Справедливо также обратное предложение. Если для системы (50.1) удалось найти $\mu$ частных решений, разбивающихся на $p$ групп вида (52.3), то величина $\rho_{k}$ является корнем характеристического уравнения, кратность которого не менее $\mu$, причем этот корень обращает в нуль все миноры характеристического определителя до порядка, по крайней мере, $n-p+1$.

Допустим для определенности, что имеются две такого рода группы, состоящие, соответственно, из $l$ и $m$ решении. Все наши рассуждения останутся, однако, справедливыми при любом числе групп. Пусть эти решения будут
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{s \alpha}^{(1)}=e^{\alpha_{k} t} \frac{D^{(\alpha-1)} P_{s}^{(1)}}{D t^{\alpha-1}} \quad(\alpha=1,2, \ldots, l), \\
x_{s \beta}^{(2)}=e^{\alpha_{k}{ }^{t}} \frac{D^{(\alpha-1)} P_{s}^{(2)}}{D t^{\alpha-1}} \quad(\beta=1,2, \ldots, m),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
P_{s}^{(1)}=\frac{t^{l-1}}{(l-1) !} \varphi_{1 s}(t)+\frac{t^{l-2}}{(l-2) !} \varphi_{2 s}(t)+\cdots+\varphi_{l s}(t), \\
P_{s}^{(2)}=\frac{t^{m-1}}{(m-1) !} \Psi_{1 s}(t)+\frac{t^{m-2}}{(m-2) !} \Psi_{2 s}(t)+\cdots+\Psi_{m s}(t)
\end{array}
\]

и $\varphi_{1 s}, \ldots, \varphi_{l s}, \psi_{1 s}, \ldots, \psi_{m s}$ – периодические функции периода $\omega$. Нам нужно показать, что величина $\rho_{k}$ является корнем характеристического уравнения, кратность которого не менее $l+m$, и что этот корень обращает в нуль, по крайней мере, все миноры ( $n-1$ )-го порядка характеристического уравнения.

С этой целью возьмем для составления характеристического уравнения такую фундаментальную систему решений $x_{s j}(t)$ уравнений (50.1), которая содержит все решения (53.1). Мы предположим при этом, что решения (53.1) являются первыми $i+m$ решениями рассматриваемой фундаментальной системы и примем следующий порядок нумерации:
\[
\begin{array}{c}
x_{s 1}=x_{s l}^{(1)}, x_{s 2}=x_{s, l-1}^{(1)}, \ldots, x_{s l}=x_{s 1}^{(1)}, \\
x_{s, l+1}=x_{s m}^{(2)}, x_{s, l+2}=x_{s, m-1}^{(2)}, \ldots, x_{s, l+m}=x_{s 1}^{(2)} .
\end{array}
\]

Тогда, принимая во внимание, что для всякого полинома
\[
P(t)=\frac{t^{q}}{q !} f_{1}(t)+\frac{t^{q-1}}{(q-1) !} f_{2}(t)+\ldots+f_{q+1}(t)
\]

с периодичеєкими периода $\omega$ коэффициентами $f_{i}$ справедливо очевидное соотношение
\[
\begin{aligned}
P(t+\omega)=\frac{(t+\omega)^{q}}{q !} & f_{1}(t)+\ldots+f_{q+1}(t)= \\
& =P(t)+\omega \frac{D P}{D t}+\frac{\omega^{2}}{2 !} \frac{D^{2} P}{D t^{2}}+\ldots+\frac{\omega^{q}}{q !} \frac{D^{q} P}{D t^{q}},
\end{aligned}
\]

а также, что на основании (51.1)
легко находим:
\[
e^{\alpha_{k}(t+\omega)}=e^{\omega \alpha_{k}} e^{\alpha_{k} t}=\rho_{k} e^{\alpha_{k} t},
\]
\[
\begin{array}{l}
x_{s 1}(t+\omega)=\rho_{k} x_{s 1}(t), \\
x_{s 2}(t+\omega)=\rho_{k} \omega x_{s 1}(t)+\rho_{k} x_{s 2}(t) \text {. } \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . } \\
x_{s l}(t+\omega)=\rho_{k} \frac{\omega^{l-1}}{(l-1) !} x_{s 1}(t)+\rho_{k} \frac{\omega^{t-2}}{(l-2) !} x_{s 2}(t)+\cdots+\rho_{k} x_{s l}(t), \\
x_{s, t+1}(t+\omega)=\rho_{k} x_{s, t+1}(t) \text {, } \\
x_{s, l+2}(t+\omega)=\rho_{k} \omega x_{s, l+1}(t)+\rho_{k} x_{\mathrm{s}, l+2}(t) \text {, } \\
x_{s, l+m}(t+\omega)=\rho_{k} \frac{\omega^{m-1}}{(m-1) !} x_{s, l+1}(t)+ \\
+\rho_{k} \frac{\omega^{m-2}}{(m-2) !} x_{s, l+2}(t)+\ldots+\rho_{k} x_{s, l+m}(t) . \\
\end{array}
\]

Сравнивая с (50.2), получим:
\[
\begin{array}{l}
a_{11}=\rho_{k}, \quad a_{21}=a_{31}=\ldots=a_{n 1}=0, \\
a_{12}=\rho_{k} \omega, \quad a_{22}=\rho_{k}, \quad a_{32}=\ldots=a_{n 2}=0, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
a_{1 l}=\rho_{k} \frac{\omega^{l-1}}{(l-1) !}, \quad a_{2 l}=\rho_{k} \frac{\omega^{l-2}}{(l-2) !}, \ldots, a_{l l}=\rho_{k}, \\
a_{l+1, l}=\ldots=a_{n t}=0 \text {, } \\
a_{1, t+1}=\ldots=a_{l, t+1}=0, \quad a_{l+1, t+1}=\rho_{k}, \\
a_{l+2, l+1}=\ldots=a_{n, l+1}=0 \text {, } \\
a_{1, l+2}=\ldots=a_{l, l+2}=0, \quad a_{l+1, l+2}=\rho_{k} \omega, \\
a_{l+2, l+2}=\rho_{k}, \quad a_{l+3, t+2}=a_{n, t+2}=0, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
a_{l+1, l+m}=\rho \frac{\omega^{m-1}}{(m-1) !}, \\
a_{l+2, t+m}=\rho_{k} \frac{\omega^{m-2}}{(m-2) !}, \ldots, a_{l+m, t+m}=\rho_{k}, \\
a_{s, l+m}=0 \quad(s=1,2, \ldots, b, l+m+1, \ldots, n) . \\
\end{array}
\]

Следовательно, характеристическое уравнение (50.3) имеет вид

Отсюда непосредственно вытекает, что величина $\rho_{k}$ является корнем характеристического уравнения с кратностью, не меньшей $l+m$. Кроме того, как это видно из (53.2), все элементы 1 – и и $(l+1)$ колонок характеристического уравнения обращаются в нуль при $\rho=\rho_{k}$. Следовательно, корень $\rho_{k}$ обращает в нуль, по крайней мере, все миноры ( $n-1$ )-го порядка характеристического уравнения.
Таким образом, предложение полностью доказано.