Итак, рассмотрим уравнение второго порядка
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\lambda^{2}(1+\mu f) x=0,
\]

где $f$-периодическая функция времени. Для удобства дальнейших выкладок мы будем предполагать, что период этой функции равен $\pi$, чего, очевидно, всегда можно добиться подходящим выбором единицы времени. Предположим для общности, что параметр $\mu$ входит не только в качестве множителя перед $f$, но и что от него зависит также сама функция $f$. Мы будем предполагать, что эта зависимость является аналитической, так что
\[
f=f_{1}(t)+\mu f_{2}(t)+\mu^{2} f_{3}(t)+\ldots .
\]

где функции $f_{i}(t)$ не зависят ог $\mu$ и являются периодическими с периодом $\pi$ и ряд сходится при $|\mu|<a$, где $a$ – некоторая постоянная величина.

Необходимо определить области устойчивости и неустойчивости для уравнения (61.1) в зависимости от значений параметра $\lambda$. Будем изменять этот параметр, придавая ему всевозможные вещественные значения. При этом достаточно рассматривать только положительные значения, так как уравнение (61.1) не изменится при замене $\lambda$ на $-\lambda$ и, следовательно, распределение интересующих нас областей будет при $\lambda<0$ таким же, как и при $\lambda>0$. Областям устойчивости соответствуют те значения $\lambda$, при которых коэффициент $A$ для уравнения (61.1) удовлетворяет неравенству $A^{2}<1$, а областям неустой чивости – те значения, для которых $A^{2}>1$. Отсюда непосредственно вытекает, что области устойчивости и неустойчивости разделяются теми значениями $\lambda$, для которых выполняются либо уравнение

либо уравнение
\[
\begin{array}{l}
A=+1, \\
A=-1 .
\end{array}
\]

Исследуем подробней эти уравнения. Уравнение (61.1) содержит параметр $\lambda^{2}$, по отношению к которому оно аналитично (линеино) при всех значениях, и параметр $\mu$, по отношению к которому оно аналитично в области $|\mu|<a$. Отсюда на основании теоремы § 58 коэффициент $A$ является целой функцией параметра $\lambda^{2}$ и аналитической функцией параметра $\mu$ в области $|\mu|<a$. Для этого коэффициента мы имеем:
\[
A=\frac{1}{2}\left\{x_{1}(\pi)+\dot{x}_{2}(\pi)\right\},
\]

где $x_{1}(t), x_{2}(t)$ – два частных решения уравнения (61.1), определяемых начальными условиями:
\[
\left.\begin{array}{ll}
x_{1}(0)=1, & \dot{x}_{1}(0)=0 \\
x_{2}(0)=0, & \dot{x}_{2}(0)=1 .
\end{array}\right\}
\]

Эти решения являются целыии функциями $\lambda^{2}$ и аналитическими функциями $\mu$ в области $|\mu|<a$. Мы можем поэтому написать:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=x_{1}^{(0)}(t)+\mu x_{1}^{(1)}(t)+\ldots, \\
x_{2}=x_{2}^{(0)}(t)+\mu x_{2}^{(1)}(t)+\ldots,
\end{array}
\]

где ряды сходятся при $|\mu|<a$ и являются, кроме того, целыми функциями параметра $\lambda^{2}$. Подставляя эти ряды в (61.1) и принимая во внимание (61.2), получим для определения неизвестных функций $x_{i}^{(0)}, x_{i}^{(1)}, \ldots(i=1,2)$ следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} x_{i}^{(0)}}{d t^{2}}=-\lambda^{2} x_{i}^{(0)}, \\
\frac{d^{2} x_{i}^{(1)}}{d t^{2}}=-\lambda^{2} x_{i}^{(1)}-\lambda^{2} f_{1}(t) x_{i}^{(0)}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot . \cdot \cdots
\end{array}
\]

Кроме того, начальные условия (61.5) дают:
\[
\left.\begin{array}{cc}
x_{1}^{(0)}(0)=1, \quad \dot{x}_{1}^{(0)}(0)=0, \quad x_{2}^{(0)}(0)=0, \quad \dot{x}_{2}^{(0)}(0)=1, \\
x_{1}^{(j)}(0)=\dot{x}_{1}^{(j)}(0)=x_{2}^{(j)}(0)=\dot{x}_{2}^{(j)}(0)=0 & (j=1,2, \ldots) .
\end{array}\right\}
\]

