Рассмотрим теперь систему уравнений возмущенного движения вида
\[
\begin{array}{l}
\frac{d y_{i}}{d t}=Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k}+ \\
+X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(i=1,2, \ldots, k ; s=1,2, \ldots, n) \text {, } \\
\end{array}
\]

где $Y_{i}$ и $X_{s}$ – ряды по степеням переменных $y_{1}, \ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}$, начинающиеся членами не ниже второго порядка и сходящиеся в области (91.2). Коэффициенты этих разложений, а также коэффициенты $p_{s j}$ и $r_{s j}$ являются непрерывными и ограниченными функциями $t$. При этом, как и в предыдущем параграфе, предполагается, что для системы линейных уравнений
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

выполняются условия устойчивости по первому приближению, установленные в § 88 .

Для возможности применения к уравнениям (92.1) теоремы предыдущего параграфа необходимо, очевидно, привести эти уравнения к такому виду, для которого разложения функций
\[
r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k}+X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, 0, \ldots, 0\right)
\]

начинались бы членами достаточно высокого порядка. C этой целью положим:
\[
x_{s}=\xi_{s}+u_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

где $u_{s}$ – целые рациональные функции переменных $y_{1}, \ldots, y_{k}$, коэффициенты которых являются ограниченными функциями времени. Тогда уравнения (92.1) примут вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d y_{i}}{d t}=Y_{i}^{*}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)= \\
& =Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, \xi_{1}+u_{1}, \ldots, \xi_{n}+u_{n}\right), \\
\frac{d \xi_{s}}{d t}=p_{s 1} \xi_{1}+\ldots+p_{s n} \xi_{n}+\Xi_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\begin{aligned}
\Xi_{s}=p_{s 1} u_{1} & +\ldots+p_{s n} u_{n}+r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k}+ \\
& +X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, \xi_{1}+u_{1}, \ldots, \xi_{n}+u_{n}\right)- \\
& -\frac{\partial u_{s}}{\partial t}-\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial u_{s}}{\partial y_{l}} Y_{l}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, \xi_{1}+u_{1}, \ldots, \xi_{n}+u_{n}\right) .
\end{aligned}
\]

При этом имеем:
\[
\begin{array}{l}
\Xi_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, 0, \ldots, 0\right)=p_{s 1} u_{1}+\ldots+p_{s n} u_{n}+ \\
\quad+r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k}+X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right)- \\
\quad-\frac{\partial u_{s}}{\partial t}-\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial u_{s}}{\partial y_{i}} Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right) .
\end{array}
\]

Задача заключается, следовательно, в таком выборе функций $u_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)$ чтобы разложения выражений (92.5) начинались членами достаточно высокого порядка. Рассмотрим для этого систему уравнении с частными производными
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u_{s}}{\partial t}+\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial u_{s}}{\partial y_{i}} Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right)= \\
=p_{s 1} u_{1}+\ldots+p_{s n} u_{n}+r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k}+ \\
+X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n)
\end{array}
\]

и попытаемся удовлетворить этим уравнениям формальными рядами вида
\[
u_{s}=u_{s}^{(1)}\left(t, y_{1}, \cdots, y_{k}\right)+u_{s}^{(2)}\left(y_{1}, \ldots, y_{k}\right)+\ldots,
\]

где $u_{s}^{(m)}$ – формы $m$-го порядка переменных $y_{1}, \ldots, y_{k}$ с ограниченными коэффициентами. Подставляя эти ряды в (92.6), приравнивая члены первого порядка и учитывая, что разложения функций $Y_{i}$ начинаются членами не ниже вторөго порядка, найдем:
\[
\frac{\partial u_{s}^{(1)}}{\partial t}=p_{s 1} u_{1}^{(1)}+\ldots+p_{s n} u_{n}^{(1)}+r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k} .
\]

Аналогично приравнивая члены $m$-го порядка, получим:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u_{s}^{(m)}}{\partial t}=p_{s 1} u_{1}^{(m)}+\ldots+p_{s n} u_{n}^{(m)}+U_{s}^{(m)}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \\
(m=2,3, \ldots),
\end{array}
\]

где $U_{s}^{(m)}$ – некоторые формы $m$-го порядка переменных $y_{1}, \ldots, y_{k}$, зависящие от тех $u_{s}^{(j)}$, для которых $j<m$. Если все формы $u_{s}^{(j)}$ при $j<m$ уже вычислены и вышли с ограниченными коэффициентами, то формы $U_{s}^{(m)}$ будут известными и будут также обладать ограниченными коэффициентами.

Уравнения (92.8) и (92.9) служат для последовательного определения форм $u_{s}^{(m)}$. Если мы вычислим все эти формы до какого-нибудь заданного порядка $N$ включительно, то, положив в подстановке (92.3)
\[
u_{s}=u_{s}^{(1)}+u_{s}^{(2)}+\ldots+u_{s}^{(N)},
\]

мы приведем уравнения (92.1) к виду (92.4), для которого разложение функции $\Xi_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, 0, \ldots, 0\right)$ начинается членами не ниже $(N+1)$-го порядка. Уравнения (92.4) будут, следовательно, иметь нужный вид.
Переходим к вопросу о вычислении форм $u_{s}^{(m)}$. Полагая
\[
u_{s}^{(m)}=\sum A_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}(t) y_{1}^{m_{1}} \ldots y_{k}^{m_{k}} \quad\left(m_{1}+\ldots+m_{k}=m\right),
\]

