Главная > ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ (И.Г.МАМКИЕ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Таким образом, условия теоремы II второго метода Ляпунова при некоторых небольших добавочных ограничениях (требование ограниченности частных производных вместо условия о бесконечно малом высшем пределе) обеспечивают не только асимптотическую устойчвость в смысле Ляпунова, но и устоичивость более сильную, а именно, устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Отсюда, естественно, возникает вопрос, не являются ли условия теоремы II чрезмерно узкими. Другими словами, возникает вопрос об обратимости теоремы II. Этот вопрос представляет интерес не только в связи с разбираемой сенчас задачей, и он в равной степени относится как к теореме II, так и к остальным основным теоремам второго метода. Действительно, если вторым методом пользоваться как основным для решения задачи устоћчивости, т. е. если эту задачу сводить к попыткам построения функций Ляпунова, то должна быть уверенность, что такие функции каждый раз денствительно существуют.

Поставленная таким образом проблема существования функций Ляпунова является очень трудной и до сих пор не получила полного разрешения 1 ). Впервые занимаясь этой задачей, автор 2 ) рассматривал только установившиеся движения для систем второго порядка. Было показано, что теорема I Ляпунова необратима, т. е. было показано, что невозмущенное движение может быть устойчиво и в то же время может не существовать знакоопределенной функции, для которой производная в силу уравненић возмущенного движения была бы знакопостоянной, противоположного знака. При этом речь шла о функциях, не зависящих от t. Было, однако, показано, что можно всегда найти функцию другого вида, являющуюся обобщением функций Ляпунова.

Обращением теоремы 1 занимался также К. П. Персидский 3 ), который рассматривал произвольнье системы уравнений возмущенного движения. К. П. Персидский показал, что в случае устойчивости для уравнений возмущенного движения всегда существуют особые функции, являющиеся обобщением функций Ляпунова.

Обращению теоремы II также посвящено несколько работ. Автором была показана 4 ) обратимость этой теоремы для систем второго порядка с постоянными коэффициєнтами. Им же были установлены 5 ) достаточные условия существования функций, удовлетворяющих всем условиям теоремы II для системы линеиных уравнений с переменными коэффициентами. К. П. Персидскии показал 6 ), что эти условия являются также необходимыми. При этом установлено, что одной лишь асимптотической устойчивости недостаточно для существования указанной функции. Эти результаты, имеющие непосредственную связь с теорией устойчивости по первому приближению, излагаются ниже, в § 75 .
И. Л. Массера 7 ) подверг детальному анализу теоремы I и II Ляпунова, а также их различные обобщения. Им было, в частности, показано, что теорема II обратима для установившихся и периоди-
1) См. примечание в конце книги (стр. 523)
2) Малкин И. Г., Das Existenzproblem von Liapounoffschen Funktionen. Изв. Казанского физ.-матем. об-ва, т. IV, 1929-1930.
3) Персидский К. П., Об одной теореме Ляпунова. ДАН, т. XIV, № 9,1937 .
4) Малкин И. Г., Проблема существования функций Ляпунова. Изв. Казанского физ.-матем. об-ва, т. V, 1931^.
5 ) Малкин И. Г., Об устойчивости по первому приближению. Сб. научных трудов Казанского авиац. ин-та, № 3, 1935.
6) Персидски й К. П., К теории устойчивости интегралов систем дифференциальных уравнений. Изв. физ.-матем. об-ва при Казанском гос. ун-те, т. VIII, 1936-1937.
77 ) Massera I. L., On Liapounoff’s condition of stability. Annals of Mathematics, т. 50 , № 3,1949 .

ческих движений. Показано, более того, что при асимптотической устойчивости в указанных случаях существует функция V, удовлетворяющая не только условиям теоремы II, но и более жестким условиям теоремы предыдущего параграфа об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, т. е. что функция V обладает ограниченными частными производными. Отсюда вытекает, что установившиеся и периодические движения резко отличаются в отношении обратимости теоремы II от общего случая неустановившихся движений, для которых, как указано выше, теорема не обратима даже для линейных уравнений.

Результаты И. Л. Массера относительно установившихся и периодических движений приводятся в двух следующих параграфах. Эти результаты, как мы увидим, позволяют установить некоторые важные общие предложения. Для случая установившихся движений результаты И. Л. Массера уточнены Е. А. Барбашиным 1 ).

1
Оглавление
email@scask.ru