Из результатов предыдущего параграфа следует, что все области неустоичивости уравнения (61.1) расположены в окрестности целых чисел. При этом в окрестности каждого целого числа $n$ расположена одна область неустойчивости. Эта область при $n$ четном ограничена корнями уравнения (61.3), а при $n$ нечетном-корнями уравнения (61.4). При $\mu=0$ каждая область неустоичивости стягивается в точку.

В настоящем параграфе мы рассматриваем один из приемов практического определения областей неустойивости, т. е. корней уравненин (61.3) и (61.4).
Допустим, что в уравнении (61.1)
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\lambda^{2}(1+\mu f(t, \mu)) x \doteq 0,
\]

где
\[
f(t, \mu)=f_{1}(t)+\mu f_{2}(t)+\ldots .
\]
$\lambda$ является корнем уравнения (61.3) или (61.4). Пусть для определенности речь идет о корне, обращающемся при $\mu=0$ в заданное
1) Необходимо иметь в виду, что период функции $f$ в уравнении (61.1) принят равным л. Если бы этот пернод равнялся какому-нибудь другому числу $\omega$, то корни уравнений (61.3) и (61.4) располагались бы вблизи чисел вида $\frac{n \pi}{\omega}$, где $n$-целое число.
2) Не следует думать, что каждая такая пара корней непременно разделяется соответствующим ей целым числом. Может случиться, что оба корни находятся по одну сторону от указанного числа.

целое число n. Как мы видели в предыдущем параграфе, при $\mu$, достаточно малом, указанный корень является аналитической функцией $\mu$, и мы можем писать:
\[
\lambda^{2}=n^{2}+\alpha_{1} \mu+\alpha_{2} \mu^{2}+\ldots
\]

При сделанном предположении уравнение (62.1), как это уже указывалось в предыдущем параграфе, имеет периодическое решение с периодом, равным $2 \pi$, если $n$ – число нечетное, и равным $\pi$, если $n$ – число четное. Будет ли указанное решение также являться аналитической функцией $\mu$ ?

Так как коэффициенты уравнения (62.1) являются аналитическими функциями $\mu$, то всякое рещение этого уравнения, начальные значения которого не зависят от $\mu$, будет аналитическим относительно $\mu$. То же самое будет справедливо и по отношению к любому решению, начальные значения которого зависят от $\mu$, но являются аналитическими функциями этой величины. Пусть $x=x(t)$ – решение уравнения (62.1), определяемое начальными условиями:
\[
x(0)=1, \dot{x}(0)=0 .
\]

Характеристическое уравнение для (62.1) при сделанном предположении относительно $\lambda$ имеет двоинной корень, равный 1 (при $n$ четном) или – 1 (при $n$ нечетном). Поэтому любое решение уравнения (62.1) и, в частности, рассматриваемое решение $x(t)$ будет либо периодическим, либо вида
\[
x(t)=t \varphi(t)+\psi(t),
\]

где $\varphi$ и $\psi$ – периодические функции времени ${ }^{1}$ ). В последнем случае функция $\varphi$ также определяет решение уравнения (62.1), которое и является искомым периодическим решением. Но в силу того, что начальные условия (62.3) решения (62.4) не зависят от $\mu$, это решение является аналитическим относительно $\mu$. Поэтому функция $\varphi(t)$, определяющая искомое периодическое решение, является аналитической относительно $\mu$.

Итак, мы показали, что в рассматриваемом случае уравнение (62.1) допускает периодическое решение, аналитическое относительно $\mu$. Если мы это решение умножим на $C(\mu)$, где $C(\mu)$ – произвольная неаналитическая функция $\mu$, то мы получим новое периодическое решение уравнения (62.1). Отсюда с очевидностью вытекает, что не всякое периодическое решение уравнения (62.1) является аналитиче-
1) Период этих функций равен $\pi$, если $n$ – число четное, и $2 \pi$, если $n$ – число нечетное. Вообще в этом параграфе, говоря о периодических решения уравнения (62.1), мы будем иметь в виду, не оговаривая это особо, что речь идет о решения с периодом $\pi$ или $2 \pi$ в зависимости от четности или нечетности $n$.

