В качестве первого примера, когда функция $V$ удовлетворяет всем условиям теоремы Д и условию (103.7), можно привести функции Ляпунова, построенные в Дополнении I при решении задачи М. А. Аизермана для систем (99.1) и (100.1).
В самом деле, рассмотрим, например, функцию
\[
2 V=2 \int_{0}^{x}[c f(x)-a b x] d x+(c x-a y)^{2} \quad(a
eq 0) .
\]

Ее производная по времени в силу (99.1) равна
\[
\frac{d V}{d t}=[f(x)+c x] \cdot[c f(x)-a b x] .
\]

При условиях, наложенных на функцию $f(x)$ в § 98, имеем:
\[
\begin{array}{lll}
\frac{d V}{d t}<0 & \text { при } & x
eq 0, \\
\frac{d V}{d t}=0 & \text { при } & x=0 .
\end{array}
\]

Многообразием $M$, о котором шла речь в теореме Д, является в данном случае ось $y$ без точки $x=y=0$. Так как при $x=0, y
eq 0$ $\frac{d x}{d t}=a y
eq 0$, то это многообразие не содержит целых движении, кроме $x \equiv y \equiv 0$. Нетрудно, далее, заметить, что условие (99.2)
1) Красовский Н. Н., Некогорые задачи об устойчивости движения, Физматгиз, 1959.

обеспечивает определенную положительность функции $V$ и выполнение условия
\[
\lim V(x, y)=\infty
\]

при $\max \{|x|,|y|\} \rightarrow \infty$.
Таким образом, устойчивость невозмущенного движения системы (99.1) в целом действительно следует в данном случае из теорем $\S 103$.

Приведем еще один пример приложения теорем Д и $\mathrm{E}$ из предыдущего параграфа.

Рассмотрим голономную консервативную механическую систему с $n$ степенями свободы, подверженную дополнительно управляющему воздействию и описываемую следующими уравнениями Лагранжа:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}}=b_{i} u \\
(i=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Здесь $q_{i}$ – обобщенные координаты; $T$ – кинетическая, ПI – потенциальная энергия; $u$-скаляр, который характеризует величину управляющего воздействия; $b_{i}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ – функции, определяющие направление силы $u$. Функции $T$, П и $b_{i}$ заданы. Закон регулирования $u=u\left(q_{1}, \ldots, q_{n} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}\right)$ является искомым.

Пусть при $u \equiv 0$ система (104.1) обладает положением равновесия $q_{l}=0(i=1, \ldots, n)$. Равновесие консервативной механической системы не может быть асимптотически устойчивым по Ляпунову, так как эти системы допускают интеграл энергии. Задача состоит в таком выборе управления $u\left(q, q^{\prime}\right)$, при котором положение равновесия становится асимптотически устойчивым. Упрочнение равновесия до асимптотической устойчивости выбором $u$ назовем стабилизацией системы. Систему будем называть стабилизируемой, если возможна ее стабилизация ${ }^{1}$ ).

Рассмотрим уравнения первого приближения системы (104:1) в окрестности точки $q_{i}=0, q_{i}^{\prime}=0$ :
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T^{0}}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)+\frac{\partial \Pi^{0}}{\partial q_{i}^{\prime}}=b_{i}^{0} u \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Здесь
\[
\begin{array}{c}
T^{0}=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j}^{0} q_{i}^{\prime} q_{j}^{\prime}, \quad \Pi^{0}=\sum_{i, j=1}^{n} b_{i j}^{0} q_{i} q_{j} \\
\left(a_{i j}^{0}, b_{i j}^{0}, b_{i}^{0} \text { – постоянные }\right) .
\end{array}
\]
1) См. дополнение IV, § 106.

Будем говорить, что управление
\[
\begin{array}{c}
u=u^{0}\left(q, q^{\prime}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(p_{i}^{0} q_{i}+r_{i}^{0} q_{i}^{\prime}\right) \\
\left(p_{i}^{0}=\text { const }, \quad r_{i}^{0}=\text { const }\right),
\end{array}
\]

найденное для уравнений (104.2), стабилизирует систему (104.1) по первому приближению, если равновесие $q_{i}=q_{i}^{\prime}=0(i=1, \ldots, n)$ системы (104.1) асимптотически устойчиво при $u=u^{0}+\mu\left(q, q^{\prime}\right)$, каковы бы ни были высшие нелинейные члены $T-T^{0}$, П $-\Pi^{0}$, $\mu=u-u^{0}$.
Запишем уравнения (104.2) в нормальных координатах ${ }^{1}$ ):
\[
\begin{aligned}
\frac{d x_{2 i-1}}{d t} & =x_{2 i}, \quad(i=1, \ldots, n), \\
\frac{d x_{2 l}}{d t} & =-\lambda_{i} x_{2 i}+e_{i}^{0} u,
\end{aligned}
\]

где вектор $\left\{e_{i}^{0}\right\}$ связан с вектором $\left\{b_{i}^{0}\right\}$ неособым линейным преобразованием; $x_{2 i-1}$ – новые координаты, $x_{2 i}$ – скорости.

