В § 4 мы уже указывали, что большой практический интерес представляет исследование устойчивости движения не только по отношению к мгновенным возмущениям, но и по отношению к возмущениям, действие которых не прекращается. С точки зрения математической устоиччиость по отношению к таким постоянно действующим возмущениям отличается от устойивости по Ляпунову тем, что возмущаются не только начальные условия движения, но и самые дифференциальные уравнения движения.

Рассматривая невозмущенное движение какойнибудь системы, составим по обычным правилам дифференциальные уравнения возмущенного движения. Пусть эти уравнения имеют вид
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Относительно правых частей этих уравнений мы будем предполагать, что они в области
\[
t \geqslant 0, \quad\left|x_{s}\right| \leqslant H
\]

непрерывны и допускают существование единственного решения при заданных начальных условиях. Разумеется, при этом выполняются обычные соотношения $X_{s}(t, 0, \ldots, 0)=0$.
Наряду с уравнениями (70.1) рассмотрим уравнения
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+R_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где функции $R_{s}$ характеризуют постоянно действующие возмущающие факторы. Эти функции $R_{s}$ также определены в области (70.2), где они также непрерывны и удовлетворяют условию, что уравнения (70.3), так же как и уравнения (70.1), имеют при заданных начальных условиях единственное решение.

Функции $R_{s}$ в отличие от функций $X_{s}$ практически никогда неизвестны. Относительно иих можно лишь предполагать, что они удовлетворяют вышеуказанным общим условиям и достаточно малы. В частности, эти функции не об ращаются, вообще говоря, в нуль $n p a x_{1}=\ldots=x_{n}=0$. Это объясняется тем, что невозмущенное движение является частным решением тех дифференциальных уравнений, которые не учитывают возмущающих факторов, т. е. уравнений (70.1) (если пользоваться переменными $x_{1}, \ldots, x_{n}$ ), а не уравнений (70.3).

Невозмущенное движение $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ будет устойчивым при постоянно действующих возмушениях, когда величины $x_{s}$ остаются все время малыми при условии, что они были малыми в начальный момент времени и что возмущения $R_{s}$ также малы. Более точное определение было дано в § 4. Это определение в переменных $x_{s}$ формулируется следующим образом.

Определение. Невозмущенное движение (тривиальное решение $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ уравнений (70.1)) называется устойчивым при постоянно действующих зозмущениях, если для всякого положительного $\varepsilon$, как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа $\eta_{1}(\varepsilon)$ и $\eta_{2}(\varepsilon)$, таках, что всякое решение уравнений (70.3) с начальными значенияма $x_{s}^{0}$ (при $t=t_{0}$ ), удовлетворяющими неравенствам
\[
\left|x_{s}^{0}\right| \leqslant \eta_{1}(\varepsilon),
\]

при произвольных $R_{s}$, удовлетворяющих в области $t \geqslant t_{0}$ $\left|x_{s}\right| \leqslant \varepsilon$, неравенствам
\[
\left|R_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right| \leqslant \eta_{2}(\varepsilon),
\]

удовлетворяет при всех $t>t_{0}$ неравенствам
\[
\left|x_{s}\right|<\varepsilon .
\]

B $\S 46$ была установлена основная теорема второго метода Ляпунова (теорема II) об асимптотической устоичивости. Согласно этой теореме невозмущенное движение будет асимптотически устоичиво в смысле Ляпунова, если для уравнений (70.1) существует функция Ляпунова $V$ со знакоопределенной производной, допускающая бесконечно малый высшић предел. Оказывается, что если последнее условие заменить условием, несколько более жестким, что функция $V$ обладает ограниченными частными производными, то невозмущенное движение будет устойчиво при постоянно действующих возмущениях. Покажем, что имеет место следующая теорема ${ }^{1}$ ),

Теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (70.1) существует оп ределенно-положительная функция $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-отрццательная, и если в области (70.2) частные производные $\frac{\partial V}{\partial x_{s}}$ огранчены, то невозмущенное движение устойчиво при постоянно действующих возмущениях.

Доказательство. Согласно условиям теоремы в области (70.2) выполняются неравенства
\[
\begin{array}{l}
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant W_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}} X_{s} \leqslant-W_{2}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\end{array}
\]
‘) Малкин И. Г., Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. ПММ, т. VIї, вып. 3, 1944 .

где $W_{1}$ и $W_{2}$-определенно-положительные функции, не зависящие от $t$. Кроме того, применяя теорему о среднем значении, мы можем написать:
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=x_{1}\left(\frac{\partial V}{\partial x_{1}}\right)+\ldots+x_{n}\left(\frac{\partial V}{\partial x_{n}}\right),
\]

где производные вычислены в точке $\left(\theta x_{1}, \ldots, \theta x_{n}\right) \quad(0<\theta<1)$. Так как производные $\frac{\partial V}{\partial x_{s}}$ ограничены, то отсюда следует, что для всякого положительного числа $h_{1}$, как бы мало оно ни было, можно найти такое положительное число $h_{2}$, что
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)<h_{2} \text { при } t \geqslant t_{0}, \quad\left|x_{s}\right| \leqslant h_{1},
\]
т. е. что функция $V$ допускает бесконечно малый высший предел. Пусть $x$ — наибольшая из величин $\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|$. Обозначим через $\alpha$ точный нижний предел функции $W_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ при условии $H \geqslant x \geqslant \varepsilon$, где $\varepsilon-$ произвольное положительное число, меньшее $H$. Имеем, следовательно, на основании (70.4)
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant \alpha \text { при } t \geqslant t_{0}, x \geqslant \varepsilon .
\]

Пусть $l$ — положительное число, меньшее $\alpha$. Рассмотрим в пространстве переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ подвижную поверхность
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)-l=0 .
\]

