Рассмотрим несколько примеров приложения теорем предыдущего параграфа.
Пример 1. Рассмотрим твердое тело, вращающееся по инерции вокруг неподвижной точки. Если такому телу сообщить в начальный момент времени вращение вокруг одной из главных осей инерции в закрепленной точке, то тело и в дальнейшем будет вращаться вокруг этой оси и притом равномерно. Исследуем устойчивость этих вращений.
Примем в качестве осей координат главные оси инерции в закрепленной точке, и пусть исследуемое невозмущенное движение соответствует вращению вокруг оси $x$. Дифференциальные уравнения возмущенного движения составлены нами в § 3 (уравнения (3.9)) и имеют вид
\[
\begin{array}{l}
A \frac{d x}{d t}+(C-B) y z=0 \\
B \frac{d y}{d t}+(A-C)(x+\omega) z=0 \\
C \frac{d z}{d t}+(B-A)(x+\omega) y=0
\end{array}
\]
Характеристическое уравнение
\[
\left|\begin{array}{ccc}
-\rho & 0 & 0 \\
0 & -\rho & \frac{(C-A) \omega}{B} \\
0 & \frac{(A-B) \omega}{C} & -\rho
\end{array}\right|=0
\]
системы первого приближения имеет один корень, равный нулю, и два корня, определяемых формулой
\[
\rho_{1,2}= \pm \omega \sqrt{\frac{(C-A)(A-B)}{C B}} .
\]
Если $C<A<B$ или $C>A>B$, т. е. если вращение происходит вокруг средней оси инерции, то оба корня (23.2) будут вещественны и один из них будет обязательно положительным. Следовательно, невозмущенное движение будет неустойчиво.
Если вращение происходит вокруг малой или большой оси инерции, так что выполняются нераеенства $A<B, A<C$ или $A>B$, $A>C$, то оба корня (23.2) будут чисто мнимыми. Так как при этом третий корень равен нулю, то мы имеем дело с критическим случаем и первое приближение задачи не решает.
Общее исследование случая трех критических корней очень сложно. Но в рассматриваемом примере задача решается просто.
Уравнения (23.1) имеют, как легко видеть, первый интеграл
\[
B(B-A) y^{2}+C(C-A) z^{2}=\text { const. },
\]
знакоопределенный относительно $у$ и $z$. Отсюда сразу вытекает устойчивость по отношению к переменным у и $z$. Но тогда из первого интеграла
\[
A(x+\omega)^{2}+B y^{2}+C z^{2}=\text { const. },
\]
которым система (23.1) также обладает ${ }^{1}$ ) и который является интегралом энергии, немедленно вытекает устойчивость и по отношению к переменной $x$.
Таким образом, вращение вокруг средней оси инерции неустойчиво, а вращения вокруг большой или малой оси инерции устойчивы.
Пример 2. Рассмотрим вопрос об устойивости вращательных движений снаряда при настильной траектории стрельбы, которым мы уже занимались в § 12. Дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид (12.2). Oтбррасывая члены высших порядков,
1) Этот интеграл не может быть принят за функцию Ляпунова, так как его левая часть не обращается в нуль при $x=y=z=0$.
получим следующую систему уравнений первого приближения:
\[
\left.\begin{array}{c}
A \ddot{\beta}-C n \dot{\alpha}-e R \beta=0, \\
A \ddot{\alpha}+C n \dot{\beta}-e R \alpha=0 .
\end{array}\right\}
\]
Для того чтобы составить характеристическое уравнение без приведения системы (23.3) к нормальному виду, положим в нен
\[
\alpha=M e^{\lambda t}, \beta=N e^{\lambda t} \text {. }
\]
Для нахождения $M$ и $N$ получим систему линеинны однородных уравнений:
\[
\begin{aligned}
-C n \lambda M+\left(A \lambda^{2}-e R\right) N & =0, \\
\left(A \lambda^{2}-e R\right) M+C n \lambda N & =0,
\end{aligned}
\]
и следовательно, искомое характеристическое уравнение имеет вид
\[
C^{2} n^{2} \lambda^{2}+\left(A \lambda^{2}-e R\right)^{2}=0 .
\]
Все четыре корня этого уравнения даются формулой
\[
\lambda_{1,2,3,4}=\frac{ \pm C n i \pm \sqrt{4 A e R-C^{2} n^{2}}}{2 A} .
\]
Следовательно, если выполняется неравенство
\[
4 A e R-C^{2} n^{2}>0,
\]
то два корня имеют положительную вещественную часть и невозмущенное движение неустойчиво. При выполнении неравенства
\[
4 A e R-C^{2} n^{2}<0
\]
все четыре корня характеристического уравнения будут чисто мнимые. Мы будем, следовательно, иметь дело с критическим случаем и для решения задачи необходимо будет рассмотреть и нелинейне члены в уравнениях (12.2).
Решение задачи устойчивости при четырех критических корнях очень сложно. Однако в рассматриваемом случае, как мы видели в § 12 , задачу удалось полностью разрешить непосредственным построением функции Ляпунова. При этом оказалось, что при выполнении неравенства (23.4) невозмущенное движение устойчиво.