Рассмотрим сначала случай, когда все числа $\lambda_{i}$ в уравнениях (104.4) положительны. Тогда при $u \equiv 0$ невозмущенное движение $x_{s}=0$ системы (104.4) устойчиво, но не асимптотически. Предположим, что все $\lambda_{i}$ различны и все числа $e_{i}^{0}$ не равны нулю.

Тогда систему (104.4) можно стабилизировать до асимптотической устоћчивости диссипативной силой ${ }^{2}$ )
\[
e_{l}^{0} u=-\frac{\partial R^{0}}{\partial q_{i}^{\prime}} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $R^{0}$ – знакоположительная функция Релея
\[
R^{0}=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{0} x_{2 i}\right)^{2} .
\]

Действительно, функция
\[
V=H\left(q_{1}, \ldots, q_{n} ; q_{i}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}\right)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(\lambda_{i} x_{2 i-1}^{2}+x_{2 i}^{2}\right),
\]

равная полной энергии системы, является в этом случае определенно положительной. Ее производная $\frac{d V}{d t}$ в силу системы (104.4) при $u$
1) Четаев Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, 1955, стр. 97-99.
2) См. Пож а р и к и й Г. К., Об асимптотической устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем с частичной диссипацией. ПММ, т. XXVHL вып. 3. 1964.

из (104.3) удовлетворяет равенству
\[
\frac{d V}{d t}=-\left(\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{0} x_{2 i}\right)^{2}
\]

и является функцией знакопостояннои отрицательной Покажем, что поверхность
\[
\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{0} x_{2 i}=0,
\]

где $\frac{d V}{d t}=0$, не содержит целых движении $x_{s}(t)$ системы (104.4), отличных от $x_{s}=0$. Действительно, если бы это было не так, то выполнялись бы $n$ равенств:
\[
\left.\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{0} x_{2 i}(t) \equiv 0, \\
\frac{d^{k}}{d t^{k}}\left(\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{0} x_{2 i}(t)\right)=\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{0} \lambda_{i}^{k} x_{2 i}(t) \equiv 0 \\
(k=1, \ldots, n-1),
\end{array}\right\}
\]

и, в частности, при некотором $t=t^{*}$ система (104.8) имела бы не тривиальное решение $x_{2 i}\left(t^{*}\right)$. Но это невозможно, так как при нащих предположениях $\left(e_{i}^{0}
eq 0, \lambda_{i}
eq \lambda_{j} ; i
eq j ; i=1, \ldots, n ; j=1, \ldots, n\right)$ определитель
\[
\left|\begin{array}{llll}
e_{1}^{0}, & e_{2}^{0}, & \ldots, e_{n}^{0} \\
\lambda_{1} e_{1}^{0}, & \lambda_{2} e_{2}^{0}, & \ldots, \lambda_{n} e_{n}^{0} \\
\cdot & \cdot & \ldots & \cdot \\
\cdot & \cdot & \ldots & \cdot \\
\lambda_{1}^{n-1} e_{1}^{0}, & \lambda_{2}^{n-1} e_{2}^{0}, \ldots, \lambda_{n}^{n-1} e_{n}^{0}
\end{array}\right|
eq 0
\]

Итак, в данном случае выполнены все условия теоремы Д. Тем самым доказана асимптотическая устойчивость движения $x_{s}=0$ системы (104.4) при воздействии $u$, определенном равенством (104.5). Из теоремы Ляпунова об устойивости по первому приближению заключаем, что управляющее воздействие $u$ вида
\[
\left.\begin{array}{c}
b_{i} u=-\frac{\partial R}{\partial q_{i}^{\prime}} \quad(i=1, \ldots, n), \\
R=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i} q_{i}^{\prime}\right)^{2}
\end{array}\right\}
\]
стабилизирует до асимптотическоћ устоичивости нелинеиную систему (104.1).

