Прежде чем исследовать общий случай, рассмотрим подробно частный случай, когда $n=0$ и когда, следовательно, дифференциальные уравнения возмущенного движения образуют систему второго порядка вида
\[
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X(x, y), \quad \frac{d y}{d t}=\lambda x+Y(x, y),
\]

где $X$ и $Y$ начинаются членами не ниже второго порядка.
В рассматриваемом случае можно не только исследовать характер невозмущенного движения, но и дать общую картину поведения интегральных кривых уравнений (36.1) в окрестности начала координат ${ }^{1}$ ).
1) Вид интегральных кривых, опрәделяемых уравнениями (36.1), изучил впервые Пуанкаре. (См. Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, Гостехиздат, 1947).

С этой целью введем в рассмотрение полярные координаты $r$ и $\vartheta$ при помощи подстановки
\[
x=r \cos \vartheta, y=r \sin \vartheta .
\]

Уравнения (36.1) примут при этом вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=X(r \cos \vartheta, r \sin \vartheta) \cos \vartheta+Y(r \cos \vartheta, r \sin \vartheta) \sin \vartheta= \\
=r R(r, \vartheta) \text {, } \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\lambda+\frac{1}{r}\{Y(r \cos \vartheta, r \sin \vartheta) \cos \vartheta- \\
-X(r \cos \vartheta, r \sin \vartheta) \sin \vartheta\}=\lambda+\theta(r, \vartheta), \\
\end{array}
\]

где $R(r, \vartheta), \theta(r, \vartheta)$ – функции переменных $r$ и $\vartheta$, разлагающиеся в ряды по степеням $r$, сходящиеся при $r$, достаточно малом, и обращающиеся в нуль при $r=0$. Коэффициенты этих разложений являются периодическими функциями $\vartheta$ периода $2 \pi$, причем каждый из них является простым полиномом относительно $\cos \vartheta$ и $\sin \vartheta$ и может быть поэтому представлен конечной суммой синусов и косинусов целых кратностей $\vartheta$.

Для получения уравнения интегральных кривых исключим из (36.3) время $t$. Будем иметь:
\[
\frac{d r}{d \vartheta}=\frac{R r}{\lambda+\theta}=r^{2} R_{2}(\vartheta)+r^{3} R_{3}(\vartheta)+\ldots
\]

Ряд, стоящий в правой части уравнения (36.4), сходится при $r$ достаточно малом, причем коэффициенты $R_{2}(\vartheta), R_{3}(\vartheta), \ldots$ также представляют собой полиномы относительно $\cos \vartheta$ и $\sin \vartheta$.

Уравнение (36.4) имеет тривиальное решение $r=0$. Следовательно, одной из интегральных кривых является начало координат. Так как правая часть уравнения (36.4) аналитична в окрестности начала координат, то через каждую точку этой окрестности на основании теоремы существования решений дифференциальных уравнений проходит одна и только одна интегральная кривая. Отсюда следует, что ни одна интегральная кривая, выходящая из какой-нибудь точки окрестности начала координат, не пересекает этой точки.

Из аналитичности правой части уравнения (36.4) вытекает также, что любое решение $r=r(\vartheta, c)$ этого уравнения, определяемое начальным условием
\[
r(0, \mathfrak{c})=c,
\]

может быть разложено в ряд по степеням $c$ :
\[
r(\vartheta, c)=r_{1}(\vartheta) c+r_{2}(\vartheta) c^{2}+\ldots
\]

сходящийс, если $c$ достаточно мало. Радиус сходимости этого ряда зависит от интервала изменения $\vartheta$. Но как бы велик ни был этот интервал, для него всегда наңдется такое достаточно малфе число $\gamma$, что ряд (36.6) будет сходиться при всех $|c| \leqslant \gamma$. Мы будем предполагать число $\gamma$ настолько малнм, чтобы ряд (36.6) сходился при $|\theta| \leqslant 2 \pi$.

