Мы переходим сейчас к рассмотрению нелинейных уравнений, зависящих явно от $t$, и к установлению условий, при которых задача устойчивости решается совокупностью членов наинизшего порядка в этих уравнениях. В этом параграфе мы будем рассматривать систему вида
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}^{(m)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]
где $X_{s}^{(m)}$ – некоторые не зависящие от $t$ формы $m$-го порядка ( $m \geqslant 1$ ) переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Функции $\varphi_{s}$ зависят также от $t$. Эти функции определены в области
\[
t \geqslant 0, \quad\left|x_{s}\right| \leqslant H,
\]
где они непрерывны и удовлетворяют неравенствам
\[
\left|\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right|<A\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\}^{m},
\]
1) Штокало И. 3., Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. Матем. сб., т. 19, № 2, 1946.
${ }^{2}$ ) Еругин’Н. П., Об асимптотической устойчивости решения некоторой системы дифференциальных уравнений. ПММ, т. XII, вып. 2, 1948.
причем $A$ – некоторая постоянная. Кроме того, предполагается, что уравнения (85.1) допускают в области (85.2) единственное решение при заданных начальных условиях.
Рассмотрим систему первого приближения
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}^{(m)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]
которая, вообще говоря, нелинейна. При каких условиях устойчивость для уравнений (85.4) обусловливает устойчивость для полной системы (85.1)? Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой ${ }^{1}$ ).
Теорема. Если невозмущенное движение для уравнений (85.4) асимптотически устойчиво, то то же самое будет справедливо и для уравнений (85.1) при любом выборе функций $\varphi_{s}$, удовлетворяющих неравенствам (85.3), если только постоянная А достаточно ма.га.
Доказательство. На основании теоремы § 73 существует определенно-положительная функция $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, производная которой, составленная в силу уравнений (85.4), т. е. выражение
\[
\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}} X_{s}^{(m)},
\]
есть функция определенно-отрицательная. Рассмотрим в пространстве переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ семейство поверхностей $V=h>0$. При $h$, достаточно малом, все эти поверхности замкнуты, окружают начало координат и пересекаются интегральными кривыми уравнений (85.4) снаружи во внутрь. Пусть $V=h^{*}$ одна из этих поверхностей. Обозначим эту поверхность через $S$. В силу знакоопределенности выражения (85.5) каждая интегральная кривая системы (84.5) пересекает поверхность $S$ снаружи во внутрь под углом, превосходящим некоторую положительную величину $\alpha$.
Соединим радиусами-векторами все точки поверхности $S$ с началом координат и уменьшим все эти радиусы-векторы в $k$ раз. Мы получим замкнутую поверхность, окружающую начало координат, подобную поверхности $S$. Обозначим эту поверхность через $S_{k}$. Изменяя $k$ от 1 до 0 , мы получим семеніство такого рода поверхностей ${ }^{2}$ ), стягивающихся при $k=0$ в начало координат.
Пусть $A$ – какая-нибудь точка поверхности $S$ и $A_{k}$ – соответствующая ей точка поверхности $S_{k}$. Так как эти поверхности подобны, то касательные плоскости к ним в точках $A$ и $A_{k}$ параллельны. С другой стороны, касательные к интегральным кривым уравнений (85.4)
1) Малкин И. Г., Теорема об устойчивости по первому приближению. ДАН СССР, т. LXXVї, №6, 1951.
2) Эти поверхности, вообще говоря, пересекаются между собой.
в точках $A$ и $A_{k}$ также параллельны, так как в силу однородности этих уравнений имеем:
\[
\left(\frac{d x_{s}}{d t}\right)_{A_{k}}=X_{s}^{(m)}\left[k\left(x_{1}\right)_{A}, \ldots, k\left(x_{n}\right)_{A}\right]=k^{m}\left(\frac{d x_{s}}{d t}\right)_{A} .
\]
Таким образом, интегральная кривая уравнений (85.4), проходящая через точку $A_{k}$, пересекает поверхность $S_{k}$ под таким же углом, под каким интегральная кривая тех же уравнений, проходящая через точку $A$, пересекает поверхность $S$. Следовательно, так же как и поверхность $\mathcal{S}$, все поверхности $S_{k}$ пересекаются интегральными кривыми уравнений (85.4) снаружи во внутрь под углами, превосходящими $\alpha$.
Рассмотрим теперь полную систему уравнений (85.1). Предположим, что величина $A$ в неравенствах (85.3) настолько мала, что во всей области (85.2) поле касательных к интегральным кривым уравнений (85.1) повернуто относительно поля касательных к интегральным кривым уравнений (85.4) на угол, меньший $\alpha$. Тогда, очевидно, все интегральные кривые системы (85.1) будут пересекать поверхности $S_{k}$ снаружи во внутрь, откуда непіосредственно вытекает справедливость теоремы ${ }^{1}$ ).