Уравнения (61.6) вместе с начальными условиями (61.7) однозначно определяют все функции $x_{1}^{(j)}, x_{2}^{(j)}$.
В частности, имеем:
\[
x_{1}^{(0)}=\cos \lambda t, \quad x_{2}^{(0)}=\frac{1}{\lambda} \sin \lambda t,
\]

и следовательно, для коэффициента $A$ получаем:
\[
A=\cos \lambda \pi+\frac{1}{2}\left\{x_{1}^{(1)}(\pi)+\dot{x}_{2}^{(1)}(\pi)\right\} \mu+\ldots
\]

Установив это, рассмотрим уравнения (61.3) и (61.4). Из (61.8) сразу видно, что эти уравнения удовлетворяются при $\mu=0$ и $\lambda=n$, где $n$-целое число. При этом при $n$ нечетном удовлетворяется уравнение (61.4). а при $n$ четном – уравнение (61.3). Поэтому можно ожидать, что при $\mu
eq 0$, но достаточно малом уравнение (61.4) имеет решение относительно $\lambda$ в окрестности любого целого нечетного числа, а уравнение (61.3) имеет решение в окрестности любого четного числа, обращающиеся в эти целые числа при $\mu=0$. Для выяснения вопроса о существовании этих решений положим в выражении для $A$ :
\[
\lambda=n+\alpha
\]

и приравняем полученное выражение при $n$ нечетном -1 , а при $n$ четном 1. Тогда мы получим следующее уравнение для величины $\alpha$ :
\[
\begin{array}{l}
(-1)^{n+1}\left\{\frac{\alpha^{2} \pi^{2}}{2 !}-\frac{a^{4} \pi^{4}}{4 !}+\ldots\right\}+ \\
\quad+\frac{1}{2}\left\{x_{1}^{(1)}(\pi)+\dot{x}_{2}^{(1)}(\pi)\right\}_{\lambda=n+\alpha} \cdot \mu+\ldots=0 .
\end{array}
\]

Левая часть этого уравнения является аналитической функцией величин $\alpha$ и $\mu$, обращающећся в нуль при $\alpha=\mu=0$. Если бы производная от этой функции по $\alpha$ не обращалась в нуль при $\alpha=\mu=0$, то на основании теоремы существования неявных функций уравнение (61.10) при $\mu$, отличном от нуля, но достаточно малом, допускало бы одно и только одно решение $\alpha(\mu)$, обращающееся в нуль при $\mu=0$. Однако производная от левой части (61.10) по $\alpha$ обращается при $\alpha=\mu=0$ в нуль, и поэтому указанная теорема существования в рассматриваемом случае неприменима.

Но общая теория неявных функций, определяемых аналитическими уравнениями ${ }^{1}$ ), показывает, что в рассматриваемом случае уравгение (61.10) допускает два и только два решения, обращающихся в нуль при $\mu=0$, и эти решения при $\mu$, достаточно малом, являются аналитическими функциями либо величины $\mu$, либо величины $\sqrt{\mu}$.
Эти предложения легко доказать следующим образом.
Выделив в уравнении (61.10) члены, свободные от $\alpha$, члены, линейные относительно этой величины, и члены, содержащие эту величину в степени не ниже второй, мы можем указанное уравнение записать следующим образом:
\[
\mu^{m}(M+\varphi(\mu))+\alpha \mu^{k}(N+\psi(\mu))+\alpha^{2}\left[(-1)^{n+1} \frac{\pi^{2}}{2}+F(\mu, \alpha)\right]=0,
\]

где $\varphi(\mu), \psi(\mu), F(\mu, \alpha)$ – аналитические функции своих аргументов, обращающиеся в нуль при $\alpha=\mu=0$, а $M$ х $N$ – постоянные. Если постоянная $M$ равна нулю, что означает, что уравнение (61.10) не содержит членов, свободных от $\mu$, то это уравнение распадается на два: на уравнение $\alpha=0$ и уравнение
\[
\alpha\left[(-1) \frac{\pi^{2}}{2}+F(\mu, \alpha)\right]+\mu^{k}(N+\psi(\mu))=0 .
\]

Последнее уравнение имеет одно и только одно решение для $\alpha(\mu)$, обращающееся в нуль при $\mu=0$, так как к нему применима обычная теорема существования неявных функций. Полученное рещение будет при этом
1) См. Гурса Е., Курс математического анализа, т. II, глава XVII $\$ 355,355$, стр. $241-248$, ОНТи, 1936.