Для вычисления коэффициентов $r_{i}$ подставим ряд (36.6) в обе части уравнения (36.4) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $c$. Пусть $F_{i}$ обозначает коэффициент при $c^{i}$ в разложении по степеням $c$ правой части уравнения (36.4) после подстановки в нее (36.6), так что имеем тождественно:
\[
\begin{aligned}
\left\{r^{2} R_{2}(\vartheta)+r^{3} R_{3}(\vartheta)+\ldots\right\}_{r=r_{1}(\vartheta) c+r_{2}(\vartheta)} c^{2}+\ldots & = \\
& =F_{2} c^{2}+F_{3} c^{3}+\ldots
\end{aligned}
\]

Функции $F_{l}$ представляют собой, очевидно, полиномы от $r_{2}$, $r_{3}, \ldots, r_{i-1}$ с коэффициентами, зависящими от $R_{2}, R_{3}, \ldots, R_{i}$ и являющимися, следовательно, периодическими функциями $\vartheta$ периода $2 \pi$ (полиномами относительно $\cos \vartheta$ и $\sin \vartheta$ ). В частности, имеем:
\[
F_{2}=R_{2} r_{1}^{2}, \quad F_{3}=R_{3} r_{1}^{3}+2 R_{2} r_{1} r_{2} .
\]

Уравнения, определяющие функции $r_{l}$, имеют вид
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d r_{1}}{d \vartheta}=0, \frac{d r_{2}}{d \vartheta}=R_{2} r_{1}^{2}=F_{2}, \frac{d r_{3}}{d \vartheta}=R_{3} r_{1}^{2}+2 R_{2} r_{1} r_{2}=F_{3} \\
\frac{d r_{i}}{d \vartheta}=F_{i} \quad(i=4,5, \ldots) .
\end{array}\right\}
\]

Кроме того, из (36.5) имеем начальные условил
\[
r_{1}(0)=1, r_{2}(0)=r_{3}(0)=\ldots=0 .
\]

Следовательно,
\[
r_{1}=1, \quad r_{2}=\int_{0}^{\theta} R_{2} d \vartheta, r_{3}=\int_{0}^{\vartheta}\left(R_{3}+2 R_{2} r_{2}\right) d \vartheta, \ldots, r_{i}=\int_{0}^{\theta} F_{i} d \vartheta .
\]

Таким образом, все функции $r_{i}(\vartheta)$ последовательно определяются простыми квадратурами. Для функции $r_{2}(\vartheta)$ мы имеем квадратуру периодической функции. Отметим здесь одно общее свойство такого рода квадратур, которым мы часто будем пользоваться в дальнейшем.

Пусть $f(\vartheta)$ – произвольная непрерывная периодическая функция какого-нибудь периода $\omega$. Тогда
\[
F(\vartheta)=\int_{0}^{\theta} f(\vartheta) d \vartheta=g \vartheta+\varphi(\vartheta),
\]

где $\varphi(\vartheta)$ – периодическая функция того же периода, а $g$ – постоянная, определяемая формулой
\[
g=\frac{1}{\omega} \int_{0}^{0} f(\vartheta) d \vartheta .
\]

Эта формула совершенно очевидна, если $f(\vartheta)$ разлагается в ряд фурье
\[
f(\vartheta)=g+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} \cos \frac{2 \pi n}{\omega} \vartheta+B_{n} \sin \frac{2 \pi n}{\omega} \vartheta\right),
\]

где $g$ определяется формулой (36.12).
Дећствительно, в этом случае мы имеем:
\[
F(\vartheta)=g \vartheta+\frac{\omega}{2 \pi} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{A_{n}}{n} \sin \frac{2 \pi n}{\omega} \vartheta-\frac{B_{n}}{n} \cos \frac{2 \pi n}{\omega} \vartheta\right) .
\]

Отсюда непосредственно вытекает справедливость (36.11) для рассматриваемого случая. Но и в общем случае эта формула выводится без всякого труда, на чем мы не будем останавливаться.

