Итак, в особенном случае невозмущенное движение принадлежит к семейству установившихся движений, которое в переменных $x, x_{s}$ определяется формулами (33.2), а в переменных $x, \xi_{s}$, приводящих уравнения возмущенного движения к виду (31.5), – формулами
\[
x=c, \quad \xi_{1}=\ldots=\xi_{n}=0 .
\]

В особенном случае невозмущенное движение всегда устойчиво. Устоичивость при этом не будет асимптотической. Однако всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, не стремясь при $t \rightarrow \infty$ к невозмущенному движению, стремится все же к одному из установившихся движений вышеуказанного семейства. Другими словами, если пользоваться переменными $x$, $\xi_{s}$, то для всякого решения $x(t), \xi_{s}(t)$ уравнений возиущенного движения, для которого начальные значения $x^{0}$ и $\xi_{s}^{0}$ достаточно малы, справедливы равенства
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=\alpha, \quad \lim _{t \rightarrow \infty} \xi_{s}(t)=0,
\]

где $\alpha$ – некоторая определенная постоянная (зависящая от взятого возмущенного движения).

Точно такими же свойствами, как и невозмущенное движение, обладают все движения семейства (34.1), достаточно близкие к невозмущенному.

Это предложение является частным случаем более общей теоремы Ляпунова, которую мы здесь и приводим ${ }^{1}$ ).

Допустим, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d y_{i}}{d t}=Y_{i}\left(t, x_{1}, \ldots,\right. & \left.x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \\
& (i=1,2, \ldots, k), \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \\
& (s=1,2, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]

где $Y_{i}, X_{s}$ – ограниченные функции $t$ при всех $t \geqslant 0$ и аналитические функции переменных $y_{i}, x_{s}$ в некоторой не зависящей от $t$ окрестности начала координат, разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка. При этом имеют место соотношения
\[
Y_{i}\left(t, 0, \ldots, 0, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)=X_{s}\left(t, 0, \ldots, 0, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)=0,
\]
т. е. функции $Y_{i}, X_{s}$ обращаются в нуль при равенстве нулю одних лишь переменных $x_{s}$.
Коэффициенты $p_{s j}$ таковы, что уравнение

имеет корни только с отрицательными вещественными частями.
Уравнения (34.2) допускают частное решение:
\[
y_{1}=c_{1}, \ldots, y_{k}=c_{k}, \quad x_{1}=\ldots=x_{n}=0,
\]

определяющее семенство установившихся движений, зависящее от $k$ произвольных постоянных $c_{i}$ и содержащее исследуемое невозмущенное движение. Если $X_{s}$ и $Y_{i}$ не содержат $t$ и $k=1$, то система (34.2) переходит в систему вида (31.5) в особенном случае.

Теорема. Если уравнения возмущенного движения имеют вид (34.2), то невозмущенное движение устойчиво. При этом всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, ст ремится с неограниченным воз растанием в ремени к одному из установившихся движений семейства (34.4).
1) См. Малкин И. Г., Об устойчивости движения в смысле Ляпунова, Матем. сб., т. 3, вып. 1, ‘1938. Теорема Ляпунова обобщена нами в этой работе, из которой мы заимствуем приводимоз здесь доказательство, соверщенно отличающееся от доказательства Ляпунова.

Теми же свойствами обладают все движения семейства (34.4), если только численные значения гараметров $c_{i}$ достаточно малы.

Доказательство. Исследуем сначала невозмущенное движение.

По свойству корней уравнения (34.3) существует определенноположительная квадратичная фориа $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ переменных $x_{s}$, удовлетворяющая уравнению
\[
\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\cdots+p_{s n} x_{n}\right)=-\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2} .
\]

Преобразуем вторую группу уравнений (34.2) при помощи подстановки
\[
\xi_{s}=e^{\alpha t} x_{s},
\]

где $\alpha$-достаточно малая положительная постоянная. Преобразованная система примет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \xi_{s}}{d t}=p_{s 1} \xi_{1}+\ldots+\left(p_{s s}+\alpha\right) \xi_{s}+\ldots+p_{s n} \xi_{n}+ \\
+e^{\alpha t} X_{s}\left(t, e^{-\alpha t \xi_{1}}, \ldots, e^{-\alpha t \xi_{n}}, y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Составим полную производную по времени функции $V\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)$ в силу уравнений (34.6). Будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\frac{d V}{d t}=-\sum_{s=1}^{n} \xi_{s}^{2}+ & 2 \alpha V\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)+ \\
& +e^{\alpha t} \sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial \xi_{s}} X_{s}\left(t, e^{-\alpha t} \xi_{1}, \ldots, e^{-\alpha t} \xi_{n}, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)
\end{aligned}
\]

Положительную постоянную $\alpha$ можно выбрать настолько малои, чтобы форма
\[
-\sum_{s=1}^{n} \xi_{s}^{2}+2 \alpha V\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)
\]

была определенно-отрицательной С другой стороны, так как функции $X_{s}$ обращаются в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ и по отношению к $t$ они ограничены, то в области
\[
t \geqslant 0,\left|\xi_{s}\right| \leqslant \beta,\left|y_{i}\right| \leqslant \beta \quad(i=1,2, \ldots, k ; s=1,2, \ldots, n)
\]