ским относительно $\mu$. Рассмотрим, однако, аналитическое периодическое решение. Пусть это решение имеет вид
\[
x=x_{0}(t)+\mu x_{1}(t)+\mu^{2} x_{2}(t)+\ldots,
\]

где $x_{i}$ – периодические функции времени, и ряд сходится при достаточно малом $\mu^{1}$ ). Чтобы сделать решение определенным, нужно будет указать некоторые дополнительные условия, определяющие произвольный постоянный множитель, входящий в это решение. Это может быть сделано следующим образом.

Если решение (62.5) не обращается в нуль при $t=0$, то, умножив его на подходящим образом выбранный множитель, мы можем получить решение, обращающееся при $t=0$ в наперед заданную величину
\[
M=M_{0}+\mu M_{1}+\mu^{2} M_{2}+\ldots
\]

Другими словами, в рассматриваемом случае уравнение (62.1) допускает периодическое решение вида (62.5), в котором функции $x_{i}(t)$ удовлетворяют начальным условиям
\[
x_{i}(0)=M_{i},
\]

где $M_{i}$ – постоянные, удовлетворяющие лишь единственному условию, что ряд (62.6) сходится. Мы можем поэтому первые $N$ постоянных $M_{i}$, где $N$-сколь угодно большое число, выбирать совершенно произвольно.

Если решение (62.5) обращается в нуль при $t=0$, то производная от него по $t$ при $t=0$ будет отличной от нуля, и мы можем потребовать, чтобы выполнялись начальные условия
\[
\dot{x}_{i}(0)=N_{i},
\]

где $N_{i}$ – произвольные постоянные, для которых ряд
\[
N_{0}+\mu N_{1}+\mu^{2} N_{2}+\ldots
\]

сходится.
Для того чтобы в каждом конкретном случае выяснить, каким из начальных условий (62.7) или (62.8) можно удовлетворить, достаточно определить функцию $x_{0}$. Если $x_{0}(0)
eq 0$, то решение (62.5) при $\mu$, достаточно малом, не будет обращаться в нуль при $t=0$, и мы будем иметь начальные условия (62.7). Если же $x_{0}(0)=0$, но $\dot{x}_{0}(0)
eq 0$, то можно удовлетворить условиям (62.8). Если $x_{0}(0)=$ $=\dot{x}_{0}(0)=0$, то, как будет видно ниже из вида $x_{0}(t)$, будем иметь тождественно $x_{0}(t)=0$. Этот случай может быть исключен, так как, разделив, в случае необходимости, решение (62.5) на подходящую степень $\mu$, мы можем всегда добиться, чтобы оно имело свободный член.
1) Радиус сходимости этого ряда совпадает с радиусом сходимости левой части уравнения (62.1).

Условия (62.7) или (62.8) однозначно определяют решение (62.5), если мы только не имеем дело с тем исключительным случаем, когда все решения уравнения (62.1) являются периодическими. Этот случай возможен, так как характеристическое уравнение имеет двукратный корень, которому могут соответствовать две группы решений (§52). В этом последнем случае, для того чтобы решение (62.5) было вполне определенным, необходимо задать начальные значения как самого решения, так и его производной

Установив это, подставим в уравнение (62.1) вместо $\lambda^{2}$ ряд (62.2), и постараемся ему удовлетворить формальным рядом вида (62.5) с периодическими коэффициентами. Из предыдущего следует, что такой ряд всегда найдется, если только коэффициенты $\alpha_{i}$ в (62.2) выбраны определенным образом, а именно таким, что ряд (62.2) удовлетворяет либо уравнению (61.3), либо уравнению (61.4). При этом можно будет удовлетворить либо начальным условиям (62.7), либо начальным условиям (62.8), либо тем и другим одновременно. Рассмотрим те уравнения, которым должны удовлетворять функции $x_{i}(t)$.
Подставляя в (62.1) ряды (62.2) и (62.5), будем иметь:
\[
\sum_{i=0}^{\infty} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \mu^{i}+\left(n^{2}+\sum_{j=1}^{\infty} \alpha_{j} \mu^{j}\right)\left(1+\sum_{j=1}^{\infty} f_{j} \mu^{j}\right) \sum_{i=0}^{\infty} x_{i} \mu^{i}=0 .
\]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\mu$, получим следующие дифференциальные уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{0}}{d t^{2}}+n^{2} x_{0}=0, \\
\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}+n^{2} x_{1}=-n^{2} f_{1} x_{0}-\alpha_{1} x_{0}, \\
\frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}+n^{2} x_{2}=-\left(n^{2} f_{1}+\alpha_{1}\right) x_{1}-\left(n^{2} f_{2}+\alpha_{1} f_{1}\right) x_{0}-\alpha_{2} x_{0}
\end{array}\right\}
\]