Установив это, рассмотрим коэффициент $r_{2}$. Так как функция. $R_{2}$ периодическая, то $r_{2}$ будет либо иметь вид (36.11), либо будет периодической, если соответствующий коэффициент $g$ обращается в нуль. Во втором случае функция $R_{3}+2 R_{2} r_{2}$ будет периодической, и поэтому коэффициент $r_{3}$ либо будет иметь вид (36.11), либо получится периодическим. Продолжая таким образом дальше, мы видим; что могут представиться два случая: либо все коэффициенты $r_{i}$, как бы велик ни был индекс $i$, являются периодическими функциями периода $2 \pi$, либо среди этих коэффициентов имеются непериодические. При этом, если $r_{m}$ является первым непериодическим коэффициентом, то
\[
r_{m}=g \vartheta+\varphi(\vartheta), \quad g=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} F_{m} d \vartheta
\]

где $\varphi(\vartheta)$ – периодическая функция периода $2 \pi$.
Допустим сначала, что все функции $r_{j}$ являются периодическими. В этом случае решение (36.6) будет периодическим при всех значениях $c$ (лежащих в области сходимости ряда). Следовательно, $r(2 \pi, c)=r(0, c)$, и все интегральные кривые, расположенные в достаточно малой окрестности начала координат, замкнуты и окружают эту точку (рис. 8). Следуя Пуанкаре, начало координат называют в этом случае цент ром.

Допустим теперь, что не все коэффициенты $r_{i}$ получаются периодическими. Пусть $\boldsymbol{r}_{m}$ – первый непериодический коэффициент в ряду $r_{2}, r_{3}, \ldots$ так что для него справедлива формула (36.13), где $g
eq 0$,
Рис. 8.

а все коэффициенты $r_{2}, r_{3}, \ldots, r_{m-1}$ периодичны. Преобразуем уравнение (36.4) при помощи подстановки
\[
\begin{array}{l}
r=\rho+\rho^{2} r_{2}(\vartheta)+\ldots+\rho^{m-1} r_{m-1}(\vartheta)+\rho^{m} \varphi(\vartheta) \equiv \\
\quad \equiv \rho+\rho^{2} r_{2}(\vartheta)+\ldots+\rho^{m-1} r_{m-1}(\vartheta)+\rho^{m} r_{m}(\vartheta)-g \vartheta \rho^{m} . \text { (36.14) }
\end{array}
\]

На основании (36.7) будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \rho}{d \vartheta}\left(1+2 \rho r_{2}+\ldots+m \rho^{m-1} \varphi\right)+\rho^{2} \frac{d r_{2}}{d \vartheta}+\ldots+\rho^{m} \frac{d r_{m}}{d \vartheta}-g \rho^{m}= \\
=\rho^{2} F_{2}+\ldots+\rho^{m} F_{m}+\rho^{m+1} F_{m+1}+\ldots,
\end{array}
\]

или, принимая во внимание (36.8),
\[
\frac{d \rho}{d \vartheta}\left(1+2 \rho r_{2}+\ldots+m \rho^{m-1} \varphi\right)=g \rho^{m}+\rho^{m+1} F_{m+1}+\ldots
\]

Отсюда находим:
\[
\frac{d \rho}{d \vartheta}=g \rho^{m}+R_{m+1}^{*}(\vartheta) \rho^{m+1}+\ldots=\rho^{m}\left(g+\rho R_{m+1}^{*}(\vartheta)+\ldots\right),
\]

где $R_{m+n}^{*}$ – периодические функции $\vartheta$ периода $2 \pi$ (так как коэффициенты преобразования (36.14) периодичны).

Из полученного уравнения вытекает, что в достаточно малои окрестности начала координат производная $\frac{d \rho}{d \vartheta}$ сохраняет постоянный знак, совпадающий со знаком $g$. Если $g<0$, то при $\vartheta \rightarrow+\infty$ функция $\rho(\vartheta)$ непрерывно убывает и стремится к нулю. По характеру подстановки (36.14) то же самое будет иметь место и для радиусавектора $r$. Следовательно, все интегральные кривые, расположенные в достаточно малой окрестности начала координат, будут спиралями, делающими вокруг начала координат бесчисленное множество оборотов, асимптотически приближаясь к этой точке наподобие логарифмических спиралей (рис. 9). По терминологии Пуанкаре начало координат в этом случае называется бокусом.

