Таким образом, условия теоремы II второго метода Ляпунова при некоторых небольших добавочных ограничениях (требование ограниченности частных производных вместо условия о бесконечно малом высшем пределе) обеспечивают не только асимптотическую устойчвость в смысле Ляпунова, но и устоичивость более сильную, а именно, устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Отсюда, естественно, возникает вопрос, не являются ли условия теоремы II чрезмерно узкими. Другими словами, возникает вопрос об обратимости теоремы II. Этот вопрос представляет интерес не только в связи с разбираемой сенчас задачей, и он в равной степени относится как к теореме II, так и к остальным основным теоремам второго метода. Действительно, если вторым методом пользоваться как основным для решения задачи устоћчивости, т. е. если эту задачу сводить к попыткам построения функций Ляпунова, то должна быть уверенность, что такие функции каждый раз денствительно существуют.
Поставленная таким образом проблема существования функций Ляпунова является очень трудной и до сих пор не получила полного разрешения ${ }^{1}$ ). Впервые занимаясь этой задачей, автор ${ }^{2}$ ) рассматривал только установившиеся движения для систем второго порядка. Было показано, что теорема I Ляпунова необратима, т. е. было показано, что невозмущенное движение может быть устойчиво и в то же время может не существовать знакоопределенной функции, для которой производная в силу уравненић возмущенного движения была бы знакопостоянной, противоположного знака. При этом речь шла о функциях, не зависящих от $t$. Было, однако, показано, что можно всегда найти функцию другого вида, являющуюся обобщением функций Ляпунова.
Обращением теоремы 1 занимался также К. П. Персидский ${ }^{3}$ ), который рассматривал произвольнье системы уравнений возмущенного движения. К. П. Персидский показал, что в случае устойчивости для уравнений возмущенного движения всегда существуют особые функции, являющиеся обобщением функций Ляпунова.
Обращению теоремы II также посвящено несколько работ. Автором была показана ${ }^{4}$ ) обратимость этой теоремы для систем второго порядка с постоянными коэффициєнтами. Им же были установлены ${ }^{5}$ ) достаточные условия существования функций, удовлетворяющих всем условиям теоремы II для системы линеиных уравнений с переменными коэффициентами. К. П. Персидскии показал ${ }^{6}$ ), что эти условия являются также необходимыми. При этом установлено, что одной лишь асимптотической устойчивости недостаточно для существования указанной функции. Эти результаты, имеющие непосредственную связь с теорией устойчивости по первому приближению, излагаются ниже, в § 75 .
И. Л. Массера ${ }^{7}$ ) подверг детальному анализу теоремы I и II Ляпунова, а также их различные обобщения. Им было, в частности, показано, что теорема II обратима для установившихся и периоди-
1) См. примечание в конце книги (стр. 523)
2) Малкин И. Г., Das Existenzproblem von Liapounoffschen Funktionen. Изв. Казанского физ.-матем. об-ва, т. IV, 1929-1930.
$\left.{ }^{3}\right)$ Персидский К. П., Об одной теореме Ляпунова. ДАН, т. XIV, № 9,1937 .
$\left.{ }^{4}\right)$ Малкин И. Г., Проблема существования функций Ляпунова. Изв. Казанского физ.-матем. об-ва, т. V, $19 \hat{31}$.
${ }^{5}$ ) Малкин И. Г., Об устойчивости по первому приближению. Сб. научных трудов Казанского авиац. ин-та, № 3, 1935.
6) Персидски й К. П., К теории устойчивости интегралов систем дифференциальных уравнений. Изв. физ.-матем. об-ва при Казанском гос. ун-те, т. VIII, 1936-1937.
${ }_{7}^{7}$ ) Massera I. L., On Liapounoff’s condition of stability. Annals of Mathematics, т. 50 , № 3,1949 .
ческих движений. Показано, более того, что при асимптотической устойчивости в указанных случаях существует функция $V$, удовлетворяющая не только условиям теоремы II, но и более жестким условиям теоремы предыдущего параграфа об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, т. е. что функция $V$ обладает ограниченными частными производными. Отсюда вытекает, что установившиеся и периодические движения резко отличаются в отношении обратимости теоремы II от общего случая неустановившихся движений, для которых, как указано выше, теорема не обратима даже для линейных уравнений.
Результаты И. Л. Массера относительно установившихся и периодических движений приводятся в двух следующих параграфах. Эти результаты, как мы увидим, позволяют установить некоторые важные общие предложения. Для случая установившихся движений результаты И. Л. Массера уточнены Е. А. Барбашиным ${ }^{1}$ ).
