Построенная в предыдущем параграфе функции $V$, будучи периодической относительно $t$, не только допускает бесконечно малый высший предел, но обладает ограниченными частными производными по переменным $x_{1}, \ldots x_{n}$. Следовагельно, эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы § 70 . Это приводит сразу к следующей теореме.
Теорема. Для того чтобы установившееся или периодическое движение было устойчиво при постоянно действующих возмущениях, достаточно, чтобы оно было устойчиво асимптотически в смысле Ляпунова. При этом прдполагается, что правые части уравнений возмущенного движения (без членов, характеризующих постоянные возмущения) обладают непрерывными частными производными первого порядка.
Эта теорема показывает, какое важное значение имеет устойчивость в смысле Ляпунова не только в задачах устойчивости, но и во всякой другой задаче, когда точные уравнения по тем или иным причинам приходится заменять приближенными и когда независимое переменное изменяется в бесконечном интервале. Действительно, по крайней мере для уравнений с постоянными и периодическими коэффициентами, рассматриваемое решение приближенных уравнений будет мало отличаться от решения точных уравнений, если оно асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова.
Рассмотрим частный случай. Допустим, что уравнения возмущенного движения (72.1) имеют вид
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]
где $X_{s}$ – аналитические функции, начинающиеся членами не ниже второго порядка. Если характеристические показатели первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво и, следовательно, устойчиво при постоянно действующих возмущениях. Этот результат для случая, когда уравнения (74.1) не содержат явно $t$, установлен Г. Н. Дубошиным ${ }^{1}$ ), а для общего случая периодических коэффициентов И. А. Артемьевым ${ }^{2}$ ).
В качестве приложения теоремы об устоћчивости при постоянно действующих возмущениях для установившихся и периодических движений рассмотрим вопрос об «опасных» и «безопасных» границах области устоичивости, на котором мы уже останавливались в § 44. Допустим, что уравнения возмущенного движения (72.1) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+\eta\left(r_{s 1} x_{1}+\ldots r_{s n} x_{n}\right)+ \\
+X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]
1) Дубошин Г. Н.. К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений. Труды ГАИШ, т. XIV, вып. 1, 1940.
${ }^{2}$ ) Артемьев И. А., Осуществимые движения. Изв. АН СССР, cep. матем., № 3, 1939.
где $\mu$ – малый параметр, $p_{s j}$ и $r_{s j}$ – периодические функции времени, периода $\omega$ (в частности, постоянные), а $X_{s}$ – функции, удовлетворяющие общим условиям $\S 72$ и имеющие порядок малости выше первого. Мы будем предполагать, что система первого приближения при $\mu=0$ не имеет характеристических показателей с положительной вещественной частью, но имеет характеристические показатели с вещественными частями, равными нулю. Таким образом, при $\mu=0$ система находится на границе области устойчивости ${ }^{1}$ ), а при $\mu
eq 0$ она находится вблизи этой границы. Величина параметра $\mu$ и характеризует степень близости системы к границе области устойчивости. Мы предполагаем при этом, что коэффициенты $r_{s j}$ таковы, что система первого приближения при $\mu
eq 0$ может иметь характеристические показатели с положительной вещественной частью, так что система может находиться в области неустойчивости.
Допустим, что при $\mu=0$ невозмущенное движение асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова. Тогда оно, по доказанному, будет устойчив при постоянно денствующих возмущениях. Следовательно, при $\mu$, достаточно малои, величины $\left|x_{s}\right|$ будет оставаться малыми, если они были малы в начальный момент времени. При этом, как было показано в примечании в $\S 70$, точка $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ будет отбрасываться в некоторую окрестность начала координат, которая, может быть сделана сколь угодно малой при $\mu$, достаточно малом, т. е. если система находится достаточно близко от границы области устойчивости.
Таким образом, если пользоваться терминологией $\S 44$, мы можем сказать, что участки границы области устойчивости, на которых невозмущенное движение асимптотически устойчиво, являются «безопасными». При этом не имеет никакого значения, сколько критических характеристических показателей имеет система первого приближения на границе области устоичивости.