То же самое будет, очевидно, иметь место и при $g>0$. Только в этом случае спирали будут приближаться к началу координат не при $\vartheta \rightarrow+\infty$, а при $\vartheta \rightarrow-\infty$.

Обращаемся теперь к вопросу устончивости. Очевидно, что в случае центра невозмущенное движение устойчиво, так как $r$, а вместе с ним $x$ и $y$ будут оставаться сколь угодно малыми, если они были достаточно малы в начальный момент времени. Устойчивость при этом не будет асимптотической.

Рассмотрим теперь случай фокуса. Второе уравнение (36.3) показывает, что в достаточно малой окрестности начала координат, когда величина $\theta$ (обращаюРис. 9. щаяся в нуль при $r=0$ ) меньше по модулю величины $\lambda$, производная $\frac{d v}{d t}$ будет больше некоторого положительного числа. Следовательно, с возрастанием $t$ величина $\vartheta$ будет также возрастать, причем при $t \rightarrow \infty$ она будет возрастать неограниченно, если только при этом интегральная кривая остается в достаточно малой окрестности начала координат. Последнее будет как раз иметь место при $g<0$. В этом случае при возрастании $\vartheta$ интегральные кривые приближаются к началу координат, стремясь к нему асимптотически при $\vartheta=+\infty$. Следовательно, при $g<0$ невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

При $g>0$ интегральные кривне при возрастании $\vartheta$, а следовательно, и $t$, удаляются от начала координат. Любая интегральная кривая покидает некоторую фиксированную не зависящую от начальных условий окрестность начала координат, как бы близка от него ни была точка, из которой она в начальный момент выходит. Мы имеем, очевидно, полную неустойчивость.

Итак, в случае центра невозмущенное движение устойчиво, но не асимптотически. В случае фокуса невозмущенное движение асимптотически устойчиво при $g<0$ и неустойчиво при $g>0$.

Таким образом, для решения задачи устойивости в интересующем нас случае мы можем поступать следующим образом:
1) Преобразованием (36.2) и исключением $t$ приводим уравнения возмущенного движения (36.1) к одному уравнению (36.4).
2) Этому уравнению пытаемся удовлетворить рядом
\[
r=c+c^{2} r_{2}(\vartheta)+c^{3} r_{3}(\vartheta)+\ldots .
\]

где $r_{2}(0)=r_{3}(0)=\ldots=0$. Подставляя этот ряд в (36.4) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $c$, мы получим уравнения, определяющие последовательно все функции $r_{i}(\vartheta)$ при помощи квадратур. При этом может оказаться, что либо все коэффициенты $r_{i}$ являются периодическими, либо среди них имеются непериодические.

В первом случае невозмущенное движение будет устойчивым, но не асимптотически.

Во втором случае первый нелериодический коэффициент в ряду $r_{2}, r_{3}, \ldots$, пусть это будет $r_{m}$, будет необходимо иметь вид (36.13). Torда, если $g>0$, то невозмущенное движение неустоћчиво, а если $g<0$, то оно устойчиво и притом асимптотически.

Определение коэффициентов $r_{l}$ приводится, как мы видели, к вычислению квадратур. Последняя задача не представляет никаких трудностей, так как подинтегральные выражения всегда представляют собой полиномы относительно $\cos \vartheta$ и $\sin \vartheta$. И если мы имеем дело с тем случаем, когда среди коэффициентов $r_{i}$ имеются непериодические, то мы всегда конечным числом простых действий придем к решению задачи устоичивости. Правда, вычисления могут оказаться очень громоздкими, если первый непериодический коэффициент $r_{m}$ имеет слишком большой индекс. Однако практически такие случаи встречаются весьма редко.

