Рассмотрим снова систему
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

с непрерывными и ограниченными коэффициентами и мало отличающуюся от нее систему
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=\left(p_{s 1}+\varphi_{s 1}\right) x_{1}+\ldots+\left(p_{s n}+\varphi_{s n}\right) x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ – характеристичные числа системы (81.1) и $\lambda_{1}^{\prime}, \lambda_{2}^{\prime}, \ldots, \lambda_{n}^{\prime}$-характеристичные числа системы (81.2). Обозначим, далее, через $x_{1 j}, \ldots, x_{n j}(j=1,2, \ldots, n)$ нормальную систему решений уравнений (81.1), занумерованную таким образом, что характеристичное число решения $x_{s j}$ есть $\lambda_{j}$. Кроме этой системы решении,
1) Малкин И. Г., О характеристичеоких числах систем линейных дифференциальных уравнений. ПММ, т. XVI, вып. 1, 1952.

рассмотрим другую фундаментальную систему $\bar{x}_{s j}\left(t, t_{0}\right)$ решении уравнений (81.1), определяемую начальными условиями:
\[
\begin{array}{c}
\bar{x}_{s j}\left(t_{0}, t_{0}\right)=\delta_{s j} \quad\left(\delta_{s j}-\text { символ Кронекера }\right) \\
(s, j=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Система решении $\bar{x}_{s j}\left(t, t_{0}\right)$ ке будет обязательно нормальной. Характеристичные числа решений $\bar{x}_{s j}\left(t, t_{0}\right)$ обозначим, соответственно, через $\mu_{j}$. При этом каждое из чисел $\mu_{j}$ равно одному из чисел $\lambda_{i}$.

Допустим, что система (81.1) такова, что при любом положительном $\gamma$ выполняются неравенства
\[
\left|\bar{x}_{s j}\left(t, t_{0}\right)\right|<C e^{\left(-\mu_{j}+\gamma\right)\left(t-t_{0}\right)},
\]

если $t \geqslant t_{0} \geqslant 0$, и неравенства
\[
\left|\bar{x}_{s j}\left(t, t_{0}\right)\right| \lessdot C e^{\left(-\mu_{j}-\gamma\right)\left(t-t_{0}\right)},
\]

если $0 \leqslant t \leqslant t_{0}$. Здесь $C$ – некоторая постоянная, зависящая только от $\gamma$ и не зависящая от $t_{0}$. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если выполняются условия (81.4) и (81.5), то для всякого положительного в можно найти такое $\eta(\varepsilon)$, что характеристичные числа $\lambda_{i}^{\prime}$ системы (81.2) удовлетворяют неравенствам
\[
\lambda_{i}^{\prime} \geqslant \lambda_{i}-\varepsilon \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

при любом выборе бункций $ч_{s j}$, удовлетворяющих $n$ ри $t \geqslant 0$ неравенствам
\[
\left|\varphi_{s j}(t)\right| \leqslant \eta \text {. }
\]

Доказательство. 1․ Залена системы (81.2) интегральными уравнениями. Рассмотрим неоднородную систему
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+f_{s}(t),
\]

где $f_{s}(t)$ – некоторые непрерывные функции $t$. Согласно Коши функции
\[
x_{s}^{\prime}(t)=\sum_{\alpha=1}^{n} \int_{a_{a}}^{t} \vec{x}_{s \alpha}(t, \tau) f_{\alpha}(\tau) d \tau
\]

определяют частное решение этих уравнений При этом в методе Коши все постоянные $a_{\alpha}$ принято считать одинаковыми, и если положить $a_{a}=a$, то функции (81.9) определяют то решение уравнений (81.8), для которого все неизвестные обращаются в нуль при $t=a$. Однако легко видеть, что функции $x_{s}^{\prime}(t)$ будут удовлетворять уравнениям (81.8)

