Рассмотрим сначала систему второго порядка
\[
\frac{d x}{d t}=f(x)+a y, \quad \frac{d y}{d t}=b x+c y .
\]
Характеристическое уравнение соответствующей линейной системы
\[
\frac{d x}{d t}=h x+a y, \frac{d y}{d t}=b x+c y
\]
имеет вид
\[
\rho^{2}-(h+c) \rho+h c-a b=0 .
\]
1) Еругин Н. П., О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений. ПММ, т. ХІV, вып. 5 , 1950; Качественное исследование интегральных кривых дифференциальных уравнений. ПММ, т. XIV, вып. 6, 1950.
2) Малкин И. Г., Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования. ПММ, т. XVI, вып. 3, 1952.
3) Лурье А. И., Постников В. Н., К теории устойчивости регулируемых систем. ПмМ, т. VIII, вып. 3,1944 .’
Корни этого уравнения будут иметь отрицательные вещественные части при всех значениях $h$, удовлетворяющих условиям
\[
h+c<0, \quad h c-a b>0 .
\]
Поэтому, полагая $f(x)=x h(x)(x
eq 0)$, будем по условию задачи иметь:
\[
h(x)+c<0, \quad h(x) c-a b>0 \quad(x
eq 0) .
\]
Мы будем, кроме того, предполагать, что при $|x|>\xi$, где $\xi$-достаточно большое число, выполняется неравенство
\[
h(x) c-a b>\varepsilon \quad(|x|>\xi) .
\]
где $\varepsilon$-положительное число, которое может быть сколь угодно малым.
Рассмотрим функцию
\[
\begin{aligned}
2 V & =2 c \int_{0}^{x} f(x) d x+\left(c^{2}-a b\right) x^{2}-2 a c x y+a^{2} y^{2}= \\
& \equiv 2 \int_{0}^{x}[h(x) c-a b] x d x+(c x-a y)^{2} .
\end{aligned}
\]
На основании (99.2) эта функиия определенно-положительна. Составляя производную этой функции по $t$ в силу уравнений (99.1), найдем:
\[
\frac{d V}{d t}=-a b c x^{2}+c f^{2}(x)+\left(c^{2}-a b\right) x f(x) .
\]
Полученное выражение, обращаясь в нуль при $x=0$, при $x
eq 0$ может принимать только отрицательные значения при любом выборе функции $f(x)$, удовлетворяющей условию (99.2). Действительно, при условии (99.2) и при $x
eq 0$ будем иметь:
\[
\frac{d V}{d t}=(h+c)(c h-a b) x^{2}<0,
\]
что и доказывает наше утверждение.
Таким образом, при любом выборе функции $f(x)$, удовлетворяющей условию (99.2), $V$ будет являться для уравнений (99.1) функцией Ляпунова. Отсюда немедленно вытекает устойчивость равновесия $x=y=0$. Легко видеть, что при этом устойчивость будет асимптотическон, несмотря на то, что функция $\frac{d V}{d t}$ является не знакоопределеннои, а только знакопостоянной. Действительно, $\frac{d V}{d t}$ обращается в нуль только при $x=0$ и, следовательно, интегральные кривые во всех точках, не лежащих на оси $y$, пересекают семейство замкнутых кривых $V=$ const снаружи внутрь. Но то же самое будет, очевидно, иметь место и в точках, лежащих на оси $y$, так как при $x=0$, как это следует из уравнений (99.1), $\frac{d x}{d t}
eq 0$. Разница будет лишь в том, что на оси $у$ интегральные кривые, входя внутрь кривых $V=$ const, будут при этом их касаться ${ }^{1}$ ).
Итак, при любом выборе функции $f(x)$, удовлетворяющей условию (99.2), равновесие $x=y=0$ асимптотически устойиво. И это будет иметь место, каковы бы ни были начальные значения величин $x$ и $y$, так как, учитывая (99.3), можно показать, что кривые $V(x, y)=c$ при любом $c$ замкнуты. Это можно также показать и не обращаясь к геометрической интерпретации ${ }^{2}$ ).
Достаточно рассмотреть лишь случаи, когда в уравнениях (99.1) $a
eq 0$, так как при $a=0$ асимптотическая устойивость движения $x=y=0$ в целом при условиях (99.2), (99.3) проверяется непосредственно последовательным ингегрированием уравнений (99.1).
Действительно, при $|x|>\xi$ мы можем на основании (99.3) писать (знак плюс перед $\xi$ берется при $x>\xi$ и знак минус – при $x<-\xi$ ):
\[
\begin{array}{l}
2 V=2 \int_{0}^{ \pm \xi}[h(x) c-a b] x d x+2 \int_{ \pm \xi}^{x}[h(x) c-a b] x d x+ \\
+(c x-a y)^{2} \geqslant 2 \varepsilon\left(x^{2}-\xi^{2}\right)+(c x-a y)^{2} .
\end{array}
\]
Пусть $x(t), y(t)$-произвольное решение уравнении (99.1). На основании $(99.4)$
\[
V(x(t), y(t)) \leqslant V_{0}=V\left(x\left(t_{0}\right), y\left(t_{0}\right)\right) .
\]
Но так как при достаточно больших $x$ выполняется (99.5), то отсюда следует, что при всех $t \geqslant t_{0}$ рассматриваемое решение остается внутри круга достаточно большого радиуса с центром в начале координат. Но тогда это решение с неограниченным возрастанием $t$ либо стремится к какому-нибудь периодическому решению $x^{*}(t), y^{*}(t)$, либо к единственной особой точке $x=y=0$. Но первый из этих случаев невозможен. Действительно, функция $V\left(x^{*}(t), y^{*}(t)\right)$ отлична от постоянной, так как в силу (99.4) ее производная может обратиться тождественно в нуль только, если $x^{*}(t) \equiv 0$, а последнее невозможно, если в уравнениях (99.1) величина $a
eq 0$. Но если функция $V\left(x^{*}(t), y^{*}(t)\right)$ отлична от постоянной, то, будучи периодической, она вопреки (99.4) не может обладать знакопостояннон
1) См. Дополнение III.
2) См. также примечание к стр. 38.
производной. Таким образом, система (99.1) не имеет периодических решений и, следовательно, решение $x(t), y(t)$ при $t \rightarrow \infty$ стремится к нулю. Поэтому для уравнений (99.1) ответ на вопрос, поставленный М. А. Айерманом, всегда получается утвердительныи.