и вообще
\[
\frac{d^{2} x_{k}}{d t^{2}}+n^{2} x_{k}=-\left(n^{2} f_{1}+\alpha_{1}\right) x_{k-1}-\alpha_{k} x_{0}+F_{k}\left(t, x_{0}, \ldots, x_{k-2}\right) \text {, }
\]

где $F_{k}$– линеинне функции от $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-2}$ с периодическими коэффициентами. Эти функции зависят от постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k-1}$ и не содержат постоянной $\alpha_{k}$.

Уравнения (62.10) и (62.11) дают возможность последовательно определять неизвестные функции $x_{k}$. Однако для того чтобы эти функции получались периодическими, необходимо, чтобы правые части указанных уравнений удовлетворяли некоторым условиям. Эти условия дают возможность определить неизвестные коэффициенты $\alpha_{i}$ в выражении для $\lambda^{2}$. Покажем, как это делается.

Общее решение для $x_{0}$ имеет. вид
\[
x_{0}=A_{0} \cos n t+B_{0} \sin n t \text {. }
\]

Оно всегда является периодическим и содержит две произвольные постоянные $A_{0}$ и $B_{0}$. Обращаемся к уравнению, определяющему $x_{1}$. Правая часть этого уравнения является периодической функцией $t$. Для того чтобы это уравнение допускало периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы разложение Фурье правой части не содержало членов с $\cos n t$ и $\sin n t$. Найдем коэффициенты при этих членах.

Так как, по условию, функция $f_{1}$ является периодической с периодом $\pi$, то эта функция разлагается в ряд Фурье по косинусам и синусам целых (четных) кратностей $t$. Но тогда функции $f_{1} \cos n t$. и $f_{1} \sin n t$ также разлагаются по синусам и косинусам целых (четных, если $n$ – четное, и нечетных, если $n$ – число нечетное) кратностей $t$, и мы можем писать:
\[
\left.\begin{array}{l}
n^{2} f_{1} \cos n t=\sum_{m=1}^{\infty}\left(a_{m} \cos m t+b_{m} \sin m t\right), \\
n^{2} f_{1} \sin n t=\sum_{m=1}^{\infty}\left(c_{m} \cos m t+d_{m} \sin m t\right),
\end{array}\right\}
\]

причем
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{n}=\frac{\beta}{2}, \quad b_{n}=\frac{\gamma}{2}, \\
c_{n}=\frac{\gamma}{2}, \quad d_{n}=-\frac{\beta}{2},
\end{array}\right\}
\]

где $\beta$ и $\gamma$-коэффициенты при $\cos 2 n t$ и $\sin 2 n t$ в разложении функции $n^{2} f_{1}{ }^{1}$ ).

Из формул (62.12) и (62.13) сразу находим коэффициенты при $\cos n t$ и $\sin n t$.в правой части уравнения для $x_{1}$. Приравнивая эти коэффициенты нулю, получаем следующие уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\beta+2 \alpha_{1}\right) A_{0}+\gamma B_{0}=0, \\
\gamma A_{0}+\left(2 \alpha_{1}-\beta\right) B_{0}=0,
\end{array}\right\}
\]

которым должны удовлетворять величины $A_{0}$ и $B_{0}$. Для того чтобы эти уравнения имели решение, отличное от тривиального $A_{0}=B_{0}=0$, необходимо и достаточно, чтобы величина $\alpha_{1}$ удовлетворяла квадратному
1) Разложение Фурье функции $f_{1}(t)$ не содержит свободного члена, так как, по условию, среднее значение функции $f(t)$ равно нулю. Вследствие этого члены, содержащие cos $n t$ и sin $n t$, в выражениях (62.12) могут появиться лишь за счет членов с $\cos 2 n t$ и $\sin 2 n t$ в разложении функции $f_{1}(t)$.