Гораздо сложнее обстоит дело в случае, когда все коэффициенты $r_{i}$ оказываются периодическими, т. е. когда начало координат является центром. В этом случае мы имеем бесчисленное множество условий, и мы не можем непосредственной проверкой убедиться в их выполнимости. Поэтому усилия исследозателей были направлены к установлению некоторых общих признаков, которые позволяли бы, не прибегая к вычислению коэффициентов $r_{i}$, а непосредственно по виду уравнений (36.1) судить о том, имеем ли мы дело с центром или фокусом. В этом направлении достигнуты некоторые успехи. Так, например, задача полностью разрешена для того случая, когда уравнения (36.1) не имеют членов выше второго порядка. Однако полного решения задачи до сих пор не получено. Мы не имеем, однако, возможности останавливаться подробнее на этом вопросе ${ }^{1}$ ). Отме-
1) Отсылаем интересующихся к книге: Немы цки й В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений (изд. 2-е, Гостехиздат, 1949), в которой дана и библиография вопроса. См. также примечание в конце книги (стр. 521 ).

тим здесь, однако, одно общее положение, имеющее важное вначение.

Система первого приближения для уравнений (36.1) всегда имеет первый интеграл вида $x^{2}+y^{2}=$ const. Может случиться, что система (36.1) с учетом нелинейных членов также имеет первый интеграл вида
\[
F(x, y)=x^{2}+y^{2}+f(x, y)=\text { const. },
\]

где $f(x, y)$ – аналитическая в окрестности начала координат функция от $x$ и $y$, разложение которой по степеням этих переменных начинается членами не ниже третьего порядка. В этом случае начало координат будет центром. Денствительно, интеграл (36.16) представляет уравнение интегральных кривых в окрестности начала координат, которые все будут замкнуты, так как функция $F(x, y)$ знакоопределенна.

Ляпунов доказал, что справедливо также обратное предложение: если начало координат для уравнении (36.1) является центром, то эти уравнения имеют первы интеграл вида (36.16).

Отметим также.одно важное различие, которое получается в характере задачи в зависимости от того, имеем ли мы дело с фокусом или центром.

В выражение функции $F_{i}(\vartheta)$, определяющей коэффициент $r_{i}$ и зависящей, как мы видели, от $r_{2}, \ldots, r_{i-1}, R_{1}, \ldots, R_{i}$, входят лишь те члены правой части уравнения (36.4), которые имеют порядок, не превышающий $i$, а эти члены в свою очередь, как это видно из (36.3), зависят лишь от тех членов уравнений (36.1), которые также имеют порядок, не превышающий $i$. Поэтому если $r_{m}$ является первым непериодическим коэффициенгом в ряду $r_{2}, r_{3}, \ldots$, то он останется первым непериодическим коэффициентом, как бы мы ни изменяли члены выше $m$-го порядка в уравнениях (36.1). Следовательно, коэффициент $g$, знак которого определяет устоичивость или неустойчивость, также не зависит от членов выше $m$-го порядка в уравнениях (36.1). Другими словами, в случае фокуса устончивость или неустойчивость определяется конечным числом членов в уравнениях возмущенного движения. Члены достаточно высокого порядка никакого значения для задачи не имеют.

Иначе обстоит дело в случае центра. В этом случае, как бы велико ни было число $N$, мы можем, очевидно, члены $N$-го порядка в уравнениях (36.1) изменить таким образом, чтобы функция $r_{N}$ вышла непериодической и чтобы соответствующий коэффициент $g$ был по желанию положительным или отрицательным. Следовательно, в случае центра членами сколь угодно высоких порядков в уравнениях возмущенного движения можно распорядиться таким образом, чтобы получить по желанию как асимптотическую устойчивость, так и неустойчивость.

Из этого следует, что если нам при исследовании уравнений вида (36.1) удалось каким-нибудь путем убедиться, что изменением членов сколь угодно высоких порядков можно добиться, чтобы невозмущенное движение было по желанию асимптотически устойчивым или неустоћчивым, то начало координат является обязательно центром.