Предположим теперь, что невозмущенное движение $x_{s}=0$ системы (104.4) при $a \equiv 0$ неустоичиво и, следовательно, среди чисел $\lambda_{i}$ есть отрицательные. Предположим при этом, что в одном из уравнении (104.4), где $\lambda_{k}<0$, имеем $e_{k}^{0}=0$. Тогда, очевидно, движение $x_{s}=0$ системы (104.1) нельзя сделать асимптотически устойчивым, как бы ни выбирать воздействие $и$ в форме
\[
u\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=v_{1} x_{1}+\ldots+v_{n} x_{n} .
\]

Действительно, система первого приближения (104.4) при выборе $a$ в виде (104.9) всегда будет иметь среди своих собственных чисел $\rho_{1}, \ldots, \rho_{2 n}$ по крайней мере одно положительное число $\rho=\lambda_{k}$. Отсюда по теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению заключаем, что движение $q_{s}=q_{s}^{\prime}=0$ системы (104.1) при $a$ (104.10) неустоичиво. Следовательно, в этом случае стабилизация системы (104.1) по первому приближению невозможна.

Подчас удается, налагая на систему (104.1) сверх и дополнительные гироскопические силы, изменить систему (104.4) первого приближения так, что движение $x_{s}=0$ этой системы становится устойчивым (неасимптотически), и при этом для новой системы первого приближения будут выполняться достаточные условия, при которых возможно упрочнение системы до асимптотическои устойчивости выбором воздействия $\boldsymbol{u}$ вида (104.5). Эти условия указаны теоремой 1 $\S 112$.

Гироскопические силы $Q_{i}$ описываются в линейном приближении $Q_{i}$ кососимметрической матрицей $\left\{g_{i j}^{0}\right\}\left(g_{i j}^{0}=-g_{j i}^{0}\right)$ ( $g_{i j}^{0}-$ постоянные),
\[
Q_{i}=\sum_{j=1}^{n} g_{i j}^{0} x_{2 j} .
\]

Поэтому уравнения (104.4) после наложения гироскопических сил принимают вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d x_{2 i-1}}{d t} & =x_{2 i}, \\
\frac{d x_{2 i}}{d t} & =-\lambda_{i} x_{2 i-1}+\sum_{j=1}^{n} g_{i j}^{0} x_{2 j}+e_{i}^{0} u \quad(i=1, \ldots, n) .
\end{aligned}
\]

Ограничимся в дальнейшем случаями, когда среди собственных чисел $\lambda_{i}$ нет нулей.

Вопрос о том, каким образом вычисляются гироскопические силы, обладающие указанными свойствами, а также вывод эффективных критериев, при которых это вычислеңие возможңо, здесь рассматривать не будем. Отметим лишь следующее. Согласно общей теории указанная математическая задача будет решена, если будет найдена кососимметрическая матрица $\left\{g_{i j}^{0}\right\}$, описывающая в линейном приближении гироскопические силы, такая, что при добавлении в уравнения (104.2) членов $g_{i j}^{0} q_{j}^{\prime}$ система первого приближения будет удовлетворять условиям общего положения ${ }^{1}$ ). Это можно сделать в широком классе случаев.

Простым примером такой ситуации является маятник с двумя степенями свободы ( $\xi, \eta$ ) в окрестности верхнего неустойчивого положения равновесия, управляемый моментом $и$, воздействующим на координату $\varphi$ (рис. 23).
Гироскопический эффект, возникающий при быстром вращении маховичка $m$, делает систему устойчивой. Пусть система уравнений первого приближения (104.1) записана в данном случае в виде
\[
\begin{array}{ll}
x_{1}^{\prime}=x_{2}, & x_{2}^{\prime}=x_{1}-\omega x_{4}, \\
x_{3}^{\prime}=x_{4}, & x_{4}^{\prime}=x_{3}+\omega x_{2}+u,
\end{array}
\]

где величины $x_{1}, x_{3}$ изображают координаты $\xi$ и $\eta$; величины $x_{2}, x_{4}$ – скорости $\xi^{\prime}$ и $\eta^{\prime}$, а величина $\omega$ пропорциональна скорости вращения маховичка $m$ вокруг стержня $l_{1}$.
Рис. 23.
Легко проверить, что в данном случае выполняются условия теоремы 1 § 112 .