Из (70.6) следует, что для всех точек этой поверхности выполняется условие $x \geqslant \lambda$, где $\lambda$ — некоторое достаточно малое положительное число. Кроме того, из (70.7) следует, что во всех точках этой поверхности выполняется условие $x<\varepsilon$ и, следовательно, во всех этих точках и при всех значениях $t \geqslant t_{0}$ выполняется неравенство (70.5). Мы можем поэтому написать:
\[
\left\{\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}} X_{s}\right\}_{V=l} \leqslant-k^{2}
\]

где $k^{2}$, в силу того что $x \geqslant \lambda$, отлично от нуля.
Но тогда в силу ограниченности $\frac{\partial V}{\partial x_{s}}$, можно наити настолько малое число $\eta_{2}(\varepsilon)$, чтобы при
\[
\left|R_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right| \leqslant \eta_{2}(\varepsilon)
\]

выполнялось неравенство
\[
\left\{\frac{d V}{d t}\right\}_{V=l}=\left\{\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n}\left(X_{s}+R_{s}\right) \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\right\}_{V=l}<0 .
\]

Будем теперь рассматривать величины $x_{s}$ как функшии времени, удовлетворяющие уравнениям (70.3) в предположении, что выполняются неравенства (70.9). Начальные значения $x_{s}^{0}$ величин $x_{s}$

(при $t=t_{0}$ ) выбираем согласно условиям
\[
\left|x_{s}^{0}\right| \leqslant \eta_{1}(\varepsilon),
\]

где положительное число $\eta_{1}(\varepsilon)$ настолько мало, что выполняются неравенства
\[
\eta_{1}<\varepsilon, \quad V\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)<l \text { при }\left|x_{s}^{0}\right|<\eta_{1} .
\]

Покажем, что при всех $t>t_{0}$ будем иметь:
\[
\left|x_{s}\right|<\varepsilon \text {. }
\]

В самом деле, функции $x_{s}$ не могут перестать удовлетворять неравенствам (70.13) иначе, как достигнув таких значений, при которых выполняется неравенство $x \geqslant \varepsilon$. Но тогда на основании (70.7) функция $V\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)$ станет большен, чем $l$, так как $l<\alpha$. Так как в начальный момент эта функция меньше $l$, то должен быть и такой момент времени, при котором эта функция принимает значение $l$, переходя от значений, меньших $l$, к значениям, большим $l$. Но тогда в этот момент времени $\left(\frac{d V}{d t}\right)_{V=l} \geqslant 0$, что противоречит (70.10).

Следовательно, при условиях (70.9) и (70.11) выполняются условия (70.13), что и требовалось доказать.

Примечание. Покажем, что при условиях теоремы имеет место своего рода асимптотическая устойчивость.

Выбрав в неравенствах (70.9) число $\eta_{2}$ так, чтобы выполнялось неравенство (70.10), мы будем в силу непрерывности иметь также и неравенства
\[
\left\{\frac{d V}{d t}\right\}_{V=c}=\left\{\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n}\left(X_{s}+R_{s}\right) \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\right\}_{V=c}<0,
\]

где $l_{1} \leqslant c \leqslant l$, а $l_{1}<l$ — положительное число, достаточно близкое к $l$. С уменьшением $\eta_{2}$ число $l_{1}$ будет также уменьшаться, и при $\eta_{2}=0$ это число может быть принято равным нулю. Таким образом, при всех $t>t_{0}$ производная $\frac{d V}{d t}$, составленная в силу системы (70.3), будет принимать отрицательные значения для всех значений переменных, лежащих в области, определяемой неравенствами $l_{1} \leqslant v\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \leqslant l$. Для этой области выполняется неравенство $x>\mu$, где $\mu$-достаточно малое положительное число. Вследствие этого мы можем написать, что в указанной области и при всех значениях $t>t_{0}$ выполняется неравенство
\[
\frac{d V}{d t}=\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(X_{s}+R_{s}\right) \leqslant-m^{2},
\]

где $m$ — отличная от нуля постоянная. Что постоянная $m$ получается отличной от нуля, несмотря на то, что $t$ изменяется в бесконечном интервале, вытекает непосредственно из неравенств (70.5), (70.9) и условия теоремы, что для $\frac{\partial V}{\partial x_{s}}$ существуют не зависящие от $t$ верхние пределы.

Из (70.15) вытекает, что точка ( $x_{1}, \ldots, x_{n}$ ), находившаяся согласно (70.12) в начальный момент внутри области $V<l$, попадает в некоторый момент времени в область $V<l_{1}$, где и будет затем оставаться. В самом деле, по доказанному выше, точка все время остается внутри области $V<l$, и если бы она все время находилась вне области $V<l_{1}$, то все время выполнялось бы неравенство (70.15), а отсюда бы следовало неравенство
\[
\begin{aligned}
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \equiv \dot{V}\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} \frac{d V}{d t} d t & \leqslant \\
& \leqslant V\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)-m^{2}\left(t-t_{0}\right),
\end{aligned}
\]

что невозможно, так как левая часть положительна, а правая при достаточно большом $t$ отрицательна, Таким образом, точка ( $x_{1}, \ldots, x_{n}$ ) непременно попадет в некоторый иомент времени в область $V<l_{1}$. Но попав в эту область, точка $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ будет в ней все время оставаться, так как $\left(\frac{d V}{d t}\right)_{V=t_{1}}<0$.

Таким образом, при достаточно малых начальных возмущениях точка $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ хотя и не будет асимптотически приближаться к началу координат, но будет отбрасываться в некоторую окрестность начала координат, которая может быть сделана сколь угодно малой, если постоянно действующие возмущения достаточно малы.