Когда начало координат является центром, то ряд (36.6) для $r$, представляющий общее решение уравнений (36.1), будет периодическим периода $2 \pi$. Подставляя это выражение для $r$ в (36.2), мы получим решение уравнений (36.1), которое также будет периодическим по отношению к вспомогательному переменному $v$ с периодом $2 \pi$. Покажем, что если мы снова перейдем к переменной $t$ и выразим через нее $x$ и $y$, то полученные таким путем функции времени будут тоже периодическими, но период будет зависеть, и притом аналитически, от $c$.

С этой целью обращаемся ко второму уравнению (36.3), определяющему $\vartheta$ как функцию $t$. Подставляя в него выражение (36.6) для $r$, получим:
\[
\frac{d \vartheta}{d t}=\lambda\left[1+\theta_{1}^{*}(\vartheta) c+\theta_{2}^{*}(\vartheta) c^{2}+\ldots\right],
\]

где $\theta_{l}^{(*)}(\vartheta)$ – некоторые периодические функции $\vartheta$. Полагая, что $\vartheta$ и $t$ одновременно обращаются в нуль, получим:
\[
\lambda t(\vartheta)=\int_{0}^{\theta} \frac{d \vartheta}{1+\theta_{1}^{*} c+\ldots}=\int_{0}^{\vartheta}\left(1+\theta_{1}(\vartheta) c+\theta_{2}(\vartheta) c^{2}+\ldots\right) d \vartheta,
\]

где $\theta_{i}(\vartheta)$ – также периодические функции $\vartheta$.
Из (36.17) получаем:
\[
\lambda t(\vartheta+2 \pi)-\lambda t(\vartheta)=\int_{\theta}^{\theta+2 \pi}\left(1+\theta_{1} c+\theta_{2} c^{2}+\ldots\right) d \vartheta,
\]

или, учитывая периодичность функций $\theta_{i}(\vartheta)$,
\[
t(\vartheta+2 \pi)-t(\vartheta)=T,
\]

где $T$ – постоянная, определяемая формулой
\[
T=\frac{2 \pi}{\lambda}\left(1+h_{1} c+h_{2} c^{2}+\ldots\right), \quad h_{i}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \theta_{i}(\vartheta) d \vartheta .
\]

Соотношение (36.18) показывает, что при изменении $t$ на постоянную величину $T$ величина $\vartheta$ иэменяется на $2 \pi$ и, следовательно, величины $x$ и $y$ не изменяются. Следовательно, $x$ и $y$ являются периодическими функциями времени с периодом $T$, зависящим аналитически от $c$.

Полученное таким путем периодическое решение уравнений (36.1) будет содержать произвольную постоянную с. Эта произвольная постоянная является, по условию, начальным значением величины $r$. Но так как отсчет полярного угла $\vartheta$ выбран таким образом, что он обращается в нуль при $t=0$, то из (36.2) вытекает, что $c$ является вместе с тем начальным значениеи величины $x$. Начальное значение величины у равно при этом нулю. Таким образом, полученное периодическое решение уравнений (36.1) характеризуется начальными условиями
\[
x(0)=c, \quad y(0)=0,
\]

где произвольная постоянная $c$ подчинена единственному условию, что она численно достаточно мала.

Полученное периодическое решение, содержащее только одну произвольную постоянную, является частным решением уравнений (36.1). Но учитывая, что эти уравнения не зависят явно от $t$, мы можем получить их общее решение, зависящее от двух произвольных постоянных, если в указанном периодическом решении мы заменим $t$ на $t+h$, где $h$ – произвольная постоянная.