В самом деле, матрица $W$ в данном случае имеет вид
\[
\left|\begin{array}{cccc}
0 & 0 & -\omega & 0 \\
0 & -\omega & 0 & -2 \omega+\omega^{3} \\
0 & 1 & 0 & 1-\omega^{2} \\
1 & 0 & 1-\omega^{2} & 0
\end{array}\right|,
\]

и ранг ее равен 4.
Итак, мы рассматриваем случаи, когда система (104.4) неустончива и ее, а следовательно, и исходную систему (104.1) нельзя стабилизировать выбором управления $и$ в виде (104.9). Однако после наложения на (104.1) гироскопических сил $Q_{i}$ получаем систему
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \Pi}{\partial q_{i}}=b_{i} u+Q_{i} \\
(i=1, \ldots, n),
\end{array}
\]
1) См. Дополнение IV, $\$ 112$.

для которой система первого приближения (104.10) приобретает свойтво стабилизируемости.

Оказывается в таких случаях система (104.4) приобретает обязательно еще одно важное свойство: поверхность
\[
R=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{0} x_{2 i}\right)^{2}=0
\]

не может при этом содержать целиком движений $x_{s}(t)(s==1, \ldots, 2 n)$ системы (104.10), отличных от $x_{s} \equiv 0(s=1, \ldots, 2 n)$. Такое же своћство приобретает система (104.1): поверхность
\[
R\left(q, q^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i} q_{i}^{\prime}\right)^{2}
\]

системы (104.1) не может при этом содержать целиком движений $\left\{q_{s}(t), q_{s}^{\prime}(t)\right\}$ системы (104.13), отличных от $\left.q_{i}(t)=q_{i}^{\prime}(t) \equiv 0^{1}\right)$. Здесь мы примем это утверждение без доказательства.

Теперь можно доказать следующее интересное свойство системы (104.13) в рассматриваемом случае.

Теорема 1. Пусть консервтивная система (104.1) в первом приближении (104.2) неустойчива и не стабилизируема воздействием и. Предположим, что при наложении подходящих гироскопических сил система (104.2) переходит в устойчивую и стабилизируемую систему (104.11). Тогда система (104.13) стабилизируется по первому приближению силой (104.3) в классе сил общей природы. При этом, однако, система (104.13) не только не может быть стабилизирована диссипативной силой (104.9) но, напротив, диссипативная сила (104.9) с частичной диссипацией обязательно раз рушает устойчивость, которой обладает система (104.13) при $u \equiv 0$.

Примечание. Теорема 1 утверждает, следовательно, что диссипативная сила $u$ (104.9) с частичной диссипацией обязательно разрушает устойчивость системы (104.13), если только гироскопическая устойчивая система может быть упрочнена по первому приближению до асимптотической устоичивости силой (104.3) общей природы.

Доказательствотеоремы 1. Итак, следует показать, что диссипативная сила (104.9) обязательно разрушает устойчивость положения равновесия $q_{i}=0$ системы (104.13), если только при наложении гироскопических сил $Q_{i}$ неустоћчивая система (104.1)
1) Красовский Н. Н., Об одном свойстве гироскопической стабилизируемости управляемой консервативной механической системы. Иэв. АН СССР, Техническая кибернетика, № 5, 1964.

переходит в стабилизируемую по первому приближению систему (104.13). Покажем это.

Функция $V=H\left(q, q^{\prime}\right)$ вида (104.6), где $H$ – полная энергия системы (104.1), в рассматриваемом случае является знакопеременной. Ее производная $\frac{d V}{d t}$ вдоль движений системы (104.12) при управлении $u$ (104.9) удовлетворяет равенству
\[
\frac{d V}{d t}=-2 R .
\]

Следовательно, величина $\frac{d V}{d t}$ является знакоотрицательной функциен и может обращаться тождественно в нуль лишь при $R\left(q(t), q^{\prime}(t)\right) \equiv 0$. Но, как только что отмечено, не существует движения $\left\{q_{i}(t), q_{i}^{\prime}(t)\right\}$, отличного от положения равновесия и такого, что на нем $R \equiv 0$. Следовательно, движении $\left\{q_{i}(t), q_{i}^{\prime}(t)\right\}$, отличных от $q_{i}=0, q_{i}^{\prime}=0$ $(i=1, \ldots, n)$, на которых $\frac{d V}{d t} \equiv 0$, нет. Это означает, что функция $V$ удовлетворяет в данном случае всем условиям теоремы о неустойчивости. Следовательно, неустойивость положения равновесия системы (104.13) установлена.

В заключение отметим, что этог результат для управляемых механических систем тесно связан с результатами Н. Г. Четаева ${ }^{1}$ ) о влиянии диссипативных сил на устойчивость равновесии механических систем.
1) См. монографию, упомянутую в сноске на стр. 342 .