уравнению
\[
\left(2 \alpha_{1}+\beta\right)\left(2 \alpha_{1}-\beta\right)-\gamma^{2}=0 .
\]

Отсюда находим:
\[
\alpha_{1}= \pm \frac{1}{2} \sqrt{\beta^{2}+\gamma^{2}} .
\]

Здесь необходимо рассмотреть два случая в зависимости от того, будет ли $\beta^{2}+\gamma^{2}
eq 0$ или $\beta^{2}+\gamma^{2}=0$. Рассмотрим сначала первый из указанных случаев. В этом случае уравнение для $\alpha_{1}$ имеет два простых вещественных корня. Приравняем $\alpha_{1}$ одному из этих корней. Так как он является простым, то он не обращает в нуль хотя бы один из миноров определителя системы (62.14), вследствие чего только одна из величин $A_{0}$ и $B_{0}$ может быть выбрана произвольно. Допустим, что этой величиной является $A_{0}$, для чего необходимо, чтобы она получилась отличной от нуля. Это условие будет, например, наверняка выполнено, если $\gamma
eq 0$. При сделанном предположении величина $x_{0}(0)$ будет отличнон от нуля. Поэтому на основании вышесказанного мы можем при вычислении функций $x_{i}(t)$ удовлетворить начальным условиям (62.7). Мы можем, в частности, положить $A_{0}=1$. Тогда уравнения (62.14) дадут для $B_{0}$ определенное значение.

Выбрав, таким образом, $\alpha_{1}, A_{0}$ и $B_{0}$, мы будем иметь, что уравнение для $x_{1}$ будет допускать периодическое решение. Но тогда и общее решение этого уравнения, имеющее вид
\[
x_{1}=x_{1}^{*}(t)+A_{1} \cos n t+B_{1} \sin n t \text {. }
\]

где $x_{1}^{*}$ – частное периодическое решение, а $A_{1}$ и $B_{1}$ – произвольные постоянные, будет также периодическим. Величину $A_{1}$ мы можем положить равной нулю. Это будет обозначать, что в условиях (62.7) величина $M_{1}$ принята равной $x_{1}^{*}(0)$.

Переходим теперь к вычислению дальнейших приближений. Приравнивая нулю коэффициенты при $\cos n t$ и $\sin n t$ в уравнении для $x_{2}$, получим систему линейных неоднородных уравнений
\[
\left.\begin{array}{r}
2 A_{0} \alpha_{2}+\gamma B_{1}+2 p_{2}=0, \\
2 B_{0} \alpha_{2}+\left(2 \alpha_{1}-\beta\right) B_{1}+2 q_{2}=0,
\end{array}\right\}
\]

где $p_{2}$ и $q_{2}$ – вполне определенные постоянные, представляющие собой коэффициенты при $\cos n t$ и $\sin n t$ в зыражении $n^{2} f_{1} x_{1}^{*}+\left(\alpha_{1} f_{1}+n^{2} f_{2}\right) x_{0}$. Определитель $\Delta$ этой системы, равный
\[
\Delta=2\left(2 \alpha_{1}-\beta\right) A_{0}-2 \gamma B_{0} \equiv 8 \alpha_{1} A_{0}=8 \alpha_{1},
\]

отличен от нуля, и потому эта система однозначно определяет величины $\alpha_{2}$ и $B_{1}$.

После того как $\alpha_{2}$ и $B_{1}$ вычислены указанным способом, уравнение для $x_{2}$ будет допускать только периодические решения, и мы можем написать:
\[
x_{2}=x_{2}^{*}(t)+A_{2} \cos n t+B_{2} \sin n t,
\]

где $x_{2}^{*}(t)$ – некоторая периодическая функция, а $A_{2}$ и $B_{2}$ – произвольные постоянные. Постоянную $A_{2}$, так же как и $A_{1}$, можно положить равной нулю. Что же касаегся постоянной $B_{2}$, то она определится вместе с постоянной $\alpha_{3}$ из условия периодичности функции $x_{3}$.

Действительно, допустим, что постоянные $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k-1}$ и функции $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-1}$ уже определены и что указанные функции вышли периодическими. При этом мы можем написать:
\[
x_{k-1}=x_{k-1}^{*}(t)+B_{k-1} \sin n t,
\]

где $x_{k-1}^{*}$ – некоторая периодическая функция, а $B_{k-1}$ – оставшаяся еще неопределенной постоянная, которая должна быть вычислена вместе с постоянной $\alpha_{k}$ из условия перисдичности функции $x_{k}$. Эти последние условия мы получим, приравнивая нулю коэффициенты при $\cos n t$ и $\sin n t$ в правой части уравнения для $x_{k}$. Таким путем мы, как легко видеть, получим следующие уравнения:
\[
\left.\begin{array}{r}
2 A_{0} \alpha_{k}+\gamma B_{k-1}+2 p_{k}=0, \\
2 B_{0} \alpha_{k}+\left(2 \alpha_{1}-\beta\right) B_{k-1}+2 q_{k}=0,
\end{array}\right\}
\]