при любом выборе постоянных $a_{a:}$ причем некоторые из этих постоянных можно положить равными бесконечности, если только соответствующие интегралы сходятся. В самом деле, непосредственным дифференцированием, принимая во внимание (81.3), находим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{s}^{\prime}}{d t}=\sum_{\alpha=1}^{n} \bar{x}_{s a}(t, t) f_{\alpha}(t)+\sum_{\alpha=1}^{n} \int_{a_{\alpha}}^{t} \frac{d \bar{x}_{s \alpha}(t, \tau)}{d t} f_{\alpha}(\tau) d \tau= \\
=f_{s}(t)+\sum_{\alpha=1}^{n} \int_{a_{\alpha}}^{t}\left[p_{s 1}(t) \bar{x}_{1 \alpha}(t, \tau)+\ldots+p_{s n}(t) \bar{x}_{n \alpha}(t, \tau)\right] f_{\alpha}(\tau) d \tau= \\
=f_{s}(t)+p_{s 1}(t) \sum_{\alpha=1}^{n} \int_{a_{\alpha}}^{t} \bar{x}_{1 \alpha}(t, \tau) f_{\alpha}(\tau) d \tau+\ldots+ \\
\quad+p_{s n}(t) \sum_{\alpha=1}^{n} \int_{a_{\alpha}}^{t} \bar{x}_{n \alpha}(t, \tau) f_{\alpha}(\tau) d \tau=f_{s}(t)+p_{s 1} x_{1}^{\prime}+\ldots+p_{s n} x_{n}^{\prime},
\end{array}
\]

что и доказывает наше утверждение. Если теперь к решению (81.9) добавить любое частное решение однородных уравнений (81.1), то снова получится решение уравнений (81.8).

Установив это, будем рассматривать в уравнениях (81.2) члены, зависящие от $\varphi_{s j}$, как неоднородную часть уравнении (81.8). Тогда мы можем утверждать, что решение интегральных уравнений
\[
\begin{array}{c}
x_{s}(t)=x_{s k}(t)+\sum_{a=1}^{n} \int_{a}^{t} \bar{x}_{s a}(t, \tau) L_{\alpha}\left(\tau, x_{1}(\tau), \ldots, x_{n}(\tau)\right) d \tau \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

если оно существует, будет являться решением уравнении (81.2). Здесь
\[
L_{\alpha}=\varphi_{a 1} x_{1}+\ldots+\varphi_{\alpha n} x_{n}
\]

а $a_{\alpha}=0$ для тех значении $\alpha$, для которых $\mu_{\alpha} \geqslant \lambda_{k}$, и $a_{a}=\infty$ при $\mu_{a} \stackrel{\alpha}{\lessdot} \lambda_{k}$.

Изменяя индекс $k$ от 1 до $n$, мы получим $n$ решении уравнений (81.2).
$2^{\circ}$. Доказательство существования решений интегральных уравнений. Пусть $\varepsilon$-сколь уголно малое положительное число. Так как характеристичные числа функций $x_{s k}$ не менее $\lambda_{k}$, то
\[
\left|x_{s k}(t)\right|<A e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t},
\]

где $A$ – некоторая постоянная. Покажем, что интегральные уравнения (81.10) допускают решение, удовлетворяющее неравенствам
\[
\left|x_{s}(t)\right|<2 A e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t},
\]

если только величина $\eta$ в неравенствах (81.7) достаточно мала.
Будем искать решение уравнении (81.10) методом последовательных приближений, полагая
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{s}^{(0)}=x_{s k}(t), \\
x_{s}^{(m)}=x_{s k}+\sum_{\alpha=1}^{n} \int_{a_{a}}^{t} \bar{x}_{s \alpha}(t, \tau) L_{\alpha}\left(\tau, x_{1}^{(m-1)}(\tau), \ldots, x_{n}^{(m-1)}(\tau)\right) d \tau .
\end{array}\right\}
\]

Покажем, прежде всего, что все приближения удовлетворяют неравенствам
\[
\left|x_{s}^{(m)}\right|<2 A e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t},
\]

если $\eta$ настолько мало, что выполняется неравенство
\[
\frac{4 n^{2} \eta C}{\varepsilon}<1
\]

что мы и будем предполагать.
В самом деле, неравенства (81.15) во всяком случае выполняются при $m=0$. Допустим, что они выполняются для ( $m-1$ )-го приближения, и покажем, что они выполняются также и для $m$-го приближения.

