Мы переходим теперь к изложению достаточных условий, при которых может быть решена задача II об оптимальной стабилизации для линейной управляемой системы
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+q_{s 1} u_{1}+\ldots+q_{s r} u_{r} \\
(s=1, \ldots, n)
\end{array}
\]

при условии минимума интеграла
\[
I=\int_{t_{0}}^{\infty}\left\{\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j}(t) x_{i}(t) x_{j}(t)+\sum_{i, j=1}^{r} \beta_{i j}(t) u_{i}(t) u_{j}(t)\right\} d t,
\]

где формы $\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j}(t) x_{i}(t) x_{j}(t)$ и $\sum_{i, j=1}^{r} \beta_{i j} u_{i}(t) u_{j}(t)$, как и выше, предполагаются определенно-положительными.
1) См. работы в сноске на стр. 476.

Согласно § 111 для существования решения этой задачи достаточно, чтобы уравнения (111.11) имели ограниченные решения $c_{i j}(t)$ такие, что форма
\[
V^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i, j=1}^{n} c_{i j}(t) x_{i} x_{j}
\]

является определенно-положительной
Как и в общей задаче об устойчивости, будем различать случаи установившегося движения $x_{s}=0$, когда величины $p_{i j}, q_{i j}, \alpha_{i j}$ и $\beta_{i j}$ будем полагать постоянными, и общие случаи неустановившегося движения $x_{s}=0$, когда $p_{i j}(t), q_{i j}(t), \alpha_{i j}(t), \beta_{i j}(t)$ – переменные функции времени $t$.

Обсудим сначала случай установившегося невозмущенного движения $x_{s}=0$. Оптимальная функция Ляпунова $V^{0}$ (112.3) ищется в этом случае в виде квадратичной формы
\[
V^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i, j=1}^{n} c_{i j} x_{i} x_{j}
\]
c постоянными коэффициентами $c_{i j}$. Дифференциальные уравнения (111.11) для $c_{i j}$ обращаются в систему алгебраических уравнений (111.13). Управляющие воздействия $u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ имеют при этом вид
\[
u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=v_{1 j} x_{1}+\ldots+v_{n j} x_{n},
\]

где $v_{s j}$ – постоянные.
В обсуждаемом случае важную роль играет матрица $W$, построенная следующим образом:
\[
W=\left\{Q, P Q, \ldots, P^{n-1} Q\right\} .
\]

Здесь $Q$ – матрица $\left\{q_{s j}\right\}(s=1, \ldots, n ; j=1, \ldots, r), P$ – матрица $\left\{p_{s j}\right\}(s=1, \ldots, n ; j=1, \ldots, n)$. В частности, если система (112.1) управляется лишь одним воздействием $u=u_{1}$, то матрица $Q$ превращается в вектор-столбец
\[
Q=\left[\begin{array}{l}
q_{11} \\
q_{21} \\
\vdots \\
q_{n 1}
\end{array}\right],
\]

матрицы $P^{k} Q$ также обращаются в векторы-столбцы .
\[
P^{k} Q=\left[\begin{array}{cccc}
p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1 n} \\
p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2 n} \\
\cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
p_{n 1} & p_{n 2} & \cdots & p_{n n}
\end{array}\right]^{k} \cdot\left[\begin{array}{c}
q_{11} \\
q_{21} \\
\cdot \\
\cdot \\
\cdot \\
q_{n 1}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
w_{1 k+1} \\
w_{2 k+1} \\
\cdot \\
\cdot \\
w_{n k+1}
\end{array}\right]
\]

и матрица $W$ оказывается $n \times n$-иатрицей
\[
W=\left[\begin{array}{cccc}
w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1 n} \\
w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2 n} \\
\cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
\cdots & \cdot & \cdots & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
w_{n 1} & w_{n 2} & \cdots & w_{n n}
\end{array}\right]
\]

В общем случае матрица $W$ имеет $n$ строк и $n \times r$ столбцов. Оказывается, что возможность решения задачи II об оптимальнои стабилизации системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) определяется свойствами матрицы $W$. В частности, достаточные условия разрешимости задачи даются следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть ранг матрицы $W$ равен п. Тогда справедливы следующие заключения:
1. Задача II для системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) имеет решение, причем существуют квадратичная форма $V^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ (112.4) и управляющие воздействия $u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ вида (112.5), удовлетворяющие всем условиям теоремы IV.
2. Управляющие воздействия $a_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ (112.5), определяемые оптимальной фуккцией Ляпунова $V^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ (112.4) в соответствии с равенствами (111.19), являются единственным решением задачи.

Мы не будем приводить здесь доказательство первого утверждения теоремы 1. Это доказательство можно найти в работах Р. Е. Калмана, Я. Курцвейля и Ф. М. Кирилловой ${ }^{1}$ ). Проверим здесь лишь справедливость второго утверждения.
1) Калман P. E., Об общей теории систем управления, Труды I конгресса ИФАК, т. 1, Изд. АН СССР, 1961; Contributions to the theory of optimal control Sumposium Internacional de Ecnaciones Differenciales Ordinarias, Publ. por La Univ. Nac. Automa de Mexico y La Socizded. Matem. Mexicana, 1961 ; Курцвей й Я., К аналитическому конструированию регуляторов. Автоматнка и телемеханика, т. XXII, №6, 1961; Кириллова Ф. М., К задаче об аналитическом конструировании регуляторов ПММ, т. XXV, вып. 3, 1961.