где $p_{k}$ и $q_{k}$ – коэффициенты при $\cos n t$ и $\sin n t$ в выражении – $n^{2} f_{1} x_{k-1}^{*}+F_{k}$, в котором $F_{k}$, являясь, как указывалось выше, линейной функцией величин $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-2}$ с периодическими коэффициентами, будет вполне определенной периодической функцией времени. Уравнения (62.15) однознаяно определяют величины $\alpha_{k}$ и $B_{k-1}$.

Мы предположили, что уравнения (62.14) дают для $A_{0}$ величину, отличную от нуля. Допустим, что $A_{0}=0$ и, следовательно, $B_{0}
eq 0$.

В этом случае $x_{0}(0)=0$, но $\dot{x}_{0}(0)
eq 0$, и поэтому вместо начальных условии (62.7) будут фигурировать начальные условия (62.8). В связи с этим в выражениях для $x_{k}$ можно будет отбрасывать члены с $\sin n t$, и эти выражения будут кметь вид
\[
x_{k}=x_{k}^{*}+A_{k} \cos n t \text {, }
\]

где $A_{k}$ – произвольные постоянные. Отбрасывание членов $B_{k} \sin n t$ равносильно предположению, что в начальных условиях (62.8) величины $N_{k}$ приняты равными $\dot{x}_{k}^{*}(0)$. Постоянная $A_{k}$, так же как и в предыдущем случае, определится вместе с постоянной $\alpha_{k+1}$ из условия периодичности $x_{k+1}$.

Таким образом, в рассматриваемом случае, исходя из какогонибудь корня квадратного уравнения для $\alpha$, мы получим одно и только одно формальное разложение вида (62.2) для $\lambda^{2}$, при котором уравнение (62.1) допускает формальное периодическое решение вида (62.5), удовлетворяющее начальным условиям (62.7) или (62.8). Рассмотрев оба значения для $\alpha_{1}$, мы получим два различных формальных разложения для $\lambda^{2}$ и периодического решения: Но, с другой стороны, по доказанному, для каждого целого $n$ существует два и только два значения для $\lambda^{2}$, ограничивающие соответствующую область неустончивости и представляемые сходящимися рядами вида (62.2), при которых уравнение (62.1) допускает гериодическое решение вида (62.5), удовлетворяющее начальным условиям (62.7) или (62.8). Отсюда непосредственно следует, что полученные выше формальные разложения для $\lambda^{2}$ как раз и представляют искомые границы области неустойчивости и, следовательно, сходятся.

Отсюда, однако, не вытекает, что разложения (62.5) для периодического решения будут также сходиться. Для того чтобы последнее действительно имело место, необходимо, чтобы ряды (62.6) и (62.9) сходились. Вопрос о том, будут ли эти условия выполнены при нашем выборе величин $M_{k}$ и $N_{k}$, требует еще дальнейшего исследования. Однако, как мы уже отмечали выше, первые $N$ величин $M_{k}$ и $N_{k}$, где $N$ – сколь угодно большое число, могут быть выбраны совершенно произвольно и, следовательно, так, как это сделано выше. Поэтому сумма первых $N$ членов формального ряда (62.5) отличается от действительного периодического решения на величину порядка малости (относительно $\mu$ ) выше $N$. Мы могли бы, конечно, вести вычисления таким образом, чтобы получить заведомо сходящиеся ряды. Для этого, например, достаточно было бы в выражениях для $x_{k}$, вместо того чтобы отбрасывать члены $A_{k} \cos n t$ или $B_{k} \sin n t$, выбирать постоянные $A_{k}$ и $B_{k}$ таким образом, чтобы при $k \geqslant 1$ выполнялись либо условия $x_{k}(0)=0$, либо условия $\ddot{x}_{k}(0)=0$. Однако при этом вычисления значительно усложнятєя, так как каждый лишний член в каком-нибудь приближении значительно усложняет выражение для последующего приближения. В таком усложнении вычислений нет никакой необходимости, так как для нащей задачи периодическое решение уравнения (62.1) играет лишь вспомогательную роль и его точное выражение нас не интересует.