Практический способ вычисления вышеуказанного периодического решения (когда оно существует, т. е. в случае центра) будет указан в § 38 . Сенчас мы рассмотрим примеры решения задачи устойчивости для уравнений типа (36.1).
Пример 1. Уравнение возмущенного движения имеет вид
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+x=\alpha\left(\frac{d x}{d t}\right)^{3}+\beta x^{2}+\gamma x\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2} .
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$ – постоянные.
Записав это уравнение в виде системы
\[
\frac{d x}{d t}=-y, \quad \frac{d y}{d t}=x-\beta x^{2}-\gamma x y^{2}+\alpha y^{3},
\]

положим:
\[
x=r \cos \vartheta, \quad y=r \sin \vartheta .
\]

Уравнения (36.22) примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=-\beta r^{2} \cos ^{2} \vartheta \sin \vartheta+\left(\alpha \sin ^{4} \vartheta-\gamma \cos \vartheta \sin ^{3} \vartheta\right) r^{3}, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=1-\beta \cos ^{3} \vartheta \cdot r+\left(\alpha \sin ^{3} \vartheta \cos \vartheta-\gamma \cos ^{2} \vartheta \sin ^{2} \vartheta\right) r^{2} .
\end{array}
\]

Исключая $t$, будем иметь:
\[
\frac{d r}{d \vartheta}=-\beta \cos ^{2} \vartheta \sin \vartheta \cdot r^{2}+\left(\alpha \sin ^{4} \vartheta-\gamma \cos \vartheta \sin ^{3} \vartheta-\beta^{2} \cos ^{5} \vartheta \sin \vartheta\right) r^{3}+\ldots
\]

Этому уравнению стараемся удовлетворить рядом
\[
r=c+r_{2} c^{2}+r_{3} c^{3}+\ldots
\]

при условии $r_{2}(0)=r_{3}(0)=\ldots=0$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $c$, получим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r_{2}}{d \vartheta}=-\beta \cos ^{2} \vartheta \sin \vartheta \\
\frac{d r_{3}}{d \vartheta}=\alpha \sin ^{4} \vartheta-\left\{\gamma \cos \vartheta \sin ^{2} \vartheta+\beta^{2} \cos ^{5} \vartheta+2 \beta \cos ^{2} \vartheta \cdot r_{2}\right\} \sin \vartheta
\end{array}
\]

откуда
\[
\begin{array}{l}
r_{2}=\beta\left(\frac{\cos ^{3} \vartheta}{3}-\frac{1}{3}\right), \\
r_{3}=\alpha \int_{0}^{\theta} \sin ^{4} \vartheta d \vartheta-\int_{0}^{\vartheta}\left\{\gamma \cos \vartheta \sin ^{2} \vartheta+\beta^{2} \cos ^{5} \vartheta+2 \beta \cos ^{2} \vartheta \cdot r_{2}\right\} \sin \vartheta d \vartheta .
\end{array}
\]

Функция $r_{2}$ вышла периодической Функция же $r_{3}$ имеет, очевидно. вид
\[
r_{3}=g \vartheta+f(\vartheta),
\]

где $f(\vartheta)$ – периодическая функция, а $g$ определяется формулой
\[
g=\frac{a}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{4} \vartheta d \vartheta .
\]

Следовательно, при $\alpha>0$ невозмущенное движение неустойчиво, а при $a<0$ оно устойчиво асимптотически.

Пример 2. Уравнение (36.21) является частным случаем более общего уравнения
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+x=\alpha\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2 n+1}+F\left[x,\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}\right],
\]

исследованного А. М. Ляпуновым. Здесь $n$-целое положительное число, а $F$-аналитическая функция своих аргументов, не содержащая членов ниже второго порядка относительно $x$ и $\frac{d x}{d t}$.
Полагая
\[
x=r \cos \vartheta, \quad y=-\frac{d x}{d t}=r \sin \vartheta,
\]

олучим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=\alpha \sin ^{2 n+2} \vartheta \cdot r^{2 n+1}-F\left(r \cos \vartheta, r^{2} \sin ^{2} \vartheta\right) \sin \vartheta \\
\frac{d \vartheta}{d t}=1+\alpha \sin ^{2 n+1} \vartheta \cos \vartheta \cdot r^{2 n}-\frac{1}{r} F\left(r \cos \vartheta, r^{2} \sin ^{2} \vartheta\right) \cos \vartheta
\end{array}
\]