будем, очевидно, иметь:
\[
\begin{array}{r}
\frac{d A_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}}{d t}=p_{s 1} A_{1}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}+\ldots+p_{s n} A_{n}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}+ \\
+C_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}(t) \quad(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $C_{s}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ будут известными функциями времени, если формы $u_{s}^{(1)}, u_{s}^{(2)}, \ldots, u_{s}^{(m-1)}$ уже вычислены. Эти коэффициенты будут притом ограниченными функциями времени, если такими вышли коэффициенты форм $u_{s}^{(1)}, \ldots, u_{s}^{(m-1)}$. Но при $m_{1}+\ldots+m_{n}=1$ каждая из функ-коэффициентов $r_{s i}$, будет известной и ограниченной. Отсюда следует, что из уравнений (92.8) и (92.9) можно последовательно определять формы $u_{s}^{(m)}$ нужного вида, если только уравнения
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+f_{s}(t)
\]

допускают ограниченные решения при любом выборе ограниченных и непрерывных функций $f_{s}(t)$. Но так как для уравнений (92.2) выполняются критерии § 88, то, как было показано в этом параграфе (критерий О. Перрона), все решения уравнений (92.11) ограничены. Таким образом, существует бесчисленное множество разложений (92.7) с ограниченными коэффициентами, формально удовлетворяющими уравнениям (92.6). Для нашей цели пригодно любое из этих разложений. И так как нам нужно лишь конечное число членов в этих разложениях, то вопрос о их сходимости не представляет для нас интереса.

Итак, допустим, что в качестве функций $u_{s}$ в преобразовании (92.3) взяты первые $N$ членов разложений (92.7). Отбросим в правых частях первой группы уравнений (92.4) все члены, содержащие $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$, и рассмотрим полученную таким образом «укороченную» систему
\[
\begin{array}{c}
\frac{d y_{i}}{d t}=Y_{i}^{0}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)=Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \\
(i=1,2, \ldots, k) .
\end{array}
\]

Допустим, что число $N$ выбрано настолько большим, что невозмущенное движение $y_{1}=\ldots=y_{k}=0$ системы (92.12) устойчиво либо асимптотически устоичиво, либо неустойчиво при любом выборе членов порядка выше, чем $N$. Тогда на основании теоремы предыдущего параграфа невозмущенное движение для системы (92.4) будет соответственно устоичиво, асимптотически устоичиво или неустойчиво. То же самое будет справедливо и для исходной системы (92.1), так как по своћнству преобразования (92.3) устоћчивость по отношению к переменным $y_{i}$ и $\xi_{s}$ равносильна устоичивости по отношению к переменным $y_{i}$ и $x_{s}$.
Так как
\[
Y_{i}^{0}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)=Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right),
\]

т8 полученный результат приводит к следующей теореме:
Теорема. Допустим, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид (92.1). Составим састему уравнений с частными производными (92.6), которой всегда можно удовлетворить формальными рядами вида
\[
u_{s}=\sum A_{s}^{\left(m_{1} \cdots m_{k}\right)}(t) y_{1}^{m_{1}} \ldots y_{k}^{m_{k}} \quad\left(m_{1}+\ldots+m_{k} \geqslant 1\right)
\]

с ограниченными коэффициентами. Подставим эти ряды вместо величин $x_{s}$ в первую группу уравнений системы (92.1), после чего они примут вид (92.12), где $Y_{i}^{0}$ – формальные ряды. расположенные по степеням $y_{1}, \ldots, y_{k}$ с ограниченными коэффициентами.

Тогда, если невозмущенное движение $y_{1}=\ldots=y_{k}=0$ для системы (92.12) ${ }^{1}$ ) устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво, и это определяется поизвольным, но конечным числом $N$ первых членов, вне зависимости от членов более высокого порядка системы (92.12), то невозмущенное движение $y_{1}=\ldots=y_{k}=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ для системы (92.1) соот ветственно устойчиво, асимптотически устойчиво или неустоӥчиво.

При практическом применении теоремы необходимо задаться числом $N$. Очевидно, что увеличение числа $N$ не изменит в уравнениях (92.12) членов порядка, не превосходящего первоначального значения $N$. Поэтому при выполнении вычислений следует сначала положить $N=1$, а затем если в этом будет необходимость, это число увеличивать. При этом само собой разумеется, что общее решение линеннои системы (92.2) предполагается известным, что соответствует существу задачи. Тогда решение уравнении (92.10) приведется к квадратурам.

Примечание. Допустим, что в уравнениях (92.1) все коэффициенты $r_{s j}$ равны нулю и что разложение функцай $X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, y_{k}, 0, \ldots, 0\right)$ начинается членами $p$-го $(p>1)$ порядка. Тогда, как легко видеть, можно считать, что разложение функций $u_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right.$ ) начинается членами также $p$-го порядка. Допустим, что наинизший порядок членов, зависящих от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, в разложениях функций $Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ есть $q$, а наинизший порядок этих членов относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$ есть $r \leqslant q$. Тогда очевидно, что в «укороченной» системе уравнений (92.12), которая решает задачу устоћчивости, влияние второй группы уравнєний (92.1) скажется лишь на членах порядка, не ниже чем $q-r+p r$. Поэтому, если задача устоичивости для «укороченнои»» системы решается членами порядка, не выше чем $N$, то вторая группа уравнений не будет иметь влияния на ответ и может быть отброшена, если выполняется условие
\[
p \geqslant \frac{N+1-q+r}{r} .
\]

Отсюда следует, что когда правые части первои группы уравнений (91.1) не содержат линейных членов, то основная теорема преды-
I) То есть тех уравненнй, которые получатся из уравнений (92.12), если в последних взять произвольно больщое, но конечное число членов.

дущерө дараграфа өетанется в силе, если наименьшии порядок $p$ членов разложений функций $X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, 0, \ldots, 0\right)$ удовлетворяет не условию $p \geqslant N+1$, а условию (92.13), которое может оказаться значительно слабее.