Пусть $\alpha$-такой индекс, для которого $\mu_{\alpha} \geqslant \lambda_{k}$ и для которого, следовательно, $a_{\alpha}=0$. Тогда, полагая в условиях (81.4) $\gamma=\frac{\varepsilon}{2}$ и принимая во внимание (81.11), будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\left|\int_{a_{\alpha}}^{t} \bar{x}_{s \alpha}(t, \tau) L_{\alpha}\left(\tau, x_{1}^{(m-1)}, \ldots, x_{n}^{(m-1)}\right) d \tau\right|= \\
=\left|\int_{0}^{t} \bar{x}_{s \alpha}(t, \tau) L_{\alpha}\left(\tau, x_{1}^{(m-1)}, \ldots, x_{n}^{(m-1)}\right) d \tau\right| \lessdot \\
<2 n \eta A C \int_{0}^{t} e^{\left(-\mu_{\alpha}+\frac{\varepsilon}{2}\right)(i-\tau)} \cdot e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) \tau} d \tau= \\
=\frac{2 n \eta A C}{\mu_{\alpha}-\lambda_{k}+\frac{\varepsilon}{2}} e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t}\left(1-e^{\left(\lambda_{k}-\mu_{\alpha}-\frac{\varepsilon}{2}\right) t}\right)<\frac{4 n \eta A C}{\varepsilon} e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t} .
\end{array}
\]

При том же значении $\gamma$, считая $\varepsilon$ настолько малым, что при $\lambda_{k}>\mu_{a}$ выполняется неравенство
\[
\lambda_{k}-\mu_{\alpha}>2 \varepsilon,
\]

из (81.5) получим, что для значений $\alpha$, для которых $\mu_{\alpha}<\lambda_{k}$, справедливы оценки
\[
\begin{aligned}
\mid \int_{a_{\alpha}}^{t} \bar{x}_{s a}(t, \tau) & L_{\alpha}\left(\tau, x_{1}^{(m-1)}, \ldots, x_{n}^{(n-1)}\right) d \tau \mid= \\
& =\left|\int_{t}^{\infty} \bar{x}_{s \alpha}(t, \tau) L_{\alpha}\left(\tau, x_{1}^{(m-1)}, \ldots, x^{(m-1)}\right) d \tau\right|< \\
& <-2 n \eta A C \int_{t}^{\infty} e^{\left(-\mu_{\alpha}-\frac{\varepsilon}{2}\right)(t-\tau)} \cdot e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) \tau} d \tau= \\
& =\frac{2 n \eta A C}{-\mu_{\alpha}+\lambda_{k}-\frac{3}{2} \varepsilon} e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t}<\frac{4 n \eta A C}{\varepsilon} e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t} .
\end{aligned}
\]

Принимая во внимание (81.12), (81.17), (81.18) и (81.16), из (81.14) находим:
\[
\left|x_{s}^{(m)}\right|<A e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t}+\frac{4 n^{2} \eta C A}{\varepsilon} e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t}<2 A e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t} .
\]

Опеним теперь величины $\left|x_{s}^{(m+1)}-x_{s}^{(m)}\right|$. Пусть
\[
\left|x_{s}^{(m)}-x_{s}^{(m-1)}\right|<P e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t} .
\]

Тогда, применяя к равенствам
\[
\begin{array}{l}
x_{s}^{(m+1)}-x_{s}^{(m)} \mid= \\
=\left|\sum_{\alpha=1}^{n} \int_{a_{\alpha}}^{t} \bar{x}_{s a}(t, \tau) L_{\alpha}\left(\tau, x_{1}^{(m)}-x_{1}^{(m-1)}, \ldots, x_{n}^{(m)}-x_{n}^{(m-1)}\right) d \tau\right|
\end{array}
\]

оценки (81.17) и (81.18), в которых лишь придется заменить $2 A$ на $P$, получим:
\[
\left|x_{s}^{(m+1)}-x_{s}^{(m)}\right|<\frac{2 n^{2} \eta C P}{\varepsilon} e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t}=P \theta e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t},
\]