аналитическим относительно $\mu$. Присоединяя к нему решение $\alpha=0$, мы получим два и только два решения уравнения (61.10), и эти решения будут аналитическими относительно $\mu$.

Таким образом, при $M=0$ интересующее нас предложение доказано. Допустим теперь, что $M
eq 0$. Здесь необходимо рассмотреть три случая:
1) $k>-\frac{m}{2}$,
2) $k<\frac{m}{2}$,
3) $k=\frac{m}{2}$.
Допустим сначала, что имеет место случай 1). Тогда, полагая в уравнении (61.11)
\[
\alpha=\mu^{\frac{m}{2}} \beta,
\]

где $\beta$ – новая неизвестная, и сокращея на $\mu^{m}$, получим:
$\Phi(\beta, \mu)=M+\varphi(\mu)+\beta \mu^{k-\frac{m}{2}}(N+\psi(\mu))+$
\[
+\beta^{2}\left[(-1)^{n+1} \frac{\pi^{2}}{2}+F\left(\mu, \beta \mu^{\frac{m}{2}}\right)\right]=0 .
\]

Это уравнение имеет при $\mu=0$ два простых корня $\beta=\frac{1}{\pi} \sqrt{(-1)^{n+1} 2 M}$ и $\beta=-\frac{1}{\pi} \sqrt{(-1)^{n+1} 2 M}$. Следовательно, производная $\frac{d \Phi}{d \beta}$ для каждого из этих корней при $\mu=0$ отлична от нуля. Поэтому на основании обычной теоремы неявных функций существует при $\mu$, достаточно малом, два и только два решения уравнения (61.13), из которых одно обращается при $\mu=0$ в $\frac{1}{\pi} \sqrt{(-1)^{n+1} 2 M}$, а второе в $-\frac{1}{\pi} \sqrt{(-1)^{n+1} 2 M}$. Так как функция Ф аналитична либо относительно $\sqrt{\mu}$ (при $m$ нечетном), либо относительно $\mu$ (при $m$ четном), то и указанные решения будут аналитичны либо относительно $\sqrt{\mu}$, либо относительно $\mu$. Подставляя эти решения в (61.12), мы получим два решения уравнения (61.11), обращающиеся в нуль при $\mu=0$, и эти решения будут аналитичны либо относительно $\sqrt{\mu}$, либо относительно $\mu$, Допустим теперь, что имеет место случай 2). Положим в уравнении (61.11)
\[
\alpha=\mu^{m-k} \beta .
\]

Тогда уравнение, определяющее $\beta$, будет иметь вид
\[
M+\varphi(\mu)+\beta(N+\psi(\mu))+\beta^{2} \mu^{m-2 k}\left[(-1)^{n+1} \frac{\pi^{2}}{2}+F\left(\mu, \beta \mu^{m-k}\right)\right]=0 .
\]

Это уравнение имеет при $\mu=0$ простой корень $\beta=-\frac{M}{N}{ }^{1}$ ), и следовательно, при $\mu$, отличном от нуля, но достаточно малом, оно допускает одно
1) Величина $N$ отлична от нуля, ибо если бы она равнялась нулю, что означало бы, что $k=\infty$, то мы имели бы случай 1).