будет выполняться неравенство
\[
\begin{array}{l}
\left|e^{\alpha t} \sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial \xi_{s}} X_{s}\left(t, e^{-\alpha t \xi_{1}}, \ldots, e^{-\alpha t} \xi_{n}, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)\right| \lessdot \\
<P\left\{\left|\xi_{1}\right|+\ldots+\left|\xi_{n}\right|\right\}^{2}, \\
\end{array}
\]

если только число $\beta$ достаточно мало. При этом число $\boldsymbol{\beta}$ можно выбрать настолько малым, чтобы число $P$ было сколь угодно малым. Это вытекает из того обстоятельства, что функции $X_{s}$ не содержат в своих разложениях членов ниже второго порядка, и поэтому все члены левой части неравенства (34.8), имея по крайней мере второй порядок относительно $\xi_{s}$, будут иметь общий порядок не ниже третьего.

Поэтому на основании леммы $2 \S 7$ число $\beta$ можно выбрать настолько малым, чтобы в области (34.7) функция $\frac{d V}{d t}$ принимала только отрицательные значения. Мы будем предполагать, что число $\beta$ денствительно выбрано указанным образом.

Установив это, рассмотрим произвольное решение $\xi_{s}(t), y_{i}(t)$ уравнений возмущенного движения с начальными значениями (при $t=0) \xi_{s}^{0}, y_{i}^{0}$, удовлетворяющими неравенствам
\[
\left|\xi_{s}^{0}\right| \leqslant \eta, \quad\left|y_{i}^{0}\right| \leqslant \eta \quad(s=1,2, \ldots, n ; l=1,2, \ldots, k),
\]

где $\eta<\beta$.
Для этого решения условия
\[
\left|\xi_{s}(t)\right| \leqslant \beta, \quad\left|y_{i}(t)\right| \leqslant \beta
\]

будут выполняться по крайней мере для значений $t$, близких к начальному. Пусть $t$-такой момент времени, для которого условия (34.10) еще выполняются. Тогда во всем промежутке $(0, t)$ выражение $\frac{d V}{d t}$ будет отрицательным, и мы можем написать:
\[
V\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=V\left(\xi_{1}^{0}, \ldots, \xi_{n}^{0}\right)+\int_{0}^{t} \frac{d V}{d t} d t<V\left(\xi_{1}^{0}, \ldots, \xi_{n}^{0}\right) .
\]

Так как форма $V$ определенно-положительна, то из (34.11) вытекает, что в рассматриваемом промежутке времени выполняются неравенства
\[
\left|\xi_{s}(t)\right|<A \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

причем число $A$ можно сделать сколь угодно малым подходящим выбором величин $\xi_{1}^{0}, \ldots, \xi_{n}^{0}$, т. е. если число $\eta$ в неравенствах (34.9) взять достаточно малым.

Из (34.12) вытекает, что в указанном промежутке времени переменные $x_{s}$ удовлетворяют неравенствам
\[
\left|x_{s}(t)\right|<A e^{-\alpha t} \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти неравенства показывают, что для функций $Y_{i}$ в указанном промежутке справедливы оценки
\[
\left|Y_{l}\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t), y_{1}(t), \ldots, y_{k}(t)\right)\right|<A M e^{-\alpha t},
\]

где $M$ – некоторое положительное число, так как эти функции обрацаются в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ и ограничены относительно $t$. Следовательно, первая группа уравнений (34.2), из которой вытекает
\[
y_{i}(t)=y_{i}^{0}+\int_{0}^{t} Y_{i}\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t), y_{1}(t), \ldots, y_{k}(t)\right) d t,
\]

дает:
\[
\begin{array}{l}
\left|y_{i}(t)\right|<\left|y_{i}^{0}\right|+A M \int_{0}^{t} e^{-\alpha t} d t= \\
=\left|y_{i}^{0}\right|+\frac{A M\left(-e^{-\alpha t}+1\right)}{\alpha}<\left|y_{i}^{0}\right|+\frac{A M}{\alpha} \\
\quad(i=1,2, \ldots, k) .
\end{array}
\]

Пусть теперь $\varepsilon$ – произвольное сколь угодно малое число, которое мы во всяком случае будем считать меньше $\beta$. Выберем число $\eta$ в неравенствах (34.9) таким образом, чтобы число $A$ было меньше $\varepsilon$ и чтобы правая часть неравенств (34.15) была также меньше $\varepsilon$. Тогда из (34.12) и (34.15) вытекает, что во всем промежутке времени, в течение которого выполняются неравенства (34.10), будут также выполняться неравенства
\[
\left|\xi_{s}(t)\right|<\varepsilon,\left|y_{i}(t)\right|<\varepsilon(s=1,2, \ldots, n ; i=1,2, \ldots, k) .
\]

Но так как $\varepsilon<\beta$, то отсюда следует, что неравенства (34.10), а вместе с ними и неравенства (34.16) выполняются при всех значениях $t$. Действительно, если бы условия (34.10), которые в начальный момент времени выполняются со знаками неравенства, когданибудь нарушились, то в некоторый момент времени хотя бы одна из величин $\left|y_{i}(t)\right|,\left|\xi_{s}(t)\right|$ достигла бы значения $\beta$. Это, однако, невозможно, так как в этот момент времени условия (34.16) еще оставались бы в силе и, следовательно, все величины $\left|\xi_{s}(t)\right|,\left|y_{i}(t)\right|$ были бы меньше $\varepsilon$.

