Прикладные задачи о стабилизации наряду с требованием асимптотической устойчивости заданного движения $x_{s}=0$ содержат обычно пожелания о наилучшем возможном качестве переходного процесса, т. е. пожелания о наилучшем (с какой-либо точки зрения) качестве возмущенного движения $x_{s}(t)$ в процессе его приближения к состоянию $x_{s}=0$ при $t \rightarrow \infty$. При этом обычно высказывается также пожелание о наименьшей возможной затрате ресурсов (энергии, импульсов и т. д.), расходуемых на формирование управляющих воздействий $u_{j}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Такие пожелания часто можно выразить в виде условия минимальности некоторого интеграла
\[
I=\int_{t}^{\infty} \omega\left(t, x_{1}[t], \ldots, x_{n}[t] ; u_{1}[t], \ldots, u_{r}[t]\right) d t .
\]

Здесь $\omega\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}, u_{1}, \ldots, u_{r}\right)$ – неотрицательная функция, определенная в области (106.5). Символом $u_{j}[t]$ будем обозначать величины управляющих возденствий $u_{j}[t]=u_{j}\left(t, x_{1}[t], \ldots, x_{n}[t]\right)$ (в функции только от времени), которые реализуются в системе (106.3) при $u_{j}=u_{j}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. При этом символы $x_{s}[t]$ обозначают как раз те движения системы (106.3), которые порождаются управлением $u_{j}[t]=u_{j}\left(t, x_{1}[t], \ldots, x_{n}[t]\right)$. Иногда, чтобы подчеркнуть, что движение $x_{s}[t]$ порождается некоторым фиксированным управлением $u_{j}=u_{j}^{*}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, будем снабжать символы $x_{s}[t]$ и $u_{j}[t]$ индексом *, т. е. будем писать $x_{s}^{*}[t]$ и $u_{j}^{*}[t]$.

Вопрос о выборе функции $\omega$, определяющей оценку качества $I$ (107.1) процесса $x_{s}(t)$, здесь подробно обсуждать не будем. То или иное решение этого вопроса определяется в каждом случае конкретными особенностями рассматриваемой прикладной задачи. Заметим лишь, что обычно при выборе функции ю ведущие роли играют следующие три мотива.
1. Условие минимума интеграла (107.1) должно обеспечивать достаточно быстрое затухание движений $x_{s}[t]$.
2. Величина интеграла $I$ должна удовлетворительно оценивать ресурсы, затрачиваемые на фориирование управляющих возденствий $u_{j}[t]$.
3. Функция $\omega$ должна быть такой, чтобы решение задачи не оказалось чрезмерно трудным и чтобы по возможности это решение можно было получить в замкнутой форме.

В частности, условиям $1-3$ во многих случаях удовлетворительно отвечает функция $\omega\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right)$, выбранная в виде определенно положительной квадрагичной формы
\[
\omega=\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i} x_{j}+\sum_{i, j=1}^{r} \beta_{i j} u_{i} u_{j} .
\]

Задачу о стабилизации системы (106.3) при условии минимума какого-либо критерия качества $I$ (107.1) будем называть задачей об оптимальной стабилизации. Следовательно, эта проблема формулируется так:

Задача II (об оптимальной стабилизации). Пусть выбран критерий качества процесса $x_{s}(t)$ в виде интеграла (107.1). требуется найти такие управляющие воздействия $u_{1}^{0}(t$, $\left.x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, u_{r}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, которые обеспечивают асимптотическую устойчивость невозмущенного движения $x_{s}=0$ в силу уравнений (106.3) ( пра $u_{j} \doteq u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ ). При этом каковы бы ни были другие управляющие воздействия $u_{j}^{*}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, решающие задачу I, должно выполняться неравенство
\[
\begin{aligned}
\int_{t_{0}}^{\infty} \omega\left(t, x_{1}^{0}[t], \ldots, x_{n}^{0}[t] ; u_{1}^{0}[t], \ldots, u_{r}^{0}[t]\right) d t & \\
& \leqslant \int_{t_{0}}^{\infty} \omega\left(t, x_{1}^{*}[t], \ldots, x_{n}^{*}[t] ; u_{1}^{*}[t], \ldots, u_{r}^{*}[t]\right) d t
\end{aligned}
\]

для всех начальных условий $t_{0}, x_{s}\left(t_{0}\right)$ из области
\[
t_{0} \geqslant 0, \quad\left|x_{s}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant \eta .
\]

Здесь положительная постоянная $\eta$ или задана заранее по условиям задачи, или эта величина имеет тот же смысл, что и величина $\eta$ в постановке задачи об устойчивости (см. стр. 16).

В частности, если речь идет о задаче об оптимальной стабилизации в целом, то условие (107.3) должно выполняться для всех начальных возмущений $x_{s}\left(t_{0}\right)$, как бы велики они ни были.

Функции $u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(j=1, \ldots, r)$, разрешающие задачу II, будем называть оптима.ьным управлением.

Задача II об оптимальной стабилизации предъявляет к функциям $u_{j}^{0}$ больше требованић, чем задача I к разрешающим ее функциям $u_{j}$. Однако исследование и решение задачи II облегчаются тем обстоятельством, что эта проблема, как правило, имеет единственное решение $u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Напротив, выбор функций $u_{j}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, решающих задачу I, обычно содержит большой произвол. По этой причине часто оказывается целесообразным такой путь решения задачи I.

Для исключения произвола в выборе функций $u_{j}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ вводят в условия этой задачи вспомогательное условие (107.3) минимума некоторого интеграла $I$ (107.1), хотя может быть исходная проблема стабилизации никаких явных условий оптимальности не содержит. Тем самым исходная задача I превращается во вспомогательную задачу II. При этом, естественно, функция $\omega$ в (107.1) должна выбираться так, чтобы решение вспомогательной задачи II было возможно более простым. При решении сложных проблем стабилизации вспомогательные задачи II могут также вводиться лишь на отдельных этапах (см. сноску на стр, 492).

Материал настоящего приложения посвящен исследованию задач I и II методами, опирающимися на основные идеи классическон теории устоиччивости движения.