Исследование устойчивости не представляет обычно серьезных трудностей в тех случаях, когда дифференциальные уравнения возмущенного движения удается проинтегрировать в замкнутой форме. Но такого рода случаи являются исключительными и на практике почти не встречаются. Поэтому усилия исследователей были направлены к тому, чтобы разработать методы решения задачи устойивости, не прибегая к интегрированию уравнений движения. При этом предшественники Ляпунова пользовались обычно методом линеаризации. Этот метод заключается в следующем.

Разложим правые части уравнений возмущенного движения (3.2) в ряды по степеням $x_s$. Для большинства механических задач такое разложение возможно. Так как $X_s(t,0,\dots ,0)=0$, то разложения не будут содержать свободных членов, и мы можем писать
$$\begin{array}{c}\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n+X_s^{\ast }(t,x_1,\dots ,x_n)\\ (s=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

где $X_s^{\ast }$ — совокупность членов выше первого порядка в функциях $X_s$. И вот, поскольку в задаче устоичивости приходится рассматривать решения уравнении (5.1) при малых начальных значениях величин $x_s$, естественно ожидать, что характер этих решений определяется совокупностью членов наинизшего измерения в уравнениях (5.1). Другими словами, естественно ожидать, что для решения задачи устойчивости достаточно рассмотреть систему гинейных уравнений
$$\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n(s=1,2,\dots ,n)$$
— так называемую систему уравнений первого приближения.

Так решали задачу устоичиности Томсон и Тэт ${}^1$ ), ( Раус ${}^2$ ) и Н. Е. Жуковский ${}^3$ ). При этом задача значительно упрощалась, а для случая установившихся движений разрешалась элементарно, так как при $p_{sj}$ постоянных уравнения (5.2) интегрируются в замкнутом виде.

Но такого рода решение задачи является нестрогим и, вообще говоря, неправильным. Замена нелинейных уравнений (5.1) линейными уравнениями (5.2) является, по существу, заменой одной задачи другой, с которой первая может не иметь ничего общего. Может случиться, что невозмущенное движение при исследовании лишь первого приближения окажется устоичивым, хотя оно в самом деле неустоичиво, и наоборот.
1) Thomson and Tait, Treatise on Natural Philosophy, т. I, 1879.
2) Routh, A Treatise on the Stability of a given State of motion.
3) Жуковски й H. E., O прочности движения. Учен. зап. Моск. ун-та, отдел физ.-матем., вып. 4, 1882 . См. также: Жуков в к й й. Е., Собрание сочинений, т. І, Гостехиздат, 1948.

Поясним это примерами. Допустим, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
$$\frac{dx}{dt}=-y+a{x}^3,\frac{dy}{dt}=x+a{y}^3,$$

где $a$ — постоянная. Рассмотрим произвольное решение $x=x(t)$, $y=y(t)$ этих уравнений и составим производную от выражения $x^2(t)+y^2(t)$. Так как функции $x(t)$ и $y(t)$ удовлетворяют уравнениям (5.3), то будем иметь:
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\{x^2(t)+y^2(t)\}& =x(t)\{-y(t)+a{x}^3(t)\}+y(t)\{x(t)+a{y}^3(t)\}=\\ & =a\{x^4(t)+y^4(t)\}.\end{array}$$

Установив это, допустим снача.а, что $a>0$. Тогда производная от функций $x^2(t)+y^2(t)$ будет все время положительной, и, следовательно; эта функция будет с возрастанием $t$ возрастать. При этом по мере возрастания этой функции ее производная, как это видно из (5.4), будет также возрастать. Отсюда непосредственно вытекает, что как бы малы ни были начальные значения $x\left(t_0\right)$ и $y\left(t_0\right)$, функция $x^2(t)+y^2(t)$ с неограниченным возрастанием $t$ будет возрастать неограниченно, и, следовательно, невозмущенное движение неустойчиво. Напротив, при $a<0$ невозмущенное движение будет устойчиво асимптотически, так как при этом $\frac{d}{dt}[x^2(t)+y^2(t)]<0$, и функция $x^2(t)+y^2(t)$, оставаясь положительнои, будет все время убывать, неограниченно стремясь к нулю.

С другой стороны, отбрасывая в уравнениях (5.3) члены третьего порядка, мы для общего решения полученных таким образом уравнений первого приближения
$$\frac{dx}{dt}=-y,\frac{dy}{dt}=x$$

будем иметь:
$$\begin{array}{l}x=x_0\cos t-y_0\sin t\\ y=x_0\sin t+y_0\cos t\end{array}\}$$

где $x_0$ и $y_0$— начальные значения (при $t=0$ ) величин $x$ и $y$. Из (5.6) имеем, что
$$|x|<\epsilon ,|y|<\epsilon ,$$

если только
$$\left|x_0\right|⩽\eta ,\left|y_0\right|⩽\eta ,\eta <\frac{1}{\sqrt{2}}\epsilon .$$

Следовательно, в первом приближении невозмущенное движение устойчиво. Однако устойчивость, как это вытекает из (5.6), не будет асимптотической. В действительности же, как мы видели, невозмущенное движение либо асимптотически устойчиво, если а отрицательно, либо неустойчиво, если а положительно. Таким образом, в рассматриваемом случае характер невозмущенного движения определяется членами высших порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.

