Для исследования устойчивости целесообразно преобразовать уравнения движения к новым переменным:
\[
x_{s}=y_{s}-f_{s}(t) \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Здесь $f_{s}(t)$ — частное решение уравнений (2.1), соответствующее невозмущенному движению и, следовательно, $x_{s}$ — возмущения.
Полученные таким образом преобразованные уравнения
\[
\begin{aligned}
\frac{d x_{s}}{d t} & =X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \equiv \\
& \equiv Y_{s}\left(t, x_{1}+f_{1}, \ldots, x_{n}+f_{n}\right)-Y_{s}\left(t, f_{1}, \ldots, f_{n}\right)
\end{aligned}
\]

называются дифференцильными уравнениями возмущенного движения. Каждому движению рассматриваемой системы соответствует частное решение уравнений (3.2). В частности, невозмущенному движению соответствует, очевидно, тривиальное решение $x_{1}=\ldots=$ $=x_{n}=0$, которое, следовательно, система (3.2) должна иметь. А для этого необходимо, чтобы функции $X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ обращались в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$, что дейстительно имеет место, как это непосредственно видно из уравнений (3.2).

В переменных $x_{s}$ неравенства (2.2) и (2.3) принимают соответственно вид
\[
\begin{array}{l}
\left|x_{s}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant \eta, \\
\left|x_{s}(t)\right|<\varepsilon,
\end{array}
\]

и, следовательно, определение устойчивости формулируется следующим образом.

Невозмущенное движение устойчиво, если для всякого положительного числа $\varepsilon$, как бы мало оно ни было, можно подоб рать другое положительное число $\eta(\varepsilon)$, такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент времени $t_{0}$ выполняются неравенства (3.3), пра всех $t>t_{0}$ будут выполняться неравенства (3.4).

Если невозмущенное движение устойчиво и если число $\eta$ можно выбрать настолько малым, что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих неравенствам (3.3), будут выполняться условия
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x_{s}(t)=0,
\]

то невозмущенное движение называется устойчивым асимптотически ${ }^{1}$ ).

Рассмотрим несколько примеров на составление уравнений возмущенного движения.

Пример 1. В качестве первого примера рассмотрим колебания математического маятника длиной $l$, описываемые, как известно, дифференциальным уравнением
\[
\frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}=-\frac{g}{l} \sin \varphi,
\]

где $\varphi$ — угол отклонения от вертикали. Пусть требуется исследовать устоичивость (относительно $\varphi$ и $\frac{d \varphi}{d t}$ ) движения, определяемого начальными условиями $\varphi(0)=\alpha,\left(\frac{d \varphi}{d t}\right)_{0}=0$. Соответствующее частное решение уравнения (3.6) имеет вид
\[
\varphi=f(t),
\]

где $f(t)$ — некоторая периодическая функция, которую нам нет необходимости выписывать явно.

Полагая $x=\varphi-f(t)$, получим дифференциальное уравнение возмущенного движения в виде
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{g}{l} \sin (x+f(t))+\frac{g}{l} \sin f(t) .
\]

или, разлагая в ряд по степеням $x$,
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{g}{l} x \cos f(t)+\frac{g}{2 l} x^{2} \sin f(t)+\ldots
\]

Это уравнение может быть, конечно, представлено в виде системы двух уравнений первого порядка.

Пример 2. Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг закрепленной точки по инерции. Дифференциальные уравнения движения имеют вид
\[
\left.\begin{array}{c}
A \frac{d p}{d t}+(C-B) q r=0 \\
B \frac{d q}{d t}+(A-C) r p=0 \\
C \frac{d r}{d t}+(B-A) p q=0
\end{array}\right\}
\]
1) См. примечание в конце книги (стр. 515).

где $p, q, r$-проекции вектора мгновенной угловой скорости на подвижные оси координат, совпадающие с главными осями инерции тела в закрепленной точке, а $A, B, C$ — моменты инерции относительно этих осей.
Уравнения (3.8) имеют частное решение
\[
p=\omega=\text { const. }, \quad q=r=0
\]

и два аналогичных частных решения, соответствующие двум другим осям координат. Принимая движение ( 3.8 ) за невозмущенное, положим:
\[
x=p-\omega, \quad y=q, \quad z=r
\]

и, подставляя в (3.8), получим дифференциальные уравнения возмущенного движения:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \frac{d x}{d t}+(C-B) y z=0 \\
B \frac{d y}{d t}+(A-C)(x+\omega) z=0, \\
C \frac{d z}{d t}+(B-A)(x+\omega) y=0 .
\end{array}\right\}
\]

В общем случае дифференциальные уравнения возмущенного движения содержат явно время $t$. Но может, однако, случиться, что эти уравнения не содержат $t$. Так, например, будет всегда, когда исследуется устойчивость относительно координат и скоростей равновесия какой-нибудь голономной системы со стационарными связями, подверженной действию сил, не зависящих явно от $t$. В этом случае уравнения движения (2.1) не содержат явно $t$, и поскольку функции $f_{s}(t)$ в рассматриваемом случае обращаются в постоянные, то и уравнения (3.2) возмущенного движения также не будут содержать $t$.

Но уравнения возмущенного движения могут не содержать $t$ и тогда, когда исследуется устойчивость не равновесия, а движения. Действительно, поскольку в уравнениях (2.1) переменные y $_{s}$ являются, вообще говоря, не координатами и скоростями, а некоторыми функциями этих величин, то вполне возможно, что для рассматриваемого невозмущенного движения они будут постоянными, несмотря на то, что координаты и скорости изменяются. Если при этом уравнения (2.1) не зависят от $t$, то и уравнения возмущенного движения также не будут зависеть от $t$.

Мы будем в дальнейшем называть невозмущенное движение установившимся, если соответствующие дифференциальные уравнения возмущенного движения не содержат явно $t$. Примером может служить рассмотренное выше движение (3.9) твердого тела вокруг закрепленной точки: соответствующие дифференциальные уравнения возмущенного движения (3.10) не содержат явно $t$.

Случай установившихся движений является наиболее простым при исследовании устойчивости. Вместе с тем к этому случаю приводятся очень многие практические задачи. Следующим по простоте случаем будет тот, когда правые части уравнений возмущенного движения являются по отношению к $t$ периодическими функциями. К такого рода уравнениям приводятся обычно задачи устойчивости колебательных движений. Примером может служить рассмотренная выше задача устойчивости колебаний математического маятника. ГІравая часть уравнения (3.7) периодична относительно $t$, так как функция $f(t)$ — периодическая.