Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Рассмотрим для простоты знакоопределенную функцию трех переменных $V\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$. Все наши рассуждения останутся, однако, справедливыми и при $n>3$. Допустим также для определенности, что $V$ – функция положительная. Рассмотрим поверхность
\[
V\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=c \text {, }
\]
где $c$-положительное число. При $c=0$ в силу знакоопределенности $V$ будем иметь $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$, и, следовательно, поверхность $V=0$ вырождается в точку, в начало координат. Покажем, что при $c$ достаточно малом поверхность (8.1) будет замкнутой и будет содержать внутри себя начало координат.
С этой целью покажем, что всякая непрерывная кривая, идущая из начала координат к какой-нибудь точке границы области (6.3), непременно пересекает поверхность (8.1), если только число $c$ не превосходит некотоРис. 2. рого, зависящего только от $h$, достаточно малого положительного числа $l$. В самом деле, пусть $l$ – точный нижний предел функции $V$ на границе области (6.3), так что на этой границе будем иметь $V \geqslant l$. Число $l$ будет, очевидно, отличным от нуля и положительным. Если мы теперь рассмотрим произвольную непрерывную кривую, выходящую из начала координат к границе области (6.3), и проследим за изменением функции $V$ вдоль этой кривой, то мы получим, что в начале кривой $V$ обращается в нуль, а в конце кривой – в некоторую величину, не меньшую чем $l$. Следовательно, в некоторой точке этой кривой $V$ необходимо принимает значение $c$, если только $c<l$, что мы и будем предполагать. Другими словами, указанная кривая необходимо пересекает поверхность (8.1). Таким образом, при достаточно малых значениях $c$ все поверхности (8.1) будут замкнутыми и окружают начало координат ${ }^{1}$ ).
1) Поверхности $V=c$ могут быть довольно сложной формы. Они не обязательно гомеоморфны сфере.
Если мы теперь будем изменять $c$ от нуля до некоторого достаточно малого значения, то получим семейство замкнутых, не пересекающихся между собой (в силу.однозначности $V$ ) поверхностей, окружающих начало координат и стягивающихся в эту точку при $c=0$ (рис. 2).