и только одно решение для $\beta$, обращающееся в $-\frac{M}{N}$ при $\mu=0$. Это решение будет аналитическим относительно $\mu$, так как таким является само уравнение. Подставляя это решение в (61.14), мы получим решение уравнения (61.11), обращающееся в нуль при $\mu=0$, и это решение будет аналитическим относительно $\mu$. Полагая затем в (61.11)
\[
\alpha=\mu^{k} \beta \text {, }
\]

мы получим для $\beta$ уравнение
\[
\mu^{m-2 k}(M+\varphi(\mu))+\beta(N+\psi(\mu))+\beta^{2}\left[(-1)^{n+1} \frac{\pi^{2}}{2}+F\left(\mu, \mu^{k} \beta\right)\right]=0,
\]

которое имеет одно и только одно решение, обращающееся в $\frac{2(-1)^{n+1} N}{\pi^{2}}$ при $\mu=0$. Подставляя это решение в (61.15), мы получим второе решение уравнения (61.11), обращающееся в нуль при $\mu=0$. Это решение будет также аналитическим относительно $\mu$.
Допустим, наконец, что имеет место случай 3). Положим:
\[
a=\mu^{k} \beta=\mu^{\frac{m}{2}} \beta .
\]

Тогда уравнение, определяющее $\beta$, будет иметь вид
\[
\Psi(\beta, \mu)=M+\varphi(\mu)+\beta(N+\psi(\mu))+\beta^{2}\left[(-1)^{n+1} \frac{\pi^{2}}{2}+F\left(\mu, \mu^{k} \beta\right)\right]=0 .
\]

Это уравнение при $\mu=0$ имеет два корня, определяемые квадратным уравнением
\[
(-1)^{n+1} \frac{\pi^{2}}{2} \beta^{2}+N \beta+M=0 .
\]

Если это квадратное уравнение имеет простые корни, то уравнение (61.16) будет при $\mu=0$ иметь два решения, аналитических относительно $\mu$ и обращающихся, соответственно, при $\mu=0$ в указанные корни квадратного уравнения. Этим двум решениям уравнения (61.16) соответствуют два решения уравнения (61.II), также аналитических относительно $\mu$ и обращающихся в. нуль при $\mu=0$.

Но если квадратное уравнение (61.17) имеет два равных корня $\beta=\beta^{*}$, то вопрос делается несколько сложнее, так как производная $\frac{d \psi}{d \beta}$ обращается в нуль при $\beta=\beta^{*}, \mu=0$, и обычная теорема существования для уравнения (61.16) неприменима. Для решения вопроса в этом особом случае положим в уравнении (61.16)
\[
\beta=\gamma+\beta^{*},
\]

после чего мы получим уравнение дая $\gamma$, которое будет аналитическим относительно $\gamma$ и $\mu$ и которое будет допускать при $\mu=0$ двойной корень $\gamma=0$. Следовательно, это уравнение относительно $\gamma$ будет такой же структуры, как и уравнение (61.11) для а. Прнлагая к этому уравнению предыдущие рассуждения, мы получим два решения для $\gamma$, если только мы снова не встретимся со случаем 3), притом с тем его частным видом, который мы отметили как особенный. В последнем случае для неизвестной $\gamma$ мы должны будем проделать такую же подстановку, как и с неизвестной $\beta$, и получить
для новой неизвестной, пусть это будет $\delta$, уравнение вида (61.11). Если для неизвестной $\delta$ не получится особенного случая, то мы получим два решення для $\delta$, которые дадут два решения для а нужного вида. Если же уравнение для $\delta$ будет принадлежать к числу особенных, то указанный процесс придется продолжить далее. Если этот процесс окажется конечным, то мы получим два решения уравнения (61.11) нужного вида. Может, однако, случиться, что процесс окажется бесконечным. Не останавливаясь на этом исключительном случае, укажем лишь, что в этом случае уравнение (61.11) будет иметь двойное решение, обращающееся в нуль при $\mu=0$.

Итак, уравнение (61.11) при $\mu$, досгаточно малом, всегда имеет два корня, обращающихся в нуль при $\mu=0$. Эти решения будут притом аналитическими либо относительно $\sqrt{\mu}$, либо относигельно $\mu$. Легко видеть, что при $\mu$, достаточно малом, указанное уравнение не имеет других корней, обращающихся в нуль при $\mu=0$. Действительно, если бы такие корни существовали, то, переходя к пределу при $\mu \rightarrow 0$, мы получили бы, что уравнение (61.11) имеет при $\mu=0$ нуяевой корень, кратность которого превышает два.