Итак, если в начальныи момент времени выполняются условия (34.9), то в дальнейшем все время будут выполняться условия (34.16). Следовательно, невозмущенное движение устоичиво по отношению к переменным $\xi_{s}, y_{i}$. Но тогда оно и подавно устойчиво по отношению к переменным $x_{s}, y_{i}$.

Покажем теперь, что всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, асимптотически приближается при $t=\infty$ к одному из движений семейства (34.4), т. е. что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x_{s}(t)=0, \quad \lim _{t \rightarrow \infty} y_{i}(t)=\alpha_{i},
\]

где $\alpha_{l}$ – некоторые постоянные.

Первая группа соотношений (34.17) непосредственно вытекает из (34.13). Для доказательства второй группы замечаем, что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} y_{i}(t)=y_{i}^{0}+\int_{0}^{\infty} Y_{i}\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t), y_{1}(t), \ldots, y_{k}(t)\right) d t .
\]

Интегралы, стоящие в правых частях (34.18), сходятся на основании оценок (34.14), которые остаются справедливыми, по доказанному, при всех значениях $t$. Отсюда непосредственно следует справедливость второй группы соотношений (34.17), причем величины $\alpha_{i}$ равны правым частям равенств (34.18).

Докажем теперь, что такими же сводствами, как и невозмущенное движение, обладают все движения семейства (34.4), если только величины $\left|c_{i}\right|$ достаточно малы. С этой целью, приняв какое-нибудь движение семенства (34.4) за невозмущенное, составим соответствующие дифференциальные уравнения возмущенного движения, положив в $(34.2$ )
\[
u_{i}=y_{i}-c_{i} \quad(i=1,2, \ldots, k),
\]

где $u_{i}$ – новые переменные. Тогда получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d u_{i}}{d t}=U_{i}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}, u_{1}, \ldots, u_{k}\right)+\alpha_{l 1} x_{1}+\ldots+\alpha_{i n} x_{n}, \\
\frac{d x_{s}}{d t}=\left(p_{s 1}+c_{s 1}\right) x_{1}+\ldots & +\left(p_{s n}+c_{s n}\right) x_{n}+ \\
& +\bar{X}_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}, u_{1}, \ldots, u_{k}\right),
\end{array}\right\}
\]

где $U_{i}, \vec{X}_{s}$ – функции такого же типа, как и $Y_{i}, X_{s}$, а величины $\alpha_{i j}$ и $c_{s \sigma}$ являются функциями от $t$ и $c_{1}, \ldots, c_{k}$. По отношению к $t$ функции $\alpha_{i j}$ и $c_{s \sigma}$ ограничены, а по отношению к $c_{1}, \ldots, c_{k}$ они аналитичны и обращаются в нуль при $c_{1}=\ldots=c_{k}=0$. Поэтому при $\left|c_{i}\right|$ достаточно малых величины $\alpha_{i j}$ и $p_{s \sigma}$ будут сколь угодно малы.

Уравнения (34.19) отличаются от уравнений (34.2) только тем, что в их правых частях добавились новые члены, линеиные относительно $x_{s}$. Присутствие этих членов в правых частях первой группы уравнений (34.19) ничего не меняет в предыдущих рассуждениях, так как мы в них нигде не пользовались тем обстоятельством, что разложения функций $Y_{i}$ не содержат линеиннх членов. Важно было только, чтобы функции $Y_{l}$ обращались в нуль при равенстве нулю одних лишь переменных $x_{s}$, что для первой группы уравнений (34.19) по-прежнему выполняется.

Присутствие новых линейных относительно $x_{s}$ членов во второй группе уравнений (34.19) также ничего не изменит, если только квадратичная форма
\[
-\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}+2 \alpha V+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(c_{s 1} x_{1}+\ldots+c_{s n} x_{n}\right)
\]

будет по-прежнему определенно-отрицательной, а это действительно будет иметь место, если только величины $\left.\mid c_{i}\right\rceil$ достаточно малы, что мы и будем предполагать.

Таким образом, к уравнениям (34.19) применимы все предыдущие рассуждения, и следовательно, при достаточно малых $\left|c_{i}\right|$ для движений (34.4) справедливы те же заключения, что и для первоначального невозмущенного движения $x_{1}=\ldots=x_{n}=y_{1}=\ldots=y_{k}=0$. Таким образом, теорема доказана.

Доказанная теорема полностью исчерпывает исследование особенного случая, вместе с ним исследование критического случая одного нулевого корня характеристического уравнения. В следующем параграфе мы начнем рассмотрение второго критического случая, когда. характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней при остальных корнях с отрицательными вещественными частями.