Допустим теперь, что $\beta^{2}+\gamma^{2}=0$, что будет иметь место в том случае, когда разложение функции $f_{1}(t)$ не содержит членов с $\cos 2 n t$ и $\sin 2 n t$. В этом случае квадратное уравнение для $\alpha_{1}$ будет иметь двойной корень (равный нулю), который обращает в нуль все миноры определителя системы уравнений (62.14). Эти уравнения не определяют поэтому никакой зависимости между $A_{0}$ и $B_{0}$. Однако не следует думать, что $A_{0}$ и $B_{0}$ могут бьть взяты совершенно произвольно. Эти величины, так же как и в случае $\beta^{2}+\gamma^{2}
eq 0$, вообще говоря, связаны между собой, но эта зависимость установится при рассмотрении следующих приближений.

В самом деле, рассмотрим уравнение для $x_{1}$. Правая часть этого уравнения содержит множитель $x_{0}$. Поэтому общее решение этого уравнения, которое согласно выбору $\alpha_{1}$ будет периодическим, имеет

вид
\[
x_{1}=A_{1} \cos n t+B_{1} \sin n t+A_{0} \varphi_{1}(t)+B_{0} \psi_{1}(t),
\]

где $\varphi_{1}$ и $\psi_{1}$ – периодические функции, а $A_{1}$ и $B_{1}$ – произвольные постоянные.

Рассмотрим теперь уравнение для $x_{2}$ и приравняем нулю коэффициенты при $\cos n t$ и $\sin n t$ в правой части этого уравнения. Полученные таким образом уравнения будут необходимо однородными относительно $A_{0}$ и $B_{0}$ и не будут содержать $A_{1}$ и $B_{1}$. Эти уравнения будут иметь вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(P-\alpha_{2}\right) A_{0}+Q B_{0}=0, \\
R A_{0}+\left(S-\alpha_{2}\right) B_{0}=0,
\end{array}\right\}
\]

где $P, Q, R$ и $S$ – некоторые определенные постоянные. Действительно, так как $\alpha_{1}=0$, то единственным членом в правой части уравнения для $x_{2}$, не содержащим $A_{0}$ и $B_{0}$, будет $-n^{2} f_{1}\left(A_{1} \cos n t+B_{1} \sin n t\right)$, а этот член по условию не содержит ни $\cos n t$, ни $\sin n t$.

Приравняв нулю определитель уравнений (62.16), мы получим квадратное уравнение для $\alpha$. Если это уравнение имеет простые корни, то для \”каждого из них получится впольіе определенныи ряд для $\lambda^{2}$, совершенно так же как и в случае $\beta^{2}+\gamma^{2}
eq 0$. При этом можно будет положить либо $A_{1}=0$, либо $B_{1}=0$ в зависимости от того, какая из величин $A_{0}$ и $B_{0}$, определяемая уравнениями (62.16), заведомо отлична от нуля. Вторая из этих постоянных вместе с $\alpha_{3}$ определится из условия периодичности $x_{3}$. Уравнения для этих постоянных получатся линеиными и дадут для них вполне определенные значения. Аналогично вычисляются и дальнейшие приближения. Вычисления при этом будут совершенно такими же, как и в случае $\beta^{2}+\gamma^{2}
eq 0$. Разница будет заключаться лишь в том, что входящие в $k$-е приближение постоянные $A_{k}$ или $B_{k}$ будут определяться из условия периодичности не $(k+1)$-го, а $(k+2)$-го приближения.

Если окажется, что и уравнение для $\alpha_{2}$ имеет кратные корни, то исследование усложняется. Мы не будем здесь рассматривать этих более сложных случаев в общем виде, так как в каждом отдельном частном случае их исследование не представит никаких трудностен. Как бы разнообразны ни были эти частные случаи, мы можем на основании вышесказанного быть всегда уверенными, что всегда получатся, по крайней мере, два формальных разложения для интересующей нас величины $\lambda^{2}$. Можно показать, на чем мы здесь не останавливаемся, что таких разложений никогда не получится больше двух и что, следовательно, они и будут искомыми разложениями и будут сходиться. Может, конечно, случиться, как это вытекает из общей теории, что оба разложения совпадут. Характер вычислений во всех случаях мало отличается от рассмотренных выше более простых случаев и достаточно выясняется на приводимых ниже примерах.