В качестве второго примера рассмотрим колебания математического маятника. За невозмущенное движение примем колебание, определяемое начальными условиями $q(0)=\alpha ,\dot{\phi }(0)=0$, где $\phi -$ угол отклонения маятника. Дифференциальное уравнение возмущенного движения, как это мы видели в § 3 , имеет вид (3.7). Отбрасывая члены высших порядков, получим уравнение первого приближения:
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{g}{l}x\cos f(t).$$

Рассмотрим возмущенное движение, определяемое начальными условиями $x(0)=0,\dot{x}(0)=\beta$. Период возмущенных колебаний отличается от периода невозмущенных колебаний, и поэтому, как мы это видели в § 3, настанет такой момент времени, когда разность значений $\phi$ в обоих колебаниях превзойдет некоторую не зависящую от $\beta$ величину, как бы мала $\beta$ ни была. Покажем, однако, что если эту разность значений $\phi$, т. е. величину $x$, определять из уравнения первого приближения (5.7), то она при достаточно малой $\beta$ будет оставаться меньше любой наперед заданной величины.

В самом деле, подставляя функцию $f(t)$ в уравнение (3.6), которому она удовлетворяет, и дифференцируя полученное тождество по $t$, будем иметь:
$$\frac{d^2}{d{t}^2}\left(\frac{df}{dt}\right)=-\frac{g}{l}\frac{df}{dt}\cos f$$

Следовательно, функция $x=\frac{df}{dt}$ удовлетворяет уравнению (5.7). Так как при этом функция $f(t)$ удовлетворяет начальным условиям $f(0)=\alpha ,{\left(\frac{df}{dt}\right)}_0=0$, то функция $\frac{df}{dt}$ будет удовлетворять начальным условиям ${\left(\frac{df}{dt}\right)}_0=0,{\left(\frac{d^{2}f}{d{t}^2}\right)}_0=-\frac{g}{l}\sin \alpha$. Следовательно, искомое частное решение уравнения (5.7) имеет вид
$$x=-\frac{l\beta }{g\sin \alpha }\frac{df(t)}{dt}.$$

Отсюда, учитывая, что $\frac{df}{dt}$ — функция ограниченная, убеждаемся, что величина $x$ будет оставаться меньше любого наперед заданного числа $\epsilon$, если величина $\beta$ достаточно мала. Таким образом, и в рассматриваемом примере первое приближение дает неправильное описание характера движения.

Можно, однако, привести и такие примеры, когда первое приближение действительно решает задачу устойчивости. Отсюда возникает основная задача: установить необходимые и достаточные условия устоћичивости по первому приближению. Эту задачу поставил Ляпунов, который дал полное ее решение для установившихся и периодических решений. Ляпунов дал также решение задачи и для широкого класса неустановившихся движений. Выяснив условия, при которых задача решается в первом приближении, Ляпунов рассмотрел также некоторые основные случаи, когда при исследовании устойчивости нельзя ограничиться рассмотрением первого приближения. Все эти капитальные результаты излагаются ниже.

Для решения поставленных задач Ляпунов разработал специальные приемы. Все эти приемы и вообще все способы решения задачи устоичивости Ляпунов разделяет на две категории. К первой категории он относит те способы, которые приводятся к непосредственному рассмотрению возмущенного движения, т. е. к определению общего или частного решения соответствующих дифференциальных уравнений. Эти решения приходится обычно искать под видом некоторых рядов. Совокупность всех способов первой категории Ляпунов называет пе рвым методом ${}^1$ ).

Можно, однако, указать и другие способы решения задачи устойчивости, которые не требуют нахэждения частных или общих решений уравнений возмущенного движения, а приводятся к отысканию некоторых функций от $t,x_1,\dots ,x_n$, обладающих специальными свойствами. Примером может служить известная теорема Лагранжа об устойчивости равновесия, когда силовая функция обращается в максимум. Здесь устоичивость обеспечивается существованием силовой функции, обладающей специальными свойствами. Совокупность всех способов второй категории Ляпунов называет вторым методом.

В основу своего второго метода Ляпунов кладет несколько основных установленных им теорем. Эти теоремы оказались настолько эффективными, что при помощи их удалось исключительно просто разрешить задачу об устойчивости по первому приближению. Вместе с тем они позволили Ляпунову рассмотреть и некоторые основные случаи, когда первое приближение задачи не решает и, следовательно, когда эта задача делается особенно сложной.

Второй метод Ляпунова являетья и в настоящее время основным методом решения задачи устойчивости ${}^2$ ).

Изложению основных теорем второго метода Ляпунова и его приложений посвящена следующая глава. При этом для простоты мы ограничиваемся сначала лищь установившимися движениями. Общии случай неустановившихся движений рассматривается в главах V и VI.
1) См. примечание в конце книги (стр. 517).
2) См. примечание в конце книги (стр. 518).