Итак, пусть в соответствии с пунктом 1 теоремы функция $V^{0}$ вида (112.4) является оптимальной функцией Ляпунова и в совокупности с функциями $u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ вида (112.5) удовлетворяет всем условиям теоремы IV. Но при известной функции $V^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ управляющие воздейтвия $u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ определяются единственным образом из условии (111.7) минимума выражения $B\left[V^{0} ; x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right]$ по $u_{j}$. Если выбрать какие-либо непрерывные управляющие воздействия $u_{j}^{*}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
eq u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ в некоторой, пусть даже очень малой области $S$ изменения величин $x_{s}$, то в этой области выражение $B\left[V^{0} ; x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}^{*}, \ldots, u_{r}^{*}\right]$ будет положительным. Но тогда согласно рассуждениям на стр. 488 йтеграл
\[
J=\int_{t_{0}}^{\infty}\left\{\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i}^{*}[t] x_{j}^{*}[t]+\sum_{i, j=1}^{r} \beta_{i j} u_{i}^{*}[t] u_{j}^{*}[t]\right\} a t
\]

будет больше, чем величина $V^{0}\left(x_{1}^{*}\left[t_{0}\right], \ldots, x_{n}^{*}\left[t_{0}\right]\right)$ для всех движений $x_{s}^{*}[t]$, проходящих через область $S$ при $t \geqslant t_{0}$. Это означает, что управление $u_{j}^{*}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ не является оптимальным. Тем самым доказана единственность оптимального управления $u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. найденного по функции $V^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ из уравнении (111.19).

Матрицы вида $P^{k} Q$ были рассмотрены в связи с задачами об оптимальном регулировании P. В. Гамкрелидзе ${ }^{1}$ ). В частности, условие независимости векторов $Q, P Q, \ldots, P^{n-1} Q$ в случае, когда линейная система (112.1) управляется одним воздеиствием $u=u_{1}$, было названо им «условием общего положения». Это условие играет важную роль в теории линейных управляемых систем. Позднее свонства матрицы $W$ в связи с проблемами управления были изучены во многих работах ${ }^{2}$ ).

Перейдем теперь к обсуждению случаев неустановившегося невозмущенного движения $x_{s}=0$. В этих случаях разрешимость задачи II об оптимальной стабилизации связана со свойствами матрицы $W(t)$, которая имеет следующий вид:
\[
W(t)=\left\{L_{1}(t), \ldots, L_{n}(t)\right\} .
\]

Здесь $L_{k}(t)$ – матрицы, определенные рекуррентными соотношениями
\[
L_{1}(t)=Q(t), \ldots, L_{k+1}(t)=\frac{d L_{k}(t)}{d t}-P(t) L_{k}(t),
\]
1) См. монографию Л. С. Понтрягина и др. в сноске на стр. 475.
2) См., например, работы в сноске на стр. 492.

причем, естественно, предполагается, что элементы $p_{s k}(t)$ и $q_{s j}(t)$ матриц $P(t)$ и $Q(t)$ имеют все производные, необходимые для построения матрицы $W(t)$.

Достаточные условия разрешимости задачи II для системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) даются следующей теоремой. равномерно непрерывные $и$ ограниченные производные до ( $n-1$ )-го порядка включительно, и пусть существует число $\tau>0$, удовлетворяющее следующему условию:

На любом отрезке $t \leqslant \vartheta \leqslant t+\tau$ найдется точка $\vartheta^{*}(t)$ такая, что в матрице $W\left(\vartheta^{*}\right)$ можно выделить $n$ линейно независимых векто ров-столбиов
\[
w^{\left({ }_{k}\right)}\left(\vartheta^{*}\right)=\left\{w_{s i_{k}}\left(\vartheta^{*}\right)\right\} \quad(k=1, \ldots, n ; s=1, \ldots, n)
\]

причем квадратичная форма
\[
\Phi\left(t, l_{1}, \ldots, l_{n}\right)=\sum_{k, j=1}^{n}\left(\sum_{s=1}^{n} w_{s i_{k}}\left(\vartheta^{*}(t)\right) w_{s i_{j}}\left(\vartheta^{*}(t)\right) l_{k} l_{j}\right.
\]

определенно-положительна.
Тогда справедливы следующие заключения:
1. Задача II для системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) имеет решение, причем существуют квадратичная борма $V^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ (112.3) и управляющие воздействия
\[
u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=v_{1 j}(t) x_{1}+\ldots+v_{n j}(t) x_{n},
\]

удовлетворяющие всем условиям теоремы IV.
2. Управляющие воздействия $u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)(112.10)$, on peделяемые оптимальной функцией Ляпунова $V^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ (112.3) в соответствич с равенствами (111.19), являются единственным решением задачи.

Справедливость теоремы 2 мы также примем без доказательства. Это доказательство можно найти в работе Н. Н. Красовского ${ }^{1}$ ).