Подставляя решения для $\alpha$ в (61.9), мы получим решения уравнений (61.3) и (61.4). Придавая $n$ всевозможные целые значения, мы получим все решения уравнений (61.3) и (61.4). При этом при $n$ нечетном мы получим решения уравнения (61.4), а при $n$ четном решения уравнения (61.3).

Покажем теперь, что все полученные таким образом решения уравнений (61.3) и (61.4) являются вещественными. С этой целью заметим прежде всего, что если $i$ удовлетворяет уравнению (61.3), то уравнение (61.1) имеет периодическое решение с периодом, равным периоду коэффициента, т. е. л. Действительно, в этом случае корни характеристического уравнения равны единице, откуда непосредственно вытекает существование указанного решения. Если $\lambda$ удовлетворяет уравнению (61.4), то корни характеристического уравнения будут равны – 1 и, следовательно, будет существовать решение $x=\varphi(t)$, удовлетворяющее условию
\[
\varphi(t+\pi)=-\varphi(t) .
\]

Функция $\varphi(t)$ будет также периодической, но с периодом $2 \pi$. Установив это, допустим, что $\lambda=\lambda^{*}$ является корнем уравнения (61.3) и пусть $\varphi(t)$ – соответствующее периодическое решение уравнения (61.1). Имеем:
\[
\frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}+\lambda^{*^{2}}(1+\mu f) \varphi \equiv 0 .
\]

Умножим это тождество на $\bar{\varphi} d t$, где $\bar{\varphi}-$ величина, комплексно сопряженная с $\varphi$, и проинтегрируем в пределах от 0 до л. Тогда, интегрируя по частям и принимая во внимание, что в силу периодичности
\[
\AA \bar{\varphi} \frac{d \varphi}{d t}=0,
\]

получим:
\[
-\int_{0}^{\pi} \frac{d \bar{\varphi}}{d t} \frac{d \varphi}{d t} d t+\lambda^{*^{2}} \int_{c}^{\pi}(1+\mu f) \bar{\varphi} d t \equiv 0 .
\]

Выражения, стоящие под знаками интегралов, вещественны и положительны, и следовательно, такими же будут и сами интегралы. Но тогда тождество (61.18) показывает, что и величина $\lambda^{*^{2}}$ будет вещественной и положительной, и следовательно, величина $\lambda^{*}$ будет вещественной

Точно так же доказывается вещественность корней уравнения (61.4). Разница будет заключаться лишь в том, что теперь в тождестве (61.18) интегралы будут браться в пределах от 0 до $2 \pi$.

Покажем теперь, что все корни уравнений (61.3) и (61.4) будут при $\mu$, достаточно малом, аналитисескими функциями этой величины. В самом деле, из предыдущего следует, что все корни уравнении (61.3) и (61.4) являются либо аналитическими функциями величины $\sqrt{\mu}$, либо аналитическими функциями величины $\mu$. Но если хотя бы один из указанных корней являлся аналитической функцией величины $\sqrt{\mu}$, то он обязательно был бы комплексным либо при положительных значениях $\mu$, либо при отрицательных значениях этой величины. Но мы только что показали, что все корни уравнений (61.3) и (61.4) являются вещественными, и это будет справедливо вне зависимости от того, будет ли параметр $\mu$ положительным или отрицательным. Таким образом, все корни уравнений (61.3) и (61.4) будут аналитическими функциями величины $\mu$ в некоторой окрестности точки $\mu=0$, т. е. они будут разлагаться в ряды по целым положительным степеням $\mu$, сходящиеся при $\mu$, достаточно малом.

