Допустим, что система уравнений возмущенного движения есть система $(n+1)$-го порядка и имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d y_{j}}{d t}=q_{j 1} y_{1}+\ldots+q_{j, n+1} y_{n+1}+Y_{j}\left(y_{1}, \ldots, y_{n+1}\right) \\
(j=1,2, \ldots, n+1),
\end{array}
\]
где $q_{j l}$ – постоянные, а функции $Y_{j}$ разлагаются в некоторой окрестности начала координат в ряды по степеням величин $y_{s}$, начинающиеся членами не ниже второго порядка. Мы переходим к рассмотрению критического случая, колда характеристическое уравнение системы первого приближения
\[
\frac{d y_{j}}{d t}=q_{j 1} y_{1}+\ldots+q_{j, n+1} y_{n+1} \quad(j=1,2, \ldots, n+1)
\]
имеет один нулевой корень при остальных $n$ корнях с отрицательными вещественными частями.
Введем в уравнениях (28.2) вместо одной из переменных $y_{j}$ переменную $x$ при помощи подстановки
\[
x=a_{1} y_{1}+a_{2} y_{2}+\ldots+a_{n+1} y_{n+1},
\]
где $a_{f}$ – некоторые постоянные. Эти постоянные мы постараемся выбрать таким образом, чтобы преобразованное уравнение приняло вид
\[
\frac{d x}{d t}=0 \text {. }
\]
Мы должны, следовательно, иметь тождественно
\[
\frac{d x}{d t}=\sum_{j=1}^{n+1} a_{j} \frac{d y_{j}}{d t}=\sum_{j=1}^{n+1} a_{j}\left(q_{j 1} y_{1}+\ldots+q_{j, n+1} y_{n+1}\right)=0 .
\]
Приравнивая нулю коэффициенты при $y_{k}$, мы получим следующую систему линейных однородных алгебраических уравненић:
\[
q_{1 k} a_{1}+q_{2 k} a_{2}+\ldots+q_{n+1, k} a_{n+1}=0(k=1,2, \ldots, n+1) .
\]
Так как характеристическое урєвнение системы (28.2) имеет нулевой корень, то определитель системы (28.3) обращается в нуль и, следовательно, эта система имеет решение для $a_{j}$, в котором не все эти постоянные равны нулю. Допустим для определенности, что $a_{n+1}
eq 0$. Тогда мы можем принять переменную $x$ вместо переменной $y_{n+1}$. Остальные переменные $y_{i}$ сохраним прежние, но будем обозначать их в дальнейшем через $x_{i}$. Таким образом, мы преобразуем уравнения (28.2) при помощи подстановки
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =a_{1} y_{1}+\ldots+a_{n} y_{n}+a_{n+1} y_{n+1}, \\
x_{i} & =y_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]
Теперь, обозначая
\[
\begin{aligned}
p_{s k} & =q_{s k}-\frac{1}{a_{n+1}} q_{s, n+1} a_{k}, \\
p_{s} & =\frac{1}{a_{n+1}} q_{s, n+1} \quad(s, k=1,2, \ldots, n),
\end{aligned}
\]
мы приведем уравнения (28.2) к виду
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=0, \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+p_{s} x,
\end{array}
\]
где $p_{s}, p_{s j}$-постоянные. Характеристическое уравнение этой системы, имеющее вид
распадается на уравнение $\lambda=0$ и уравнение
Так как характеристическое уравнение инвариантно по отношению к линейным преобразованиям и в рассматриваемом случае имеет $n$ корнеи с отрицательными вещественными частями, то все корни уравнения (28.5) имеют от рицательные вещественные части.
Если при помощи подстановки (28.4) преобразовать систему (28.1), то она, очевидно, примет вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d x}{d t} & =X\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d x_{s}}{d t}= & p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+p_{s} x+X_{s}\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
& (s=1,2, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]
где $X$ и $X_{s}$-аналитические функции переменных $x, x_{1}, \ldots, x_{n}$, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка.
Таковы будут дифференциальные уравнения возмущенного движения в интересующем нас критическом случае одного нулевого корня характеристического уравнения. Этот вид дифференциальных уравнений будет исходным для дальнейшего исследования.
