $V$ обращается в нуль, а в конце кривой — в некоторую величину, не меньшую чем $l$. Следовательно, в некоторой точке этой кривой $V$ необходимо принимает значение $c$, если только $c<l$, что мы и будем предполагать. Другими словами, указанная кривая необходимо пересекает поверхность (8.1). Таким образом, при достаточно малых значениях $c$ все поверхности (8.1) будут замкнутыми и окружают начало координат ${ }^{1}$ ).
1) Поверхности $V=c$ могут быть довольно сложной формы. Они не обязательно гомеоморфны сфере.

Если мы теперь будем изменять $c$ от нуля до некоторого достаточно малого значения, то получим семейство замкнутых, не пересекающихся между собой (в силу.однозначности $V$ ) поверхностей, окружающих начало координат и стягивающихся в эту точку при $c=0$ (рис. 2).