Будем теперь рассматривать всевозможные значения $\lambda$ и построим график кривой $A(\lambda)$ (считая $\mu$ фиксированным). С этой целью отложим на оси $\lambda$ все корни уравнений ( $61: 3$ ) и (61.4). Как мы видели, все эти корни распадаются на пары, расположенные вблизи целочисленных значений $\lambda$. Обозначим через $\bar{\lambda}_{n}^{\prime}, \bar{\lambda}_{n}^{\prime \prime}$ корни, расположенные вблизи целого нечетного числа $n$, и через $\lambda_{n}^{\prime}, \lambda_{n}^{\prime \prime}$ – корни, расположенные вблизи целого четного числа $n$. Все эти корни разбивают ось $\lambda$ на интервалы двух типов (рис. 17). Интервалы первого типа ограничены с обеих сторон корнями одного вида, т. е. такими, которые либо оба удовлетворяют уравнению (61.3), либо оба удовлетворяют уравнению (61.4). К такого рода интервалам принадлежат, например, интервалы $\left(\bar{\lambda}_{1}^{\prime}, \bar{\lambda}_{1}^{\prime \prime}\right)$ и $\left(\lambda_{2}^{\prime}, \lambda_{2}^{\prime \prime}\right)$. Интервалы первого типа мы будем называть одно родными. Интервалы зторого типа, как, например, интервал $\left(\bar{\lambda}_{1}^{\prime \prime}, \lambda_{2}^{\prime}\right)$, ограничены, с одной стороны, корнем уравнения (61.3), а с другой стороны – корнем уравнения (61.4). Интервалы такого вида мы будем называть разнородными. Как видно из чертежа, интервалы однородные и разнородные чередуются. Некоторые однородные интервалы могут выродиться в точку. Это будет в том случае, если уравнение (61.3) или (61.4) имеет кратные корни.

Теперь легко видеть, что в каждом однородном (невырожденном) интервале имеет место неравенство $A^{2}>1$, а в каждом разнородном интервале – неравенство $A^{2}<1$. Другими словами, области неустойчивости совпадают с однородными интервалами, а области устойчивости – с неоднородными интервалами. Действительно, рассмотрим какой-нибудь неоднородный интервал, например ( $\bar{\lambda}_{1}^{\prime \prime}, \lambda_{2}^{\prime}$ ). В этом интервале величина $A$ изменяется от -1 в начале интервала до +1
Рис, 17.

в конце интервала. И так как при этом величина $A$ внутри интервала нигде не может обратиться в $\pm 1$, так как все корни уравнений (61.3) и (61.4) расположены в концах интервалов, то во всех точках внутри рассматриваемого интервала необходимо должно выполняться неравенство $A^{2}<1$. Рассмотрим теперь какой-нибудь однородный невырожденный интервал, на концах которого $A=+1$. Пусть это будет, например, интервал $\left(\lambda_{2}^{\prime}, \lambda_{2}^{\prime \prime}\right.$ ). Так как в этом интервале $A$ изменяется от +1 до +1 , то во всех точках внутри интервала выполняется либо неравенство $A>1$, либо неравенство $A<1$. Чтобы выяснить, какой из этих случаев действительно имеет место, рассмотрим точки, лежащие вблизи одного из концов интервала. Пусть это будет конец $\lambda_{2}^{\prime}$. Так как интервал по условию не вырожден, то корень $\lambda_{2}^{\prime}$ является простым и, следовательно, $\frac{d A}{d \lambda}$ не обращается в нуль при $\lambda=\lambda_{2}^{\prime}$. И так как левее точки $\lambda_{2}^{\prime}$ величина $A$ меньше единицы, то отсюда следует, что правее указанной точки величина $A$ больше единицы. Предложение, таким образои, доказано. Точно так же доказывается это предложение и для тех однородных интервалов, на концах которых $A=-1$.

Итак, придавая в уравнении (61.1) параметру $\lambda$ всевозможные значения, мы получим бесконечную последовательность чередующихся областей устойчивости и неустоћчивости. Границами этих областен являются корни уравнений (61.3) и (61.4), которые делят ось $\lambda$ на интервалы двух видов: однородные, которые ограничены с обоих концов либо корнями уравнения (61.3), либо корнями уравнения (61.4), и разнородные, которые с одной стороны ограничены корнем уравнения (61.3), а с другой стороны – корнем уравнения (61.4). Области устойчивости совпадают с неоднородными интервалами, а области неустоичивости с однородными интервалами. Корни уравнения (61.4) расположены вблизи целых ${ }^{1}$ ) нечетных чисел по два корня вблизи каждого такого числа, причем при $\mu=0$ эти корни сливаются и делаются равными указанному числу ${ }^{2}$ ). Корни уравнения (61.3) располагаются аналогичным образом вблизи целых четных чисел. Все указанные корни являются при $\mu$, достаточно малом, аналитическими функциями этой величины.