Мы переходим теперь к рассмотрению общего случая, когда правые части уравнений возмущенного движения (28.6) не подчинены никаким ограничительным условиям.
Для решения задачи постараемся преобразовать уравнения возмущенного движения к такому виду, для которого выполняются ограничительные условия предыдущего параграфа. С этой целью рассмотрим систему уравнений
\[
f_{s}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+p_{s} x+X_{s}=0(s=1,2, \ldots, n) \text {, }
\]
определяющих переменные $x_{s}$ как функции переменной $x$. Левые части этих уравнений обращаются в нуль при $x=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$.
Функциональный же определитель по переменным $x_{1}, \ldots, x_{n}$ этой системы уравнений при $x=x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ отличен от нуля. Действительно,
\[
\left\{\frac{\partial\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)}{\partial\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right\}_{x=x_{j}=0}=\left|p_{i k}\right|
eq 0,
\]
так как уравнение (28.5) не имеет нулевого корня. Поэтому на основании известной теоремы существования неявных функций существует одно и только одно решение системы (31.1), при котором функции $x_{s}$ обращаются в нуль при $x=0$, и эти функции будут разлагаться в ряды по степеням $x$, сходящиеся при достаточно малых значениях этой величины. Пусть
\[
u_{s}(x)=A_{s}^{(1)} x+A_{s}^{(2)} x^{2}+\ldots
\]
будут указанные функции, так что
\[
p_{s 1} u_{1}+\ldots+p_{s n} u_{n}+p_{s} x+X_{s}\left(x, u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \equiv 0 .
\]
Сделаем теперь в уравнениях (28.6) преобразование переменных
\[
x_{s}=\xi_{s}+u_{s}(x) \text {. }
\]
Будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=X\left(x, \xi_{1}+u_{1}(x), \ldots, \xi_{n}+u_{n}(x)\right), \\
\frac{d \xi_{s}}{d t}=p_{s 1}\left(\xi_{1}+u_{1}\right)+\ldots+p_{s n}\left(\xi_{n}+u_{n}\right)+p_{s} x+ \\
+X_{s}\left(x, \xi_{1}+u_{1}, \ldots, \xi_{n}+u_{n}\right)-\frac{d u_{s}}{d x} \frac{d x}{d t},
\end{array}
\]
или на основании (31.3)
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t}=\vec{X}\left(x, \xi_{1}, \ldots \xi_{n}\right), \\
\frac{d \xi_{s}}{d t}=p_{s 1} \xi_{1}+\ldots+p_{s n} \xi_{n}+\bar{X}_{s}\left(x, \xi_{1}, \ldots \xi_{n}\right), \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]
где
\[
\left.\begin{array}{rl}
\bar{X} & =X\left(x, \xi_{1}+u_{1}, \ldots, \xi_{n}+u_{n}\right), \\
\bar{X}_{s} & =X_{s}\left(x, \xi_{1}+u_{1}, \ldots, \xi_{n}+u_{n}\right)- \\
& -X_{s}\left(x, u_{1}, \ldots, u_{n}\right)-\frac{d u_{s}}{d x} \bar{X}
\end{array}\right\}
\]
– аналитические функции переменных $x, \xi_{j}$, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка.
Так как новые переменные обращаются одновременно в нуль тогда и только тогда, когда обращаются одновременно в нуль старые переменные, то задача устойчивости по отношению к одним переменным эквивалентна задаче устойчивости по отношению к другим переменным. Мы можем поэтому для решения задачи рассматривать уравнения (31.5).
Уравнения (31.5) удовлетворяют второму и третьему ограничительному условиям, введенным в предыдущем параграфе. Денствительно, коэффициенты при первой сттепени $x$ в последних $n$ уравнениях (31.5) равны нулю, а для функций $\bar{X}^{(0)}$ и $\bar{X}_{s}^{(0)}$ на основании (31.6) имеем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{X}^{(0)}(x)=\bar{X}(x, 0, \ldots, 0)=X\left(x, u_{1}(x), \ldots, a_{n}(x)\right), \\
\bar{X}_{s}^{(0)}(x)=\bar{X}_{s}(x, 0, \ldots, 0)=-\frac{d u}{d x} \bar{X}^{(0)},
\end{array}\right\}
\]
откуда непосредственно следует, что разложение функций $\bar{X}_{s}^{(0)}$ начинается членами, порядок которых не ниже порядка младшего члена в разложении функции $\bar{X}^{(0)}$.
Следовательно, если функция $\bar{X}^{(0)}$ не обращается тождественно в нуль, то система (31.5) удовлетворяет всем условиям предыдущего параграфа и для решения задачи устоичивости мы можем воспользоваться полученными там результатами. Если же $\bar{X}^{(0)} \equiv 0$, то на основании (31.7) $\bar{X}_{s}^{(0)} \equiv 0$ и условия предыдущего параграфа не выполняются. Этот случай является особенным и требует специального рассмотрения. Мы этим займемся в § 33. Сейчас мы рассмотрим неособенный случай.
В этом случае согласно результатам предыдущего параграфа мы должны рассмотреть лишь первое из уравнений (31.5), отбросить в нем все члены, зависящие от $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$, и решать задачу устойчивости для полученного таким образом уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=\bar{X}^{(0)}(x) .
\]
Но на основании (31.7) правая часть этого уравнения есть результат подстановки в правую часть первого из уравнений (28.6) вместо величин $x_{j}$ функций (31.2). Следовательно, уравнение (31.8) имеет вид
\[
\frac{d x}{d t}=X\left(x, u_{1}(x), \ldots, u_{n}(x)\right) .
\]
Задача устоичивости для этого уравнения решается младшим членом в разложении его правой части. Если степень этого младшего члена нечетная, а коэффициент при нем отрицателен, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически. Во всех остальных случаях оно неустойчиво.
Таким образом, для решения задачи устойивости в интересующем нас случае, когда характеристическое уравнение системы первого приближения имеет один нулевой корень при остальных корнях с отрицательными вещественными частями, можно руководствоваться следующим правилом:
1) приводим уравнения возмущенного движения к виду (28.6);
2) приравниваем нулю правые части некритических уравнений и решаем относительно $x_{j}$ полученные таким образом уравнения (31.1);
3) полученными функциями от $x$ заменяем величины $x_{j}$ в правой части критического уравнения, и если результат подстановки не обращается тождественно в нуль, то решаем задачу устоичивости для полученного таким образом одного уравнения с одной неизвестной функцией (31.9).
Для этого рассматриваем лишь младший член в разложении правой части уравнения (31.9). Пусть этот член будет $g x^{m}$. Тогда при $m$ нечетном и $g<0$ невозмущенное движение устойиво и притом асимптотически. В других случаях оно неустоћчиво.
