Допустим теперь, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
$$\begin{array}{c}\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n+X_s(x_1,\dots ,x_n)\\ (s=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

где $X_s(x_1,\dots ,x_n)$ в области
$$\left|x_s\right|⩽H$$

разлагаются в ряды по степеням $x_1,\dots ,x_n$, начинающиеся членами не ниже второго порядка.

Теоремы, установленные в предыдущем параграфе, дают возможность чрезвычайно просто разрешить основную задачу об установлении необходимых и достаточных условий, при которых вопрос о5 устойивости для системы (22.1) разрешается рассмотрением лишь уравнений первого приближения:
$$\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n(s=1,2,\dots ,n)$$

независимо от того или иного частного выбора функций $X_s$.
Имеют место следующие основные теоремы, установленные А. М. Ляпуновым.

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения системы первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, каковы бы ни были члены высших порядков в дифференцильных уравнениях возмущенного дважения.

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму $V(x_1,\dots$ $\dots ,x_n$ ), определяемую уравнениеи
$$\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_s}(p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n)=-(x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2).$$

На основании теоремы 2 предыдущего параграфа такая форма $V$ непременно существует и будет обязательно знакоопределенной положительной. Составим производную этой формы по времени в силу полной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения (22.1). Будем иметь:
$$\begin{array}{rl}\frac{dV}{dt}=\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_s}(p_{s1}{x}_1+\dots +& p_{sn}{x}_n+X_s)=\\ & =-(x_1^2+\cdots +x_n^2)+\sum _{s=1}^n{X}_s\frac{\partial V}{\partial x_s}.\end{array}$$

Так как разложение функции $X_s\frac{\partial V}{\partial x_s}$ начинается членами не ниже третьего порядка, то функция $\frac{dV}{dt}$ на основании леммы $4\mathrm{\S }7$ будет знакоопределенной отрицательной, каковы бы ни были функции $X_s$. Следовательно, функция $V$ удовлетворяет всем условиям теоремы Б и невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Теорема, таким образом, доказана.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения системы первого приблшжения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво при любом выборе членов порядка выше первого в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.
Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму
$$V(x_1,\dots ,x_n),$$

определяемую уравнением
$$\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_s}(p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n)=\alpha V+(x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2),$$

где $\alpha$ — некоторое положительное число. На основании теоремы 3 предыдущего параграфа такая форма $V$ обязательно существует и эта форма может принимать положительные значения. Составляя производную этой формы по времени в силу полной системы дифференциальных уравнений (22.1), получим:
$$\frac{dV}{dt}=\alpha V+W(x_1,\dots ,x_n),$$

где
$$W(x_1,\dots ,x_n)=x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2+\sum _{s=1}^n{X}_s\frac{\partial V}{\partial x_s}$$

на основании леммы 4 § 7 является функцией определенно-положительной при любом выборе функций $X_s$.

Форма $V$ является, таким образом, функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы Г. Следовательно, невозмущенное движение при любом выборе функций $X_s$ неустойчиво, и теорема доказана.

Теоремы 1 и 2 обратимы. Невозмущенное движение будет устойчиво при любом выборе функций $X_s$ только тогда, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет корни только с отрицательными вещественными частями и при этом устойчивость будет асимптотической. В то же время неустойивость при любом выборе функций $X_s$ будет иметь место только тогда, когда среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, а именно: имеет место следующая теорема Ляпунова, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 3. Ecли характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю, то члены высших порядков в уравнениях возмущенного движения кожно выбрать так, чтобы получить по желанит как устойчивость, так и неустойчивость.

Как мы видели в $\mathrm{\S }19$, если характеристическое уравнение имеет часть корней с нулевыми, а остальные с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение в первом приближении может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Теорема 3 показывает, что какой бы из этих случаев ни имел место, вопрос об устойчивости решается исключительно членами выше первого порядка в уравнениях возмущенного движения, так что движение, устойчивое в первом приближении, может оказаться в действительности неустойчивым, и наоборот.

Таким образом, все случаи, которые могут представиться при исследовании задачи устойчивости, когда уравнения возмущенного движения имеют вид (22.1), можно разбить на две категории: на случаи некритические, когда задача решается уравнениями первого приближения, и случаи критические, когда требуется рассмотрение членов более высоких порядков. Критические случаи имеют место тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение не имеет корней с положительными вещественными частями и имеет корни с вещественными частями, равными нулю. С точки зрения математической, критические случаи можно рассматривать как исключение. Но с точки зрения механической эти случаи являются особенно важными, как в этом легко убедиться из рассматриваемых ниже примеров.