где на основании (81.16)
\[
\theta=\frac{2 n^{2} C \eta}{\varepsilon}<\frac{1}{2} .
\]

Так как на основании (81.15) и (81.12) во всяком случае
\[
\left|x_{s}^{(1)}-x_{s}^{(0)}\right|<3 A e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t},
\]

то из (81.20) следует, что
\[
\left|x_{s}^{(m+1)}-x_{s}^{(m)}\right|<3 A \theta^{m} e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t} .
\]

Отсюда непосредственно вытекает, что с неограниченным возрастанием $m$ последовательные приближения равномерно стремятся к некоторым функциям $f_{s}(t)$. Так как все последовательные приближения удовлетворяют неравенствам (81.15), то этим же неравенствам удовлетворяют и функции $f_{s}(t)$. Остаєтся показать, что полученные таким образом функции $f_{s}(t)$ удовлетворяют уравнениям (81.10). Имеем:
\[
\begin{aligned}
\left|x_{s}^{(m)}-f_{s}\right| & =\left|\left(x_{s}^{(m)}-x_{s}^{(m+1)}\right)+\left(x_{s}^{(m+1)}-x_{s}^{(m+2)}\right)+\cdots\right|< \\
& <\left|x_{s}^{(m+1)}-x_{s}^{(m)}\right|+\left|x_{s}^{(m+2)}-x_{s}^{(m+1)}\right|+\ldots< \\
& <3 A e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t}\left(\theta^{m}+\theta^{m+1}+\ldots\right)=\frac{3 A \theta^{m}}{1-\theta} e^{\left(-\lambda_{k}+\varepsilon\right) t},
\end{aligned}
\]

и поэтому
\[
\sum_{\alpha=1}^{n} \int_{a_{\alpha}}^{t} \bar{x}_{s \alpha}(t, \tau) L_{\alpha}\left(\tau, f_{1}-x_{1}^{(m)}, \ldots, f_{n}-x_{n}^{(m)}\right) d \tau<\frac{3 \theta^{m+1} A}{1-\theta} e^{\left(-\lambda_{k}+\ell\right) t} .
\]

Правая часть этих неравенств стремится к нулю при $m \rightarrow \infty$. Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\sum_{\alpha=1}^{n} \int_{a_{\alpha}}^{t} \bar{x}_{s \alpha}(t, \tau) L_{\alpha}\left(\tau, f_{1}, \ldots, f_{n}\right) d \tau= \\
=\lim _{m \rightarrow \infty} \sum_{\alpha=1}^{n} \int_{a_{\alpha}}^{t} \bar{x}_{s a}(t, \tau) L_{\alpha}\left(\tau, x_{1}^{(m)}, \ldots, x_{n}^{(m)}\right) d \tau= \\
=\lim _{m \rightarrow \infty}\left(x_{s}^{(m+1)}-x_{s k}\right)=f_{s}-x_{s k},
\end{array}
\]

что и доказывает, что функции $f_{s}$ удовлетворяют уравнениям (81.10).
$3^{\circ}$. Оценка характеристичных чисел. Таким образом, мы получили решение уравнений (81.10), которое является в то же самое время решением и уравненић (81.2). Как уже указывалось, изменяя в (81.10) индекс $k$ от 1 до $n$, мы получим $n$ решений системы (81.2). Все эти решения образуют фундаментальную систему. Денствительно, при $t=0$ полученные решения, как это следует из оценок (81.18), будут сколь угодно мало отличаться от решений $x_{s k}$ системы (81.1), если только $\eta$ достаточно мало, и следовательно, определитель Вронского полученной системы будет при $t=0$ сколь угодно мало отличаться от определителя Вронского системы $x_{s j}$, который заведомо отличен от нуля.