Допустим сначала, что $\alpha=0$. Тогда, исключая $t$, получим:
\[
\begin{aligned}
\frac{d r}{d \vartheta} & =-\frac{F\left(r \cos \vartheta r^{2} \sin ^{2} \vartheta\right)}{1-\frac{1}{r} F\left(r \cos \hat{t}, r^{2} \sin ^{2} \vartheta\right) \cos \vartheta} \sin \vartheta= \\
& =f_{2}(\vartheta) \sin \vartheta \cdot r^{2}+f_{3}(\vartheta) \sin \vartheta \cdot r^{3}+\ldots,
\end{aligned}
\]

где $f_{l}(\vartheta)$ являются, очевидно, полиномами относительно только $\cos \vartheta$. Ищем решение уравнения (36.23) в виде ряда
\[
r=c+r_{2}(\vartheta) c^{2}+\ldots
\]

при условии $r_{2}(0)=r_{3}(0)=\ldots=0$. Для коэффициентов $r_{i}(\vartheta)$ получаем уравнения
\[
\left.\frac{d r_{2}}{d \vartheta}=f_{2}(\vartheta) \sin \vartheta, \frac{d r_{3}}{d \vartheta}=\mid f_{3}(\vartheta)+2 f_{2}(\vartheta) r_{2}(\vartheta)\right] \sin \vartheta
\]

и вообще
\[
\frac{d r_{i}}{d \vartheta}=F_{i}(\vartheta) \sin \vartheta \quad(i=3,4, \ldots)
\]

где $F_{i}(\vartheta)$ – полиномы относительно $r_{2}, r_{3}, \ldots, r_{i-1}$, коэффициенты которых являются полиномами относительно только $\cos \vartheta$.

Функция $r_{2}$ получается, очевидно, периодической и притом полиномом относительно $\cos \vartheta$. Но тогда такой же будет и функция $r_{3}$ и все остальные функции $r_{i}$, в чем убеждаемся методом индукции. Действительно, если все функции $r_{2}, r_{3}, \ldots, r_{i-1}$ вышли полиномами относительно $\cos \vartheta$, то такой же получится и функция $F_{i}(\vartheta)$, а следовательно, и функция $r_{i}$.

Таким образом, при $\alpha=0$ мы имеем дело с центром, и невозмущенное движение будет устойчиво, но не асимптотически.
Допустим теперь, что $\alpha
eq 0$. Тогда будем, очевидно, иметь:
\[
\begin{aligned}
\frac{d r}{d \vartheta}=f_{2}(\vartheta) \sin \vartheta \cdot r^{2}+ & \ldots+f_{2 n}(\vartheta) \sin \vartheta \cdot r^{2 n}+ \\
& +\left\{f_{2 n+1}(\vartheta) \sin \vartheta+\alpha \sin ^{2 n+2} \vartheta\right\} r^{2 n+1}+\ldots
\end{aligned}
\]

где $f_{2}(\vartheta), f_{3}(\vartheta), \ldots, f_{2 n+1}(\vartheta)$ – те же функции, что и в (36.23). Для коэффициентов $r_{i}$ получаем теперь
\[
\begin{aligned}
\frac{d r_{2}}{d \vartheta} & =F_{2}(\vartheta) \sin \vartheta, \ldots, \quad \frac{d r_{2 n}}{d \vartheta}=F_{2 n}(\vartheta) \sin \vartheta \\
\frac{d r_{2 n+1}}{d \vartheta} & =F_{2 n+1}(\vartheta) \sin \vartheta+\alpha \sin ^{2 n+2} \vartheta
\end{aligned}
\]

где $F_{2}, F_{3}, \ldots, F_{n}$ – те же функции, что и в (36.24). Следовательно, коэффициенты $r_{2}, \ldots, r_{2 n}$ получаются периодическими, а для коэффициента $r_{2 n+1}$ будем иметь:
\[
r_{2 n+1}=g \vartheta+\varphi(\vartheta), \quad g=\frac{\alpha}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2 n+2} \vartheta d \vartheta,
\]

где $\varphi(\vartheta)-$ периодическая функция.
Следовательно, при $\alpha<0$ невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а при $a>0$ оно неустойчиво.