Допустим теперь, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $X_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ в области
\[
\left|x_{s}\right| \leqslant H
\]

разлагаются в ряды по степеням $x_{1}, \ldots, x_{n}$, начинающиеся членами не ниже второго порядка.

Теоремы, установленные в предыдущем параграфе, дают возможность чрезвычайно просто разрешить основную задачу об установлении необходимых и достаточных условий, при которых вопрос о5 устойивости для системы (22.1) разрешается рассмотрением лишь уравнений первого приближения:
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

независимо от того или иного частного выбора функций $X_{s}$.
Имеют место следующие основные теоремы, установленные А. М. Ляпуновым.

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения системы первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, каковы бы ни были члены высших порядков в дифференцильных уравнениях возмущенного дважения.

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму $V\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\ldots, x_{n}$ ), определяемую уравнениеи
\[
\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right)=-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right) .
\]

На основании теоремы 2 предыдущего параграфа такая форма $V$ непременно существует и будет обязательно знакоопределенной положительной. Составим производную этой формы по времени в силу полной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения (22.1). Будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\frac{d V}{d t}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+\right. & \left.p_{s n} x_{n}+X_{s}\right)= \\
& =-\left(x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\right)+\sum_{s=1}^{n} X_{s} \frac{\partial V}{\partial x_{s}} .
\end{aligned}
\]

Так как разложение функции $X_{s} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}$ начинается членами не ниже третьего порядка, то функция $\frac{d V}{d t}$ на основании леммы $4 \S 7$ будет знакоопределенной отрицательной, каковы бы ни были функции $X_{s}$. Следовательно, функция $V$ удовлетворяет всем условиям теоремы Б и невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Теорема, таким образом, доказана.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения системы первого приблшжения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво при любом выборе членов порядка выше первого в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.
Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму
\[
V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

определяемую уравнением
\[
\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right)=\alpha V+\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right),
\]

где $\alpha$ — некоторое положительное число. На основании теоремы 3 предыдущего параграфа такая форма $V$ обязательно существует и эта форма может принимать положительные значения. Составляя производную этой формы по времени в силу полной системы дифференциальных уравнений (22.1), получим:
\[
\frac{d V}{d t}=\alpha V+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где
\[
W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}+\sum_{s=1}^{n} X_{s} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}
\]

на основании леммы 4 § 7 является функцией определенно-положительной при любом выборе функций $X_{s}$.

Форма $V$ является, таким образом, функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы Г. Следовательно, невозмущенное движение при любом выборе функций $X_{s}$ неустойчиво, и теорема доказана.

Теоремы 1 и 2 обратимы. Невозмущенное движение будет устойчиво при любом выборе функций $X_{s}$ только тогда, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет корни только с отрицательными вещественными частями и при этом устойчивость будет асимптотической. В то же время неустойивость при любом выборе функций $X_{s}$ будет иметь место только тогда, когда среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, а именно: имеет место следующая теорема Ляпунова, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 3. Ecли характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю, то члены высших порядков в уравнениях возмущенного движения кожно выбрать так, чтобы получить по желанит как устойчивость, так и неустойчивость.

Как мы видели в $\S 19$, если характеристическое уравнение имеет часть корней с нулевыми, а остальные с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение в первом приближении может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Теорема 3 показывает, что какой бы из этих случаев ни имел место, вопрос об устойчивости решается исключительно членами выше первого порядка в уравнениях возмущенного движения, так что движение, устойчивое в первом приближении, может оказаться в действительности неустойчивым, и наоборот.

Таким образом, все случаи, которые могут представиться при исследовании задачи устойчивости, когда уравнения возмущенного движения имеют вид (22.1), можно разбить на две категории: на случаи некритические, когда задача решается уравнениями первого приближения, и случаи критические, когда требуется рассмотрение членов более высоких порядков. Критические случаи имеют место тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение не имеет корней с положительными вещественными частями и имеет корни с вещественными частями, равными нулю. С точки зрения математической, критические случаи можно рассматривать как исключение. Но с точки зрения механической эти случаи являются особенно важными, как в этом легко убедиться из рассматриваемых ниже примеров.