Обозначим через $\lambda_{1}^{*}, \ldots, \lambda_{n}^{*}$ характеристичные числа полученной фундаментальнон системы решении уравнений (81.1). Из (81.13)

вытекает, что
\[
\lambda_{k}^{*} \geqslant \lambda_{k}-\varepsilon .
\]

Если мы теперь рассмотрим нормальную систему решений уравнений (81.2), то она будет отличаться от полученной фундаментальной системы тем, что некоторые решения последней заменены другими решениями с большими характеристичными числами. Следовательно, характеристичные числа $\lambda_{1}^{\prime}, \lambda_{2}^{\prime}, \ldots, \lambda_{n}^{\prime}$ нормальной системы будут и подавно удовлетворять неравенствам (81.6).
Таким образом, теорема полностью доказана.
Теорема 2. Если при выполнении условий предыдущей теоремы система (81.1) является правильной, то ее характеристичные числа устойчивы ${ }^{1}$ ).
Доказательство. По условию теоремы имеем:
\[
\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n}=X\left\{\exp \sum_{\alpha=1}^{n} \int_{0}^{t} p_{\alpha \alpha} d t\right\}^{-}
\]

Далее, на основании теоремы 1 § 79
\[
\lambda_{1}^{\prime}+\ldots+\lambda_{n}^{\prime} \leqslant X\left\{\exp \sum_{\alpha=1}^{n} \int_{0}^{t} p_{\alpha \alpha} d t \cdot \exp \sum_{\alpha=1}^{n} \int_{0}^{t} \varphi_{\alpha \alpha} d t\right\} .
\]

Но из (81.7), очевидно, имеем:
\[
X\left\{\exp \sum_{\alpha=1}^{n} \int_{0}^{t} \varphi_{\alpha \alpha} d t\right\} \leqslant n \eta .
\]

Кроме того, теорема $4 \S 77$ дает:
\[
\begin{aligned}
X\left\{\exp \sum_{\alpha=1}^{n} \int_{0}^{t} p_{\alpha \alpha} d t \cdot \exp \sum_{\alpha=1}^{n} \int_{0}^{t} \varphi_{\alpha \alpha} d t\right\}= \\
=X\left\{\exp \sum_{\alpha=1}^{n} \int_{0}^{t} p_{\alpha \alpha} d t\right\}+X\left\{\exp \sum_{\alpha=1}^{n} \int_{0}^{t} \varphi_{\alpha \alpha} d t\right\},
\end{aligned}
\]

так как для правильных систем выполняется условие (79.4). Следовательно,
\[
\lambda_{1}^{\prime}+\ldots+\lambda_{n}^{\prime} \leqslant \lambda_{1}+\ldots+\lambda_{n}+n \eta .
\]
1) См. примечание в конце книги (стр. 524).

Положим $\lambda_{i}^{\prime}=\lambda_{i}-\varepsilon+\gamma_{i}$. Иэ (81.6) вытекает, что $\gamma_{l} \geqslant 0$. Поэтому (81.21) дает $\gamma_{i} \leqslant n(\varepsilon+\eta)$ и, следовательно,
\[
\lambda_{i}^{\prime} \leqslant \lambda_{i}+(n-1) \varepsilon+n \eta .
\]

Полученные неравенства вместе с (81.6) и доказывают теорему ${ }^{1}$ ).
Доказанная сейчас теорема аналогична теореме 2, установленной Б. Ф. Быловым ${ }^{2}$ ).

Рассмотрим частный случай. Допустим, что коэффициенты $p_{s j}$ являются постоянными. Тогда для системы (81.1) условия (81.4) и (81.5), очевидно, выполняются. И так как система с постоянными коэффициентами является правильной, то мы приходим к следующей теореме, установленной К. П. Персидским ${ }^{3}$ ).

Теорема 3. Характеристичные числа системы линейных уравнений с постоянными коэфффицентами всегда устойчивы.

Допустим, что коэффициенты $p_{s j}$ являются постоянными, а коэффициенты $\varphi_{s j}$ удовлетворяют условиям
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \varphi_{s j}=0 .
\]

Тогда, как об этом было указано в предыдущем параграфе, из теоремы 3. непосредственно вытекает справедливость также и следующего предложения:

Теорема 4. Если коэффициенты $\varphi_{\text {sj }}$ являются постоянными и выполняются условия (81.22), то характеристичные числа системы (81.2) совпадают с характеристичными числами системы (81.1).

Эта теорема, установленная при некоторых ограничениях Пуанкаре ${ }^{4}$ ), в общем виде высказана 0 . Перроном ${ }^{5}$ ).