Докажем еще одну теорему Лппунова о неустойчивости.
Теорема Г. Если существует функция $V$ такая, что ее полная производная по $t$ в силу уравнений возмущенного движения имеет в области (13.1) вид
\[
\frac{d V}{d t}=\lambda V+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $\lambda$-положительная постоянная, а $W$ или тождественно обращается в нуль или представляет собой знакопостоянную функцию, а если в последнем случае функция $V$ не является знакопостоянной, знака, противоположного с $\mathrm{W}$, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство. Допустим для определенности, что функция $W$ положительна. Тогда из (15.1) получаем:
\[
\frac{d V}{d t} \geqslant \lambda V \text {. }
\]

Так же как и при доказательстве теоремы В, выберем начальные (при $t=t_{0}$ ) значения $x_{s}^{0}$ решения $x_{s}(t)$ таким образом, чтобы одновременно выполнялись неравенства
\[
\left|x_{s}^{0}\right| \leqslant \eta, \quad V\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)>0,
\]

где $\eta$ сколь угодно малое положительное число. Покажем, что это решение необходимо покидает в некоторый момент времени область (13.1). Допустим противное: что неравенства (13.1) все время выполняются. Тогда все время будет выполняться неравенство (15.2) и, поскольку $V\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$ положительно, производная $\frac{d V}{d t}$ будет все время оставаться положительной и, следовательно, $V\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right]$ будет функциен возрастающей. Но тогда из (15.2) находим:
\[
\frac{d V}{d t} \geqslant \lambda V\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right] \geqslant \lambda V\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)
\]

и, следовательно,
\[
V \geqslant \lambda V\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)\left(t-t_{0}\right),
\]

что невозможно, так как в области (13.1) функция $V$ ограничена. Таким образом, для рассматриваемого решения неравенства (13.1) необходимо нарушаются, что и доказывает неустоћчивость невозмущенного движения.